2020高考(理)一轮复习：课时作业30 等差数列及其前n项和

课时作业30 等差数列及其前n 项和

[基础达标]

一、选择题

1．[2019·开封测试]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：通解 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×3

2×d＝16，解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝1，

d ＝2，

故选B.

优解 设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝4

a 1＋a 4

2

＝2(a 1＋a 5－d)＝2(10－d)＝16，所以d ＝2，故选B.

答案：B

2．[2019·合肥检测]已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项的和是( ) A ．112 B ．51 C ．28 D ．18

解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨

⎪⎧

a 2＝10＝a 1＋d ，

a 5＝1＝a 1＋4d

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝13，d ＝－3

⇒前7项和S 7＝7a 1＋

7×

7－1

2

·d ＝28.

答案：C

3．[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7

4

×11＝15.故选A.

答案：A

4．[2019·武汉高中调研测试]在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 7－S 2＝45，则a 5＝( ) A ．7 B ．9 C ．14 D ．18

解析：解法一 因为在等差数列{a n }中，S 7－S 2＝45，所以a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝45，所以a 5＝9，

故选B.

解法二 设等差数列{a n }的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，S 7－S 2＝45，所以7a 1＋7×6

2d －(2a 1＋

d)＝45，整理得a 1＋4d ＝9，所以a 5＝9，故选B.

答案：B

5．[2019·湖南衡阳模拟]在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48

解析：∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8

＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D.

答案：D 二、填空题

6．[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10，则a 7＝________.

解析：∵在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10，∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝1，a 1＋d ＋a 1＋5d ＝10，

解得a 1＝1，d ＝4

3

，∴a 7

＝a 1＋6d ＝1＋8＝9.

答案：9

7．[2019·河南濮阳模拟]已知等差数列{a n }一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为________．

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩

⎪⎨

⎪⎧

4a 1＋6d ＝3，

3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1

＝13

22，d ＝7

66.

∴中间一项为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝67

66.

答案：67

66

8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n>6)，则数列{a n }的项数为________．

解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②

①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n a 1＋a n

2

＝324，∴18n＝324，∴n＝18. 答案：18

三、解答题

9．[2018·全国卷Ⅱ]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．

解析：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.

所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝a 1＋a n 2·n＝n 2－8n ＝(n －4)2

－16.

所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.

10．[2019·山东济南一中检测]各项均不为0的数列{a n }满足

a n ＋1

a n ＋a n ＋22＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝1

5

.

(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n

2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .

解析：(1)依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，

可得1a n ＋2＋1a n ＝2

a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，

设数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的公差为d.

因为a 3＝2a 8＝1

5，

所以1a 3＝5，1

a 8

＝10，

所以1a 8－1

a 3

＝5＝5d ，即d ＝1.

故1a n ＝1

a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2， 故a n ＝1

n ＋2

.

(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝1

2

·

1n ＋2

n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，

故S n ＝1213－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3＝

n

6n ＋3

. [能力挑战]

11．[2019·河南信阳模拟]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五