椭圆性质92条及其证明
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17．给定椭圆 C1 ：b x a y a b （a＞b＞0）, C2 ：b x a y ( 它的任一直角弦必须经过 C2 上一定点 M (
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 2 b2 ab) 2 ,则(i)对 C1 上任意给定的点 P ( x0 , y0 ) , a 2 b2
x2 y2 1（a＞b＞0）的两个顶点为 A1 (a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点 a 2 b2 x2 y2 的轨迹方程是 2 2 1 . a b xx y y x2 y2 10．若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 上，则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 02 1 . a b a b 2 2 x y 11 ． 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 2 1 外 ， 则 过 Po 作 椭 圆 的 两 条 切 线 切 点 为 P1 、 P2 ， 则 切 点 弦 P1P2 的 直 线 方 程 是 a b x0 x y0 y 2 1. a2 b x2 y2 b2 12．AB 是椭圆 2 2 1 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM k AB 2 . a b a 2 2 x x y y x2 y2 x y 13．若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 02 02 02 02 . a b a b a b 2 2 2 2 xx y y x y x y 14．若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 2 02 02 . a b a b a b 2 2 x y 1 1 1 1 15．若 PQ 是椭圆 2 2 1 （a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则 2 2 2 2 ( r1 | OP |, r2 | OQ |) . a b r1 r2 a b
9．椭圆 16． 若椭圆
x2 y2 1 1 2 2 2 1 （a＞b＞0） 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax By 1 ( AB 0) ,则(1) 2 2 A B ;(2) 2 a b a b
2 a 4 A2 b 4 B 2 . L a 2 A2 b 2 B 2
椭圆
1. PF1 PF2 2a 2.标准方程
x2 y2 Fra Baidu bibliotek a 2 b2
3.
PF1 d1
e 1
4．点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 5．PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设 A1、A2 为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2 在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2 所在的直线切于 A2（或 A1）.
25．椭圆
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆
a 2 b2 a 2 b2 x , y0 ) . 0 a 2 b2 a 2 b2 ' ' ' ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P ( x0 , y0 ) 在 C1 上存在唯一的点 M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 点. x2 y2 1 (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2 为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2 斜率存在，记为 a 2 b2 1 m b2 . k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , my0 ) ( m 1) 的充要条件是 k1 k2 1 m a2 x2 y2 19．过椭圆 2 2 1 (a＞0, b＞0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定 a b 2 b x 向且 k BC 2 0 （常数）. a y0
20．椭圆
x2 y2 21 ．若 P 为椭 圆 2 2 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）上 异于长轴 端点的 任一点 ,F1, F 2 是焦 点 , PF1 F2 , PF2 F1 ，则 a b ac tan tan . ac 2 2 2 2 x y 22．椭圆 2 2 1 （a＞b＞0）的焦半径公式： | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1 ( c, 0) , F2 (c, 0) ， M ( x0 , y0 ) ). a b 2 x y2 23．若椭圆 2 2 1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 a b 2 1 e 1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. x2 y2 24． P 为椭圆 2 2 1 （a＞b＞0） 上任一点,F1,F2 为二焦点， A 为椭圆内一定点， 则 2a | AF2 || PA | | PF1 | 2a | AF2 | , a b 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.
18．设 P ( x0 , y0 ) 为椭圆（或圆）C:
x2 y2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1 PF2 ，则椭圆的焦点三角形的 a 2 b2 a 2 2 b2 2 面积为 S F1PF2 b tan ， P ( c b tan 2 , tan ) . 2 c 2 c 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 2 b2 ab) 2 ,则(i)对 C1 上任意给定的点 P ( x0 , y0 ) , a 2 b2
x2 y2 1（a＞b＞0）的两个顶点为 A1 (a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点 a 2 b2 x2 y2 的轨迹方程是 2 2 1 . a b xx y y x2 y2 10．若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 上，则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 02 1 . a b a b 2 2 x y 11 ． 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 2 1 外 ， 则 过 Po 作 椭 圆 的 两 条 切 线 切 点 为 P1 、 P2 ， 则 切 点 弦 P1P2 的 直 线 方 程 是 a b x0 x y0 y 2 1. a2 b x2 y2 b2 12．AB 是椭圆 2 2 1 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM k AB 2 . a b a 2 2 x x y y x2 y2 x y 13．若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 02 02 02 02 . a b a b a b 2 2 2 2 xx y y x y x y 14．若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 2 02 02 . a b a b a b 2 2 x y 1 1 1 1 15．若 PQ 是椭圆 2 2 1 （a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则 2 2 2 2 ( r1 | OP |, r2 | OQ |) . a b r1 r2 a b
9．椭圆 16． 若椭圆
x2 y2 1 1 2 2 2 1 （a＞b＞0） 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax By 1 ( AB 0) ,则(1) 2 2 A B ;(2) 2 a b a b
2 a 4 A2 b 4 B 2 . L a 2 A2 b 2 B 2
椭圆
1. PF1 PF2 2a 2.标准方程
x2 y2 Fra Baidu bibliotek a 2 b2
3.
PF1 d1
e 1
4．点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 5．PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设 A1、A2 为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2 在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2 所在的直线切于 A2（或 A1）.
25．椭圆
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆
a 2 b2 a 2 b2 x , y0 ) . 0 a 2 b2 a 2 b2 ' ' ' ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P ( x0 , y0 ) 在 C1 上存在唯一的点 M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 点. x2 y2 1 (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2 为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2 斜率存在，记为 a 2 b2 1 m b2 . k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , my0 ) ( m 1) 的充要条件是 k1 k2 1 m a2 x2 y2 19．过椭圆 2 2 1 (a＞0, b＞0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定 a b 2 b x 向且 k BC 2 0 （常数）. a y0
20．椭圆
x2 y2 21 ．若 P 为椭 圆 2 2 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）上 异于长轴 端点的 任一点 ,F1, F 2 是焦 点 , PF1 F2 , PF2 F1 ，则 a b ac tan tan . ac 2 2 2 2 x y 22．椭圆 2 2 1 （a＞b＞0）的焦半径公式： | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1 ( c, 0) , F2 (c, 0) ， M ( x0 , y0 ) ). a b 2 x y2 23．若椭圆 2 2 1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 a b 2 1 e 1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. x2 y2 24． P 为椭圆 2 2 1 （a＞b＞0） 上任一点,F1,F2 为二焦点， A 为椭圆内一定点， 则 2a | AF2 || PA | | PF1 | 2a | AF2 | , a b 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.
18．设 P ( x0 , y0 ) 为椭圆（或圆）C:
x2 y2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1 PF2 ，则椭圆的焦点三角形的 a 2 b2 a 2 2 b2 2 面积为 S F1PF2 b tan ， P ( c b tan 2 , tan ) . 2 c 2 c 2