高中数学说题

高中数学说题

“教师说题”是近年来新兴的一项教研活动。概括地说：“说题”是指执教者在精心做题的基础上，阐述对题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律。说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者结合。开展说题活动能促进教师加强对试题的研究，从而把握考题的趋势与方向，用以指导课堂教学，提高课堂教学的针对性和有效性。

“说题”不同于以往的“说课”，从“说课”到“说题”，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，让你有种一步跨进课的最深处的感觉，是教研活动的极大的进步。

一、“说题”要注重“题”的选择

美国数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏”。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好的问题去引领学生的学，就没有数学课堂的精彩。教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实学生学的“有效”。说题的内涵不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”。因此，说题中的“题”更要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”。

二、“说题”之“五说”

教师说题不能仅停留在“从解题角度说题”这种浅表的意义上，要从“构建主义的教学观点上看说题”。我个人认为，应从这样的五个方面进行“说题”。即一说“题目立意”、二说“试题解法”、三说“数学思想方法”、四说“背景来源”、五说“拓展引申”。

说 题 稿

东北育才学校 王成栋

问题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题

已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．

（I ）讨论)(x f 的单调性；

（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x a

f x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于B A 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明： 0)(0'

说题目立意

（1）考查求导公式（包括形如)(b ax f +的复合函数求导）及导数运算法则；

（2）考查对数的运算性质；

（3）导数法判断函数的单调性；

（4）考查用构造函数的方法证明不等式；

（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。

说解法

（Ⅰ）解：)(x f 的定义域为),0(+∞， （解决函数问题，定义域优先的原则） 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x

+-'=-+-=- （常见函数的导数公式及导数的四则运算）

（ⅰ）若,0≤a 则0)('

>x f ，所以)(x f 在),0(+∞单调递增； （ⅱ）若,0>a 则由0)('

=x f 得a

x 1=， 当)1,0(a x ∈时，0)('>x f ，当),1(+∞∈a x 时，0)('

+∞单调递减. 综上，当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；

当0>a 时，1()(0,)f x a 在单调递增，在1(,)a

+∞单调递减. 归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽略函数的定义域，易错点二是分类讨论的分类标准的选取。

（II ）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“)1()1(x a

f x a f ->+”的不等式叫二元的不等式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。

解析：方法一：构建以x 为主元的函数 设函数11()(

)(),g x f x f x a a

=+-- （构造函数体现划归的思想） 则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+=，（这是本题的难点，很多学生不知要吧)(x g 朝何方象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有

利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复

合函数求导，只需掌握)(b ax f +型。）

222

3'

12211)(x

a x a a ax a ax a x g -=--++= （)(

b ax f +型的复合函数求导） 当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a

'<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a

+>- 方法二：构建以a 为主元的函数 设函数)1()1()(x a

f x a f a

g --+=，则 ax ax ax a g 2)1ln()1ln()(---+= 222

3'

12211)(x

a a x x ax x ax x a g -=--++= 由a x 10<<，解得x

a 10<< 当x

a 10<<时，0)('>a g ，而0)0(=g ，所以0)(>a g 故当x a 10<<，11()().f x f x a a +>- 归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。

（Ⅲ）分析：判断)(0'x f 的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定

221x x +与a

1的大小关系，又可等效成判断12x a

-与2x 的大小关系，根据（Ⅱ）中不等式可确定)2(1x a f -与)(2x f 的大小关系，结合（Ⅰ）中)(x f 单调性，问题迎刃而解。

解：由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，

故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a

>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a

<<<<<则 （结合图象分析更方便） 由（II ）得)()()11()2(2111x f x f x a

a f x a f =>-+=- （注意前后两问的衔接） 又)(x f 在1(,)a

+∞单调递减 所以1221021,.2x x x x x a a

+>-=>于是 （利用函数性质脱掉函数符号） 由（I ）知，0()0.f x '< 归纳小结：本小问解决主要是建立在第（Ⅰ）（II ）问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。

说数学思想方法

数学思想：（1）分类讨论思想 （2）转化划归思想 （3）数形结合思想

数学方法 ：（1）导数法确定函数单调性 （2）构造函数法证明不等式

说试题背景来源

我认为，2011年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处：一方面来源于09、10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将11年辽宁省理科21题与09、10年辽宁理科21题对比分析：

2009——2011年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。 首先从题干上分析：

09年辽宁省理科21题题干：21()(1)ln ,12

f x x ax a x a =

-+-> 10年辽宁省理科21题题干： 1ln )1()(2+++=ax x a x f 11年辽宁省理科21题题干：x a ax x x f )2(ln )(2-+-=

这三年都以)()()(x h x g x f +=型出现，其中)(x g 为对数x ln 的形式，)(x h 为二次函数型。略有不同的的是参数a 出现的位置稍有不同。

另外，从问题的初始问来看，均考查含参数的单调性的讨论，应该说，这是课改后辽宁高考数学在这类试题上命题思路上的延续与继承。

从这三年的最后一问来看，

09年（II ）证明：若5a <，则对于任意1212,(0,),,x x x x ∈+∞≠有1212

()()1f x f x x x ->-- 10年（II ）设1-