中考数学二轮专题复习分类讨论问题
中考数学2轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
第3讲 分类讨论思想+课件 高三数学二轮专题复习
当直线 y＝
3
x－1 与圆 O 相切时，r＝d＝
1 3＋1
＝12
；
当圆 O 过点 C 时，r＝ 34＋41 ＝1.
【对点训练】
1．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和
8π，则两平行截面间的距离是( )
A．1
B．2
C．1或7
D．2或6
解析：画出球的截面图，如图 1 所示，是球的一个大圆，两平行直线是球的 两个平行截面的直径，由题意可得，两个平行截面的半径分别为 3 和 4，则 m＝ 52－32 ＝4，n＝ 52－42 ＝3，当两个平行截面在球心的两侧时，两平 行截面间的距离是 m＋n＝7；
图4
由椭圆性质可知，A1A2为椭圆中的最长弦，所以不能 作为等腰三角形的腰，而作为底时，刚好等腰三角形 的顶点为上顶点或下顶点，不满足题意． 综上所述，满足题意的等腰三角形的个数为8＋8＋2＋ 2＝20.
如图 3，以 B2 为圆心，B1B2 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点 B1，S， T，
图3 连接 SB1，SB2，TB1，TB2，此时△SB1B2，△TB1B2 为等腰三角形，满足题 意，共有 2 个；
如图4，以B1为圆心，B1B2为半径作圆，此时圆与椭圆 相交于点B2，U，V， 连 接 UB1 ， UB2 ， VB1 ， VB2 ， 此 时 △ UB1B2 ， △ VB1B2 为等腰三角形，满足题意，共有2个；
图1
同理，当 A2B2，A2B1，A1B1 为等腰三角形的底时，也可以各作出 2 个满足 要求的等腰三角形，共有 8 个； 如图 2，当 A1B2 为等腰三角形的腰时，以 B2 为圆心，A1B2 为半径作圆，
图2
则圆的方程为 x2＋(y－1)2＝5，
(完整word版)初中数学分类讨论问题专题
中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。
形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 2112无解，求x a x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
中考数学专题：例+练——第8课时 分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
中考数学二轮复习 专题三 开放型问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2015•某某某某，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．考点：全等三角形的判定。
专题：开放型．分析：添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．解答：解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．对应训练1．（2015•某某，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD 或AD=CD．解答：解：答案不唯一．①∠ABD=∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．点评：本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2015·某某甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD 上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．考点：四边形综合题．.专题：综合题．分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．解答：（1）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DA F=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关对应训练2．（2015•某某某某，第20题8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的45，则一月份B款运动鞋销售了多少双？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。
分类讨论型问题
中考数学专题复习——分类讨论问题在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。
正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
代数计算中的分类讨论（数学公式、性质引起的分类讨） 定义型23ax 4a x-3x 9x 3+==-+无解，则性质型：2.一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21D ．－6或14含参型：3．若关于x 的函数y=k 2x ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ．4．已知关于 x 的方程01)32(22=++--k x k x ．⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．三角形、圆等几何图形中的分类讨论母题：在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,P k,(有k个就标到P K为止,不必写出画法)跟踪练习：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 .例；如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0），点F与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y 轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．达标练习：1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．2．如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
2023年九年级中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练
中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练一．选择题（共10小题）1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23 B．19.5或23C．9或23 D．9或19.5或232．已知方程x 2 -6x+8=0的根，分别是等腰三角形的底边和腰长，则该三角形的周长为（）A．6 B．10 C．8 D．124．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定5．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x 2 -10x+m=0的两个实数根，则m的值是（）A．24 B．25 C．26 D．24或25为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．87．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55°C．70°或55°D．60°8．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．80°、80°、20°B．80°、50°、50°C．80°、80°、20°或80°、50°、50°D．以上答案都不对9．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°．若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别是（）A．50°，50°，50°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°二．填空题（共5小题）11．等腰三角形的三边长分别为m-2，2m+1，8，则等腰三角形的周长为________ ．12．等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为6cm,则它的周长是________ ．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P在BC上，且PB=3，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则CM=________ ．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上一点，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B= ________ °．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点且S △PBC = 152，则D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，PD的长为________ ．三．解答题（共5小题）16．如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．（1）已知4a 2 -a-4=0，求代数式（2a-3）（2a+3）+（a-1） 2 +（1+a）（2-a）的值；（2）已知a,b满足a 2 +b 2 -10a-4b+29=0，且a,b为等腰三角形△ABC的边长．求△ABC的周长．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒．（1）当点P在线段AB上时，BP= ________cm.（用含t的代数式表示）（2）若△BCP为直角三角形，则t的取值范围是________ ．（3）若△BCP为等腰三角形，直接写出t的值．（4）另有一动点Q从点C开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．19．如图，矩形ABCD，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），连接PB，作PE⊥PB交射线DC于点E．已知AD=6，AB=8．设AP的长为x.（1）如图1，PM⊥AB于点M，交CD于点N．求证：△BMP∽△PNE．是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理（2）试探究：PEPB由．（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出所有x的值．20．如图，CD是△ABC的高，CD=8，AD=4，BD=3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF=DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE= ________ ；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为________ ；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．。
中考数学如何做好分类讨论题
第1页/共5页 中考数学如何做好分类讨论题 文章：分类讨论在数学题中经常出现，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。所以，这种题很容易不小心丢分。分类讨论在数学题中经常出现，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。所以，这种题很容易不小心丢分。跟老师和学生们交流之后发现，就算是学习成绩很好的同学在这种题上都会多多少少的出现问题，因此我们在考试当中一定要养成以下几个好习惯。 首先我们要有分类讨论的意识。很多知识点是分类讨论的常客，对于这些知识点，同学们在考试时要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，以免掉进出题老师的陷阱。 其次，分类讨论是要有一定原则，不要东一榔头西一棒子的的试，要具备一定的条理。 分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级有序进行。 以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C第2页/共5页
的坐标。这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30°角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30°或60°。 第三，在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的，最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复，需要进行合并。例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标，如果按照一定的原则分类讨论后，有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况，这种情况下就要进行合并。也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。 以下几点是需要大家注意分类讨论的 1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。 2、讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。 第3页/共5页
中考总复习数学专题优化训练：分类讨论思想
热点专题二 常用的数学思想和方法专题训练四 分类讨论思想一、选择题1.一等腰三角形的两边长分别为5和10，则此等腰三角形的周长为A.20或25B.20C.25D.以上都不对 2.设a 、b 为实数，则下列四个命题中正确的有______________个.①若a+b=0，则|a|=|b| ②若|a|+|b|=0，则a=b=0 ③若a 2+b 2=0，则a=b=0 ④若|a+b|=0，则a=b=0A.1B.2C.3D.43.直线y=x-1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有_____________个.A.4B.3C.2D.1 4.⊙O 中，∠AOB=84°，则弦AB 所对的圆周角是A.42°B.138°C.84°D.42°或138° .5.如图2-1，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论： ①AE=AF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP. 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有图2-1A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题6.已知|x|=3，|y|=2，且x ²y<0，则x+y 的值等于_________________.7.当式子545||2---x x x 的值为零时，x 的值是________________. 8.已知两圆的半径分别是5 cm 和6 cm ，且两圆相切，则圆心距是________________.9.已知⊙O 的直径为14 cm ，弦AB=10 cm ，点P 为AB 上一点，OP=5 cm ，则AP 的长为_______________ cm.10.用16 cm 长的铁丝弯成一个矩形，用18 cm 长的铁丝弯成一个有一条边长为5 cm 的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为___________________. 三、解答题11.由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图(如图2-2).图2-2(1)请你画出这个几何体的一种左视图；(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.12.某水果品公司急需汽车，但又无力购买.公司经理想租一辆，一出租公司的出租条件为：每百千米租费110元；一个体出租司机的条件为：每月租800元工资，另外每百千米付10元油费.那么该水果品公司租哪家合算？13.某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合理建议.14.在一次国际象棋比赛中，每个选手都要与其他选手比赛一局.评分规则是：每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，每个选手每人各记1分.现在恰好有四个同学统计了比赛中全部选手得分总和，他们的结果分别是：1 979、1 980、1 984、1 985，经核实确定有一位同学统计无误.通过以上数据，你能计算出这次比赛中共有多少名选手参加吗？请试试看！一、选择题1答案：C提示：腰可能是5，也可能为10，但又要考虑三角形的构成条件.2答案：C提示：根据绝对值的性质. 3答案：A提示：分四种情况.如下图.4答案：D提示：弦所对的圆周角有两种情况 5答案：B提示：由旋转可知. 二、填空题 6答案：1或-1提示：|x|=3，|y|=2，所以x=±3，y=±2,再由x ²y<0确定x+y. 7答案：-5 提示：545||2---x x x 的值为零时，分子为0，所以x=±5，但分母不能为0. 8答案：11 cm 或1 cm提示：两圆相切，包括外切和内切. 9答案：4或6提示：点P 为AB 上一点，P 可能靠近A ，也可能靠近B. 10答案：3，5或2，6提示：若以5 cm 的边为底边时，则等腰三角形的面积为15 cm 2.若以5 cm 的边为腰时，则等腰三角形的面积为12 cm 2. 设矩形的一边长为x cm ， 则另一边为(8-x) cm,根据题意，得x(8-x)=15或x(8-x)=12， 解方程x(8-x)=15，得x 1=3，x 2=5. 解方程x(8-x)=12，得x 3=2，x 4=6.∴当矩形面积为15 cm 2时，一边为3 cm ，另一边为5 cm ； 当矩形面积为12 cm 2时，一边为2 cm ，另一边为6 cm. 11解：（1）左视图有以下5种情形（只要画出一种即可）.（2）n=8,9,10,11. 12答案：（1）当行驶里程为8百千米时，两家公司一样合算; （2）当行驶里程大于8百千米时，个体公司合算; （3）当行驶里程小于8百千米时，出租公司合算.提示：根据题意，列出两家公司的费用与行驶里程之间的函数关系式，然后再根据不等关系比较两家公司的费用大小.13答案：（1）y=200x+74 000(10≤x≤30，x为正整数);（2）三种方案：一、A地区甲型2台，乙型28台；B地区甲型18台，乙型2台.二、A地区甲型1台，乙型29台；B地区甲型19台，乙型1台.三、A地区甲型0台，乙型30台；B地区甲型20台，乙型0台.（3）派往A地区乙型30台；B地区甲型20台.提示：设派往A地区x台乙型联合收割机，根据题意列出y与x间的函数关系式，并写出x 的取值范围，然后再根据x的取值范围，确定方案.14答案：有45名选手.提示：设有n名选手，则得分总数必为偶数.2²2)1(-nn=1 984无整数解.由2²2)1(-nn=1 980,解得n1=45，n2=-44（舍去）.。
中考数学专题训练 分类讨论及答案
第三节 分类讨论【回顾与思考】数字间→确定分类的原则或标准→分类【例题经典】会根据字母的大小或取值范围分类例1 （天津市）已知│x │=4，│y │=，且xy<0，则=_______． 【点评】由xy<0知x ，y 异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．会根据条件指待不明分类例2 （黑龙江省）为了美化环境，计划在某小区内用30m 2•的草皮铺设一块边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边．【点评】因已知边为10指待不明，故应将已知边为10分底边或腰，当为腰时还要按三角形形状分类共三种．会根据图形的相对位置不同分类例3 ①（乌鲁木齐市）若半径为1cm 和2cm 的两圆相外切，•那么与这两个圆相切、且半径为3cm 的圆的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【点评】两圆相切，有内切，外切，故应分都外切，都内切，一内一外，一外一内共有五种．②⊙O 1与⊙O 2相交于AB ，且AB=24，两圆的半径分别为r 1=15，r 2=13，求两圆的圆心距．【点评】根据两圆圆心与公共弦的相对位置分O 1、O 2在AB 的同一侧和在AB•两侧进行分类．【考点精练】 1．（山西省）现有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，5cm 的木棒，从中任取三根，•能组成三角形的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．（哈尔滨市）直线y=x-1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，•△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个 3．（山西省）已知⊙O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB=3，AB=8，则tan ∠OPA 的值为（ ） A ．3 B ．C ．或D ．3或 4．（河南省）三角形两边的长分别是8和6，•第三边的长是一元二次方程x 2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）⎧⎨⎩不重不漏12xy37133737A ．24B ．24或C ．48D ．5．（山西省）如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B，C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B 、•C 的一动点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．65°B ．115°C ．65°和115°D ．130°和50° 6．（陕西省）要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已有三角形框架甲，它的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，•那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 7．（甘肃省）若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（ ） A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．1或48，则斜边上的高为________．9．已知⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于D ，∠BOD=42°，则∠BAC=______度． 10．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与直线AC 相交所得的锐角为50°，•则底角∠B 的大小为__________． 11．⊙O 1和⊙O 2交于A ，B ，且⊙O 1经过点O 2，∠AO 1B=90°，则∠AO 2B 的度数为____． 12．若一次函数当自变量x 的取值范围是-1≤x ≤3时，函数y 的范围为-2≤y ≤6，•则此函数的解析式为________． 13．（天津市）已知正方形ABCD 的边长是1，E•为CD•边的中点，•P•为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E ．若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y=时，x 的值等于_______． 14．（日照市）在“五·一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受九折优惠；（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠．王茜在本超市两次购物分别付款80元，•252元．如果王茜改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，则应付款（ ） A ．332元 B ．316元或332元 C ．288元 D ．288元或316元 15．（杭州市）在图所示的平面直角坐标系内，已知点A （2，1），O 为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P ，使得△AOP 成为等腰三角形，•在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点，并在旁边标上P 1，P 2，……，P k （有k 个就标到P k 为止，•不必写出画法）．1316．（河北省）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=•12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q•从点C 出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C•同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PO⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17．（荆州市）已知：如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以点O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C的坐标分别为A（10，0），B（4，8），C（0，8），D为OA的中点，动点P•自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．（1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值；（2）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．18．（泉州市）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm ，正方形DEFC•的边长为2cm ，其一边EF 在BC 所在的直线L 上，开始时点F 与点C 重合，让正方形DEFG•沿直线L 向右以每秒1cm 的速度作匀速运动，最后点E 与点B 重合．（1）请直接写出该正方形运动6秒时与△ABC 重叠部分面积的大小； （2）设运动时间为2）．①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y 与x 之间的函数关系式；• ②在该正方形整个运动过程中，求当x 为何值时，y=．答案:12例题经典 例1：-8例2：①当AB 为底边时，AD=DB=5，②当AB•为腰且三角形为锐角三角形时，AB=AC=10，=8，BD=2，③当AB为腰且三角形为钝角三角形时， AB=BC=10，BD=8，例3：①A ②14或4考点精练1．C 2．C3．D 4．B 5．C6．C 7．C 8 9．42°或138° 10．20°或70° 11．45°或135° 12．y=2x 或y=-2x+4 13．或 14．D15．P 1（4，0），P 2（0，2），P 30），P 4（0），P 5（0，，P 6（0，，P 7（，0），P 8（0，）16．（1）S=96-6t （2）•①若PQ=BQ ，t=②若BP=BQ 得3t 2-32t+144=0，△<0，无解，∴PB ≠BQ ③若PB=PQ 得t 2+122=（16-2t ）2+122，解得t 1=，t 2=16（舍去）， ∴当t=秒或秒时以B 、P 、Q•为顶点的△是等腰三角形 （3）由△OAP ∽△OBQ 得 （4）当t=9秒时，PQ ⊥BD ．17．（1）S=2t （0<t ≤10）当t=10时，S 最大值=20 （2）可得经过7秒或秒后，线段PD 将梯形COAB 的面积分成1：3两部分， 此时符合题意的点坐标为（23535452721637216315830,,tan 2529AP AO t QPE BQ OB ==∴=∴∠=825292828,),(0,)55518．（1）重叠部分面积为×22=2（cm 2） •（2）①当正方形停止运动时，点E 与点B 重合，此时EB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-EB =（8-x ）2 • ②在正方形运动过程中分四种情况：Ⅰ．当0<x<2时，y=2x 且0<y<4令y=得x=． Ⅱ．•当2≤x ≤4时，重叠部分面积为4，此时y ≠．Ⅲ．当4<x ≤6时，y 随x 增大而减小，2≤y<4，此时y ≠． Ⅳ．当6<x<8时，由（2）①得y=（8-x ）2， ∵y 随x 增大而减小，当x=6时，y=2，当x=•8时，y=0，∴0<y<2，令（x-8）2=，且x 1=7，x 2=9（舍去）， ∴x=7，综上所述：x=或x=7时y=．1212121412121212121412。
2020年中考数学二轮核心考点讲解第14讲数学思想应用专题原卷板
【中考数学二轮核心考点讲解】第14讲数学思想应用专题分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各情况下相应的结论．分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；(3)分类讨论要逐级进行；(4)分类必须包含所有情况，既不能重复，也不能有遗漏．数形结合思想数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析问题，将抽象的数学语言和直观的图形语言结合起来表示问题，从而解决问题的数学思想．运用数形结合思想解决问题，关键是要找到数与形的契合点．数形结合在不等式(组)、函数等知识中有着广泛的应用，综合题中始终渗透着对数形结合思想的考查．转化思想转化思想的运用可以让我们在遇到较为复杂的题型时，能够辩证进行分析。
通过一定方式，让繁杂的问题简单清晰化，让陌生的题型熟悉化，让抽象题型更具体。
准确的说，可以把各种隐藏在题目内的隐含问题全部明显的罗列出来，从一个信息条件快速的转化出更多的信息条件。
转化思想的内涵相当丰富，可以将数量、图形、概念等统统进行转化，从而达到解题的效果。
代数解析思想解析思想本属于代数类题型的解题方法，但在解答一些几何题时，特别是计算几何边长或者关于某个点的相关信息时，常常构建平面直角坐标系，将几何问题代数化，计算线段长度，转为计算点的坐标，直线解析式，运用诸如两点间距离公式，中点坐标公式等来进行解答．方程思想顾名思义，在解答几何题或者函数类题目时，常常对未知量或者是几个变量之间的分数关系进行设未知数来表达，通过寻找等量关系求解位置量的方法技巧．【例题1】-分类讨论思想将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【变式1-1】已知在△ABC中，tanA=34，AB=5，BC=4，那么AC的长等于__________.【变式1-2】（2016•江西模拟）如图，矩形ABCD，AB＝5，AD＝8，E是AD上一动点，把△ABE沿BE折叠，当点A的对应点A′落在矩形ABCD的对称轴上时，折痕BE的长为．【例题2】-数形结合思想如图，在在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P 点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：（1）BC=cm；（2）当t=秒时，四边形PQBA成为矩形．（3）当t为多少时，PQ=CD？（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．【变式2-1】（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m 的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．【变式2-2】某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m＝．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有个实数根；②方程x2﹣2|x|＝2有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【例题3】-转化思想某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min 后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示． 请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为 km ，大客车途中停留了 min ，a ＝ ； (2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h ，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ (4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待 分钟，大客车才能到达景点入口．【变式3-1】如图，已知圆锥的底面圆直径AB 为2r （r ＞0），母线长OA 为3r ，C 为母线OB 的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A 爬行到点C 的最短路线长为 ．【变式3-2】（2019•费县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d最大时点P的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例题4】-代数解析思想如图1，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连结PQ，M为PQ中点，若AD＝10，AB＝a，DP＝8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．【变式4-1】正方形ABCD边长为6，点E是边BC上一点，且BE=2CE，BF⊥DE于点F，求CF的长【变式4-2】某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB＝8．问题思考：如图4，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．(1)分别连结AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：(2)如图5，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点D所经过的路径的长(3)在第二问的情况下，求OM＋OB的最小值．【例题5】-方程思想如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E. (1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD ＝∠DAB ； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE ；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【变式5-1】如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF ＝（ ）A．B．C．D．【变式5-2】（2020•建湖县校级模拟）朦胧宝塔位于建湖县宝塔镇境内，2002年10月被公布为江苏省第五批文物保护单位．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小颖的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小颖相距23米，求慈氏塔的高度AB．1. 若关于x的一元二次方程mx2－4x+3=0的一个根是3，以此方程的两根为边长的等腰三角形周长是（）A．5B．7C．5或7 D．92. 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长是．3. 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠34. A、B两地相距450 km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120 km/h，乙车速度为80 km/h，过t(h)后两车相距50 km，则t的值是．5. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为．6. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（）7.已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，则BE的长是．8.如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为．9.如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是（）．A. 3≤AP＜5B.2≤AP＜4C.2≤AP＜5D.3≤AP＜410.在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．11.如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数是．12.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的周长．13.已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的面积为．14.如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR 的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为（）A．1B．2C．3D．615.如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线y＝x+n与坐标轴交于点B、C，连接AC，如果∠ACD＝90°，则n的值为．16.△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标．17.如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．18.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△P AB是等腰三角形时，线段BC的长为．19.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．20.已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1＝2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．A2019C2019C2020D2020的边长是．21.已知正方形ABCD的面积35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点，AF和CE相交于点G，并且△ABF的面积为5平方厘米，△BCE的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF的面积是平方厘米．22.如图，已知线段AB＝10，AC＝BD＝2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．23.如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．24.（2020•南岗区模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE＝CD，连接OE，∠ABE＝∠ACB，若AE＝2，则OE的长为．25.（2020•漳州模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．26.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝40cm，高AD＝30cm，要把它加工成矩形零件，矩形EFGH的一边FG在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，AD与EH的交点为点M，设FG＝xcm，当x为何值时，这个矩形零件的面积最大？最大面积是多少？27.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE＝x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？28.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．。
中考数学二轮专题复习1一 化归思想问题(含答案)
中考数学专题复习一 化归思想问题一、总体概述数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．二、典型例题【例题1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．【例题2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=【例题3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．【例题4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．【例题5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c2的关系，并证明你的结论．三、当堂达标一、选择题1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（）1221. . . .1112x x x x A B C D y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩ 2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ） 8.2 6 .238.8 6 .23A y x B y x C y x D y x =-+=--=--=--3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜12B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72＜m ＜－l 4．已知11553x xy y x yx xy y +--=--，则的值为（ ） A 、72 B 、－72 C 、27 D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ）A ．6B ．4C ．0D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（ ），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b二、填空题7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 的形式，则y=__________________-9．若分式293x x -+的值为零，则x=________ 10函数y=21x x +-中自变量x 的取值范围是_______. 11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______.12、点（1，6）在双曲线y= k x上，则k=______． 三、解答题13．解下歹方程（组）： 23664011(1)1x x x x x x -+=+-=----23⑴⑵x+1x215x y x y -=-⎧⎧⎨⎨-+=⎩⎩x+y=10⑶ ⑷2x-y=-114．已知2286250,x y x y ++++=求代数式224442y x x xy y x y --+++2x 的值。
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中考数学二轮专题复习
分类讨论问题
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
中考数学二轮专题复习：分类讨论问题
【简要分析】
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，
然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答
无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干
个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区
分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分
类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．
【典型考题例析】
例1：已知直角三角形两边x、y的长满足
22
4560xyy
，则第三边长
为 ．
分析与解答 由已知易得
12
2,2,3.xyy
（1）若2,2xy是三角形两条直角边的长,则第三边长为
22
2222
．
（2）若2,3xy是三角形两条直角边的长,则第三边长为
22
2313
，
（3）若2x是一角边的长，3y是是斜边，则第三边长为
22
325
．
∵第三边长为22135或或．
例2：⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离
是（ ）
（A）7㎝ （B）8㎝ （C）7㎝或1㎝ （D）1㎝
分析与解答 因为弦AB、CD均小于于直径，
故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能：
一是位于圆心O的同侧，
二是位于圆珠笔心O的异侧，
如图2-4-1，过O作EF⊥CD，分别交CD、AB于E、F，
则CE=4㎝，AF=3㎝．
由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．
当AB、CD在圆心异侧时，距离为OE+OF=7㎝．
当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF-OE=1㎝．选C．
例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在
CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．
分析与解答 勾股定理可得AE=5．
当△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以
与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1）当DM与BE是对应边时，
DMMN
ABAE
，即15,155DMDM．
（2）当DM与AB是对应边时，
DMMN
ABAE
，即125,255DMDM
故DM的长是52555或．
AD∥BC，∠例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，
C=90
0
，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长
度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运
动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运
动时间为t秒．
（1） 设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（2） 当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？
图2-4-1
F
O
D
CED
C
B
A
图2-4-2
E
N
M
D
C
B
A
（3）
分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，
则四边形PDCM为矩形，∴PM=DC=12．
∵QB=16-t，∴
1
12(16)9662Stt
．
（4） 由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：
① 由图可知，PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，
22222222
12.,12(16)PQtPQBQtt由得
，解得72t．
② 若PQ=BQ．在Rt△PMB中，
22222222
(16)12.,)12(16)BPtBQtt由BP得(16-2
，即23321440tt，∵△
=7040，
∴解得
2
3321440tt
无解，∴BPBQ．
③若PB=PQ．在Rt△PMB中，，
222222
,12(162)12QPtt由BP得
．解得
12
16
,163tt
不合题意，舍去）．
综合上面原讨论可知：当
7
2
t
秒或163t秒时，以B、P、Q三点为项点的三角形
是等腰三角形．
说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思
路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的
基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解
的根本保证．
【提高训练】
1．已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定
有一定有条边等于（ ）
A．7㎝ B．2㎝或7㎝ C．5㎝ D．2㎝或7㎝
2．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且
与⊙O相切的圆的半径一定是（ ）
A．1或5 B．1 C．5 D．1或则
3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而
行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千
米，则t的值是（ ）
A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5
４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，
在⊙O内作了长为22的弦AB，连续PB，则PB的长为
5．在直角坐标系xoy中，一次函数323yx的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴
上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【参考答案】
1．D 2．A 3．A 4．2或25
5.（1）33(,)22
（2）满足条件的点P存在，它的坐标是
23
(23,0)(,0)(423,0)(423,0)3或或或
.