最新初中数学图形旋转拔高复习

一．选择题

1．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）

A．2﹣B．C．﹣1 D．1

2．如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（）

A．AC+BD＞AB B．AC+BD=AB C．AC+BD≥AB D．无法确定

3．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，2）向右平移5个单位得B点，若点C 到直线AB的距离为2，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）A．8个 B．6个 C．4个 D．2个

4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）

A．2 B．3 C．D．1+

5．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长

线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；

②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

6．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定

7．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO 的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

9．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

10．如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C 重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）

A．90°＜α＜180°

B．α=90°

C．0°＜α＜90°

D．α随着折痕位置的变化而变化

11．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC=12，∠B=30°，则DE的长是（）

A．6 B．4 C．3 D．2

二．填空题

12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．

13．如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．

14．如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB 上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C旋转得到△EDC，使点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则图中△CDF的面积为．

17．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．OA OB+OC（选填“＞”、“=”、“＜”）

18．如图，在Rt△ABC中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前

后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．

19．如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图1所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图1中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为cm （保留根号）．

20．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为．

22．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．

三．解答题

23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE ⊥MN于E，

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

26．已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：

（1）如图1所示，求证：OB∥AC；

（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；

（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（4）附加题：在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB=∠OCA，此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）．

27．如图，点C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在同侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接BD、AE．

（1）试找出图中能够通过旋转完全重合的图形，并说明它是绕哪一点旋转？旋转了多少度？

（2）说出AE与DB有什么关系，试用旋转的性质说明上述关系成立的理由．

28．等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F．

（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF 面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．

29．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=时，四边形BCDP是矩形；

（2）将点B绕点E逆时针旋转．

①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；

②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．

30．两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI．

31．阅读理解：

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD 集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（1）问题解决：

受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：BE+CF＞EF；

②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；

（2）问题拓展：

如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

32．如图（1），Rt△AOB中，，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC ﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q 从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．

（1）求OC、BC的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t 为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

33．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．

34．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

35．如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC=PB，则称点P为△ABC的准外心．

（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．

（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD=，在图中画出点P点，求∠APB的度数．

（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求PA的长．

36．运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．

（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）

（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3、l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．37．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．

（1）已知：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC 于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；

（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）

（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．

38．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：

①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；

（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率．

39．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）

（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C 点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）

40．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM 垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．

1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；

2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．

附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理由．

2018年03月07日幸运伊人的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）

A．2﹣B．C．﹣1 D．1

【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D 计算即可得解．

【解答】解：如图，连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，

∴AB=AB′，∠BAB′=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∴AB=BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，

，

∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），

∴∠ABC′=∠B′BC′，

延长BC′交AB′于D，

则BD⊥AB′，

∵∠C=90°，AC=BC=，

∴AB==2，

∴BD=2×=，

C′D=×2=1，

∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出B C′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．

2．如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（）

A．AC+BD＞AB B．AC+BD=AB C．AC+BD≥AB D．无法确定

【分析】根据三角形的三边关系，及平移的基本性质可得．

【解答】解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，

所以四边形ACEB是平行四边形，BE=AC，

当B、D、E不共线时，

∵AB∥CE，∠DCE=∠AOC=60°，

∵AB=CE，AB=CD，

∴CE=CD，

∴△CED是等边三角形，

∴DE=AB，

根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD＞DE=AB，

即AC+BD＞AB．

当D、B、E共线时，AC+BD=AB．

故选C．

【点评】本题利用了：1、三角形的三边关系；

2、平移的基本性质：

①平移不改变图形的形状和大小；

②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

3．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，2）向右平移5个单位得B点，若点C 到直线AB的距离为2，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）A．8个 B．6个 C．4个 D．2个

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【解答】解：根据题意：点B的坐标为（4，2），AB=5，且点C到直线AB的距离为2；

若角A是直角，则C的坐标有两种情况（﹣1，4）（﹣1，0）；

若角B是直角，则C的坐标有两种情况（4，4）（4，0）；

若角C是直角，则C有4种情况，故满足条件的C点有8个．

【点评】本题考查点坐标的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等．利用图形结合可以更便捷地解答此题．

4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）

A．2 B．3 C．D．1+

【分析】当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．

【解答】解：连接B′C，

∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，

∴B′在对角线AC上，

∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，

∴B′C=﹣1，

在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=﹣1，

在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（﹣1）=2﹣，

∴OD=1﹣OC=﹣1

∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+﹣1+﹣1=2．

故选A．

【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法．连接B′C构造等腰Rt△OB′C是解题的关键．

5．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长

线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；

②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的

定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；

②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；

③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；

④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误．【解答】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，

∴∠ABP=∠ABC，

∠CAP=（90°+∠ABC）=45°+∠ABC，

在△ABP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP，

=180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC，

=180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC，

=45°，故本小题正确；

②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），

∴∠APB=∠FPB=45°，

∵∵PB为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠FBP，

在△ABP和△FBP中，，

∴△ABP≌△FBP（ASA），

∴AB=BF，AP=PF；故②正确；

③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，

∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴∠APH=∠FPD=90°，

在△AHP与△FDP中，

，

∴△AHP≌△FDP（AAS），

∴DF=AH，

∵BD=DF+BF，

∴BD=AH+AB，

∴BD﹣AH=AB，故③小题正确；

④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，

∴AG⊥DH，

∵AP=PF，PF⊥AD，

∴∠PAF=45°，

∴∠ADG=∠DAG=45°，

∴DG=AG，

∵∠PAF=45°，AG⊥DH，

∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，

∴DG=GH+AF，

∵AF＞AP，

∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，

综上所述①②③正确．

故选A．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．

6．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定

【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．

【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，

∵∠EDF+∠FDC=90°，

∠GDC+∠FDC=90°，

∴∠EDF=∠GDC，

于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，

，

∴△DEF≌△DCG，

∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，