个人住房抵押贷款以及其它金融问题
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——差分方程
四、问题求解
令Bk=Ak - Ak-1 Ak+1＝(r＋1)Ak –m Ak＝(r＋1)Ak-1 –m →Bk+1=(r+1)Bk
等比数列
→Ak-A0=B1+B2+…+Bk=B1[(r+1)k-1]/r
=[(r+1)A0 – m - A0][(r+1)k - 1]/r Ak＝A0(1+ r)k - [(r+1)k -1]m/r， k=1,2,…,K
对二年期贷款，A0＝10000, l=2, Rl=0.06255
年还款额m'=5473.867元,本息总额n'=10947.63 元
比逐月还款本息总一额般n呢=？10664.54元多！
任务2:制定住房商业性贷款利率表和还款表
若已知如下贷款年限的住房贷款利率(％):
1年：6.35 3年：6.43 5年：6.58 >5年：6.66 试制作一张为期1－30年的还款表
任务3 一个购房贷款的比较
小李夫妇曾经准备申请商业贷款 10万元用于购置住房，每月还款 880.66元，25年还清。
房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元， 每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中 介费手续费等原因，贷款时要预付4000元.
小李考虑，虽然预付费用不少，可减少三年还款 期意味着减少还款近32000元，而每月多跑一趟， 那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的。
8 289.8123 250.1877 20 294.3054 245.6946
9 290.8536 249.1464 21 294.3582 245.6418
10 291.6658 248.3342 22 294.3994 245.6006
11 292.2993 247.7007 23 294.4315 245.5685
以25岁起投保60岁开始领取养老金至75岁为例：
p=200，N =420(35年×12)，q=2282，M =600(50年×12)
Fk = (r+1)Fk-1 + p, k = 1,…, N Fk = (r+1)Fk-1 - q, k = N+1,…, M Fk = F0 (1+r)k +[(1+r)k-1] p/r, k = 1,…, N Fk = FN (1+r)k-N -[(1+r)k-N-1] q/r, k =N+1,…, M F0 =0 →FN= [(1+r)N-1] p/r
a=0;b=0; else a=c(1)*Q(1,1);b=c(1)*Q(2,1); end [a,b]
结果：294.5455 245.4545
进一步问题
根据两地公司的业务情况，该金融机构决定 在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6 万，相应地B城公司的支付基金减少$6万.
此时，机构中一位职员(他曾就读于某大学数 学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.5 万.
24
36
48
60
月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118
本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71
提出问题
个人住房商业抵押贷款年利率表和个人 住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银 行的贷款利率水平制定的？
R1=R0.5， R2=0.5(R0.5+R1)，R3=R1 R4=0.5(R1+R3)，R5=R3
2.贷款利率和月还款额关系
l —贷款年限，K=12l —贷款月限
m —月还款额, n=Km-本息总额
Ak —贷款后第k 个月时欠款余数,A0 —初始贷款数 Rl—年利率，r=Rl/12 —月利率
Ak＝(r＋1)Ak-1 –m，k =1,2,…, K Ak – Ak-1 = r Ak-1 –m， k = 1,2,…, K
某保险公司的推出结合养老的寿险计划为：若 40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费 期20年至60岁，则在他生存时期，45岁时(投 保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返 还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000 元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受 益人可获保险金20000元。
n= Km=60m 使用Matlab 命令: m=55.5*1.00555^60/(1.00555^60-1)
n=60*m 结果:
m = 196.4118 n = 1.1785e+004
任务1：讨论还款周期问题
➢ 还款周期越短越好吗？ 如果逐年还款，则K=l, r=Rl 年还款额m'=Rl A0(Rl+1)l /[(Rl+1)l -1] 本息总额n'=lm
问题：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所 获得的实际年利率是多少？若该投保人寿命为74 岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？
2. 金融公司的支付基金的流动
(形式推广的 新问题)
总额$540万基金,放置A公司和B公司 初始：A公司基金额$260万,B公司基金额$280 万 每过一周
A 城公司基金10％→ B 城公司 B 城公司基金12％ → A 城公司
n= Km
使用Matlab 命令：m=52.125*1.0052125^24/(1.0052125^24-1)
n=24*m 结果:
m=444.356 n=10664.54
➢ 考虑五年期情况：
A0＝10000,l=5,K＝60,Rl=0.0666，r＝R2/12=0.00555
m= r A0(1+ r)K/[(1+ r)K－1] = 55.5(1.00555)60 /[(1.00555 )60－1]
出相应调整，公布新的利率表和还款表
个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率(％) 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660 现利率(％) 6.43 6.43 6.43 6.58 6.58
个人住房商业抵押贷款(万元)还款表
贷款期年 1
2
3
4
5
月 12
试分析情况是否这样？
五、其它金融或经济问题
1. 养老保险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元 至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁 起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投 保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老 金420元.
问题：交保险费所得利率如何？(假定投保人 所得完全由其交款及利息产生)
FM =0 → (1+ r )M－ (1+ q/p ) (1+ r )M－N + q/p ＝0
记 x=1+ r， 得
xM - (1+q/p)xM-N +q/p=0 — 求方程根 r=x-1
以25岁起投保60岁开始领取养老金至75岁为 例：
使用Mxa60t0la－b1：2.41x180＋11.41＝0
fzero(inline(‘x^600-12.41*x^180+11.41’), 1.06) ans:
得 x＝1.010.04084585 , r ＝0.00485
交保险费所得
月利率为 0.00485 = 0.485% 年利率为 0.00485×12 = 0.0582 = 5.82%
任务4：一个人寿保险计划的利率分析
a0 b0
=
c1d
k 1
q1
+
c2d
k 2
q2
c1d 1k q1
c1q1
ak c1q11 ,bk c1q21
利用Matlab：
a0=260;b0=280; P=[0.9,0.12;0.1,0.88]; [Q,D]=eig(P); c=Q\[a0;b0]; if D(1,1)>1
a=inf;b=inf; elseif D(1,1)<1
要求：周末结算时总额仍为$540万
问题：资金流动趋势？ 会否少于警戒数＄220(万)?
数学模型：
ak —第k周末结算时A城公司支付基金数(万美元) bk —第k周末结算时B城公司支付基金数(万美元）
ak+1= 0.9ak + 0.12 bk bk+1= 0.1ak + 0.88 bk
——齐次差分方程组
,q2
)
=
q11
q21
q12
q22
d1 = 1, d2 = 0.9 + 0.88 - 1 = 0.78 是P的特征值，
qi 是对应于di 的特征向量
ak bk
=
QD k Q -1
a0 b0
=
(q1
,q2
)
d
k 1
0
0
d
k 2
c1 c2
c1 c2
=
Q
-1
任务5:试问机构负责人是否应该采纳这 个建议？为什么？
此任务可作修改，例如周末分别给A、B公 司增减资金3％，可尝试讨论
踏实，奋斗，坚持，专业，努力成就 未来。20.11.1920.11.19Thurs day, November 19, 2020
弄虚作假要不得，踏实肯干第一名。12:03:4212:03:4212:0311/19/2020 12:03:42 PM
AK=0 →
m=rA0(r+1)K /[(r+1)K -1] n=Km
➢ 考虑二年期情况：
A0＝10000,l=2,K＝24,Rl=0.06255，r＝R2/12=0.0052125
m= r A0(1+ r)K/[(1+ r)K－1] = 52.125(1.0052125)24 /[(1.0052125 )24－1]
4 281.7584 258.2416 16 293.8970 246.1030
5 284.5716 255.4284 17 294.0396 245.9604
6 286.7658 253.2342 18 294.1509 245.8491
7 288.4773 251.5227 19 294.2377 245.7623
(注意：显然结果依于投保人寿命)
p —停交保险费前所交的月保险费数目(元)
N —自投保起至停交保险费的时间长度(月)
q —停交保险费起所领月养老金的数目(元)
M —自投保起至停领养老金的时间长度(月) (依赖于投保人寿命，取平均寿命75岁） Fk —投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的
累计总额(元),F0 =0，FM =0 r —所交保险金获得的利率
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.11.1912:03:4212:03Nov-2019-Nov-20
个人住房抵押贷款 以及其它金融问题
一、目的
➢ 涉及微积分和线性代数 ➢ 介绍差分方程 ➢ 复习：数列及其极限、线性代数方程组、
矩阵及其运算、方程的求根 ➢ 运用 Matlab 进行迭代运算、求根、
矩阵等运算
二、实际问题
➢ 中国人民银行多次调整存、贷款利率
1998年12月，中国人民银行公布了新的存、 贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列:
bk
k ak
bk
0 260.0000 280.0000 12 292.7935 247.2065
1 267.6000 272.4000 13 293.1789 246.8211
2 273.5280 266.4720 14 293.4796 246.5204
3 278.1518 261.8482 15 293.7141 246.2859
贷款期限 0.5年 1年 3年 5年 5年以上 利率(%) 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 现利率(%) 6.58 7.47 7.56 7.74 7.83 (当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利 率为对应相邻两数中较大者)
➢ 上海个人住房商业性贷款利率再次降低
上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作
三、数学模型
1.贷款利率和住房贷款利率关系
贷款年利率表
贷款期限i(年) 0.5 1 3 5 >5
年利率Ri(％) 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56
个人住房商业抵押贷款年利率表
贷款期限i(年) 1 2
345
年利率Ri(％) 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660
关系：线性插值
➢ 观察数据
通过对数据的观测估计结论(24周数据)
使用Matlab：
t(1)=0;a(1)=260;b(1)=280; for k=1:23
t(k+1)=k; a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k); end [t’,a’,b’]
k ak
A 城公司基金数在逐步增加,但增幅逐步变小
B 城公司基金数在逐步减少,但减幅逐步变小
ak有上界？bk有下界? bk会小于220？
➢ 矩阵形式
导出表达式
{ak},{bk}收敛? ak→Βιβλιοθήκη Baidubk→?
P
=
0.9 0.1
0.12 0.88
对角化：P
=
QDQ -1
D
=
d1 0
0
d
2
,
Q
=
(q1
四、问题求解
令Bk=Ak - Ak-1 Ak+1＝(r＋1)Ak –m Ak＝(r＋1)Ak-1 –m →Bk+1=(r+1)Bk
等比数列
→Ak-A0=B1+B2+…+Bk=B1[(r+1)k-1]/r
=[(r+1)A0 – m - A0][(r+1)k - 1]/r Ak＝A0(1+ r)k - [(r+1)k -1]m/r， k=1,2,…,K
对二年期贷款，A0＝10000, l=2, Rl=0.06255
年还款额m'=5473.867元,本息总额n'=10947.63 元
比逐月还款本息总一额般n呢=？10664.54元多！
任务2:制定住房商业性贷款利率表和还款表
若已知如下贷款年限的住房贷款利率(％):
1年：6.35 3年：6.43 5年：6.58 >5年：6.66 试制作一张为期1－30年的还款表
任务3 一个购房贷款的比较
小李夫妇曾经准备申请商业贷款 10万元用于购置住房，每月还款 880.66元，25年还清。
房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元， 每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中 介费手续费等原因，贷款时要预付4000元.
小李考虑，虽然预付费用不少，可减少三年还款 期意味着减少还款近32000元，而每月多跑一趟， 那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的。
8 289.8123 250.1877 20 294.3054 245.6946
9 290.8536 249.1464 21 294.3582 245.6418
10 291.6658 248.3342 22 294.3994 245.6006
11 292.2993 247.7007 23 294.4315 245.5685
以25岁起投保60岁开始领取养老金至75岁为例：
p=200，N =420(35年×12)，q=2282，M =600(50年×12)
Fk = (r+1)Fk-1 + p, k = 1,…, N Fk = (r+1)Fk-1 - q, k = N+1,…, M Fk = F0 (1+r)k +[(1+r)k-1] p/r, k = 1,…, N Fk = FN (1+r)k-N -[(1+r)k-N-1] q/r, k =N+1,…, M F0 =0 →FN= [(1+r)N-1] p/r
a=0;b=0; else a=c(1)*Q(1,1);b=c(1)*Q(2,1); end [a,b]
结果：294.5455 245.4545
进一步问题
根据两地公司的业务情况，该金融机构决定 在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6 万，相应地B城公司的支付基金减少$6万.
此时，机构中一位职员(他曾就读于某大学数 学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.5 万.
24
36
48
60
月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118
本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71
提出问题
个人住房商业抵押贷款年利率表和个人 住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银 行的贷款利率水平制定的？
R1=R0.5， R2=0.5(R0.5+R1)，R3=R1 R4=0.5(R1+R3)，R5=R3
2.贷款利率和月还款额关系
l —贷款年限，K=12l —贷款月限
m —月还款额, n=Km-本息总额
Ak —贷款后第k 个月时欠款余数,A0 —初始贷款数 Rl—年利率，r=Rl/12 —月利率
Ak＝(r＋1)Ak-1 –m，k =1,2,…, K Ak – Ak-1 = r Ak-1 –m， k = 1,2,…, K
某保险公司的推出结合养老的寿险计划为：若 40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费 期20年至60岁，则在他生存时期，45岁时(投 保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返 还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000 元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受 益人可获保险金20000元。
n= Km=60m 使用Matlab 命令: m=55.5*1.00555^60/(1.00555^60-1)
n=60*m 结果:
m = 196.4118 n = 1.1785e+004
任务1：讨论还款周期问题
➢ 还款周期越短越好吗？ 如果逐年还款，则K=l, r=Rl 年还款额m'=Rl A0(Rl+1)l /[(Rl+1)l -1] 本息总额n'=lm
问题：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所 获得的实际年利率是多少？若该投保人寿命为74 岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？
2. 金融公司的支付基金的流动
(形式推广的 新问题)
总额$540万基金,放置A公司和B公司 初始：A公司基金额$260万,B公司基金额$280 万 每过一周
A 城公司基金10％→ B 城公司 B 城公司基金12％ → A 城公司
n= Km
使用Matlab 命令：m=52.125*1.0052125^24/(1.0052125^24-1)
n=24*m 结果:
m=444.356 n=10664.54
➢ 考虑五年期情况：
A0＝10000,l=5,K＝60,Rl=0.0666，r＝R2/12=0.00555
m= r A0(1+ r)K/[(1+ r)K－1] = 55.5(1.00555)60 /[(1.00555 )60－1]
出相应调整，公布新的利率表和还款表
个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率(％) 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660 现利率(％) 6.43 6.43 6.43 6.58 6.58
个人住房商业抵押贷款(万元)还款表
贷款期年 1
2
3
4
5
月 12
试分析情况是否这样？
五、其它金融或经济问题
1. 养老保险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元 至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁 起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投 保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老 金420元.
问题：交保险费所得利率如何？(假定投保人 所得完全由其交款及利息产生)
FM =0 → (1+ r )M－ (1+ q/p ) (1+ r )M－N + q/p ＝0
记 x=1+ r， 得
xM - (1+q/p)xM-N +q/p=0 — 求方程根 r=x-1
以25岁起投保60岁开始领取养老金至75岁为 例：
使用Mxa60t0la－b1：2.41x180＋11.41＝0
fzero(inline(‘x^600-12.41*x^180+11.41’), 1.06) ans:
得 x＝1.010.04084585 , r ＝0.00485
交保险费所得
月利率为 0.00485 = 0.485% 年利率为 0.00485×12 = 0.0582 = 5.82%
任务4：一个人寿保险计划的利率分析
a0 b0
=
c1d
k 1
q1
+
c2d
k 2
q2
c1d 1k q1
c1q1
ak c1q11 ,bk c1q21
利用Matlab：
a0=260;b0=280; P=[0.9,0.12;0.1,0.88]; [Q,D]=eig(P); c=Q\[a0;b0]; if D(1,1)>1
a=inf;b=inf; elseif D(1,1)<1
要求：周末结算时总额仍为$540万
问题：资金流动趋势？ 会否少于警戒数＄220(万)?
数学模型：
ak —第k周末结算时A城公司支付基金数(万美元) bk —第k周末结算时B城公司支付基金数(万美元）
ak+1= 0.9ak + 0.12 bk bk+1= 0.1ak + 0.88 bk
——齐次差分方程组
,q2
)
=
q11
q21
q12
q22
d1 = 1, d2 = 0.9 + 0.88 - 1 = 0.78 是P的特征值，
qi 是对应于di 的特征向量
ak bk
=
QD k Q -1
a0 b0
=
(q1
,q2
)
d
k 1
0
0
d
k 2
c1 c2
c1 c2
=
Q
-1
任务5:试问机构负责人是否应该采纳这 个建议？为什么？
此任务可作修改，例如周末分别给A、B公 司增减资金3％，可尝试讨论
踏实，奋斗，坚持，专业，努力成就 未来。20.11.1920.11.19Thurs day, November 19, 2020
弄虚作假要不得，踏实肯干第一名。12:03:4212:03:4212:0311/19/2020 12:03:42 PM
AK=0 →
m=rA0(r+1)K /[(r+1)K -1] n=Km
➢ 考虑二年期情况：
A0＝10000,l=2,K＝24,Rl=0.06255，r＝R2/12=0.0052125
m= r A0(1+ r)K/[(1+ r)K－1] = 52.125(1.0052125)24 /[(1.0052125 )24－1]
4 281.7584 258.2416 16 293.8970 246.1030
5 284.5716 255.4284 17 294.0396 245.9604
6 286.7658 253.2342 18 294.1509 245.8491
7 288.4773 251.5227 19 294.2377 245.7623
(注意：显然结果依于投保人寿命)
p —停交保险费前所交的月保险费数目(元)
N —自投保起至停交保险费的时间长度(月)
q —停交保险费起所领月养老金的数目(元)
M —自投保起至停领养老金的时间长度(月) (依赖于投保人寿命，取平均寿命75岁） Fk —投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的
累计总额(元),F0 =0，FM =0 r —所交保险金获得的利率
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.11.1912:03:4212:03Nov-2019-Nov-20
个人住房抵押贷款 以及其它金融问题
一、目的
➢ 涉及微积分和线性代数 ➢ 介绍差分方程 ➢ 复习：数列及其极限、线性代数方程组、
矩阵及其运算、方程的求根 ➢ 运用 Matlab 进行迭代运算、求根、
矩阵等运算
二、实际问题
➢ 中国人民银行多次调整存、贷款利率
1998年12月，中国人民银行公布了新的存、 贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列:
bk
k ak
bk
0 260.0000 280.0000 12 292.7935 247.2065
1 267.6000 272.4000 13 293.1789 246.8211
2 273.5280 266.4720 14 293.4796 246.5204
3 278.1518 261.8482 15 293.7141 246.2859
贷款期限 0.5年 1年 3年 5年 5年以上 利率(%) 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 现利率(%) 6.58 7.47 7.56 7.74 7.83 (当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利 率为对应相邻两数中较大者)
➢ 上海个人住房商业性贷款利率再次降低
上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作
三、数学模型
1.贷款利率和住房贷款利率关系
贷款年利率表
贷款期限i(年) 0.5 1 3 5 >5
年利率Ri(％) 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56
个人住房商业抵押贷款年利率表
贷款期限i(年) 1 2
345
年利率Ri(％) 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660
关系：线性插值
➢ 观察数据
通过对数据的观测估计结论(24周数据)
使用Matlab：
t(1)=0;a(1)=260;b(1)=280; for k=1:23
t(k+1)=k; a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k); end [t’,a’,b’]
k ak
A 城公司基金数在逐步增加,但增幅逐步变小
B 城公司基金数在逐步减少,但减幅逐步变小
ak有上界？bk有下界? bk会小于220？
➢ 矩阵形式
导出表达式
{ak},{bk}收敛? ak→Βιβλιοθήκη Baidubk→?
P
=
0.9 0.1
0.12 0.88
对角化：P
=
QDQ -1
D
=
d1 0
0
d
2
,
Q
=
(q1