2020高考热点专题突破11立体几何大题(解析版)

《2020年高考数学（理）热点快味餐》

专题11 立体几何大题

【热点知识点】

1.空间点、线、面之间的位置关系

2.利用空间向量求空间角

3.利用空间向量解决有关开放性问题

【高考真题赏析】

例1.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

【解析】（1）连结B1C，ME．

1

2

因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =

1

2

B 1

C ． 又因为N 为A 1

D 的中点，所以ND =

1

2

A 1D ． 由题设知A 1

B 1=P D

C ，可得B 1C =P A 1

D ，故M

E =

P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．

（2）由已知可得DE ⊥DA ．

以D 为坐标原点，DA uu u r

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，

N

M

D

C B

A

D 1

C B 1

A 1

z

则(2,0,0)A ，A 1(2,0,4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-uuu r ，1(13,2)A M =--uuuu r

，1(1,0,2)A N =--uuu r ，1(1,0,2)A N =--uuu r

．

设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110

A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu r uuu r

m m ，

3

所以32040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩

，．可取3,1,0)=m ．

设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r

uuu r ，

．

n n

所以3020q p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，

．

可取(2,0,1)=-n ．

于是2315

cos ,||25⋅〈〉=

==

⨯‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --10

． 例2.（2019北京理16）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，AD BC P ，

2PA AD CD BC ====，．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且

1

3

PF PC =． （Ⅰ）求证：CD PAD ⊥平面；

（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值;

（Ⅲ）设点G 在PB 上，且

2

3

PG PB =.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.

4

【解析】（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥.

又因为AB CD ⊥，所以CD ⊥.平面PAD ，

（II ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM ⊥PA AD ⊥，如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），

D （0，2，0），P （0，0，2），因为

E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）.

所以()0,1,1AE =uu u r ，()2,2,2PC =-uu u r , ()0,0,2AP =uu u r

. 所以1222,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭uu u r uu u r ，224,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

uu u r uu u r uu u r

设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，

则00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v

uu u v n n ， 即0224

03

33y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩.

5

令z =1,则y =-1,x =-1.于是()1,1,1=--n . 又因为平面PAD 的法向量为()1,0,0=p ，

所以3

cos ⋅=

=⋅n p n p 因为二面角F-AE-P 3

z y

x

B

G P F

E

D

C

M

A

（III ）直线AG 在平面AEF 内，因为点G 在PB 上，且2,3

PG PB =()2,1,2,PB =--uu r

所以2424,,3333PG PB ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭uu u r uu r ，422,,333AG AP PG ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭

uuu r uu u r uuu r .

由（II ）知，平面AEF 的法向量为()1,1,1=--n ，

所以422

0333

AG ⋅++=uuu r n =-，所以直线AG 在平面AEF 内.

例3．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．

(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；