第四章 平面任意力系和平面平行力系

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【练习1】
约
梁
B
X
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【练习2】
20KN
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【练习3】
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【练习4】
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【练习5】
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§3-3 平面平行力系
各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平 面平行力系。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系，
向O点简化得：
主矢RO R 'F
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
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§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
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二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 24
[例5] 塔式起重机如图所示。机架自重W1＝500 kN，其
作用线至右轨的距离e＝0.5 m，最大起重量W2＝250 kN， 其作用线至右轨的距离L＝10 m，轨道AB的间距b＝4 m，
解得： FAx 15.01kN
FAy 5.33kN
F Ax
F Ay
A D
F BC
B E
FBC 17.33kN
P
Q
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[例3] 自重W＝100 kN的T形刚架ABD，置于铅垂面内， 载荷如图 a)所示。已知M＝20 kN· m，F＝400 kN，q＝20
kN/m，L＝l m。求固定端A处的约束反力。
FA 62.5 kN，FB 987.5 kN
讨论：如何保证起重机提起重物时安全工作？（重物
的重量范围）
(1) 当满载时，为了使起重机不绕B点翻倒，考虑平衡 的临界状况FA＝0，这时列Σ MB(F)＝0的平衡方程，可求
出平衡重的最小值Wmin＝275 kN ，
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(2) 当空载时，为了使起重机不绕A点翻倒，考虑平衡 的临界状况FB＝0，这时列Σ MA(F)＝0的平衡方程，可求
平衡的充要条件为 主矢
主矩MO =0
R
=0
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所以 平面平行力系的 平衡方程为：
Y 0
m (F ) 0
O i
一矩式
m A ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
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恒成立 ，所以只有两个独立
所示。
(2) 列平衡方程： Σ Fx=0， FAx F1 F sin 60o 0 Σ Fy=0，
FAy W F cos 60o 0
Σ MA(F)=0， M A M F1L FL cos 60o 3FL sin 60o 0 解得： FAx 316.4 kN，FAy 100 kN，M A 789.2 kN
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
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[例1 ] 已知：P，a ， 求：A、B两点的支座反力。 解：① 选AB梁研究；
② 画受力图（以后注明
解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）； ③ 列平衡方程：
由 m A ( Fi ) 0
X 0
Y 0
2P P2a N B 3a 0, N B 3 XA 0 P YB N B P 0, YA 3
上式有三个独立方程，只能求出三个未知 数。 证明略
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用平衡方程求解平衡问题的步骤： 1、选研究对象，并作其受力图 2、列平衡方程 3、解方程 4、校核
用平衡方程求解平衡问题技巧： 1、X、Y轴尽量建立在与多个未知力平行或垂直的方向上； 2、列力矩式时，矩心选在未知力的交点上； 3、尽量不要求解联立方程组；使得一个方程只有一个未知量
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X 0
X 0
m A ( Fi ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
雨搭
车刀
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二、平面任意力系的简化结果分析
简化结果：主矢 R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡，下节专门讨论。 ② R =0，MO≠0，即简化结果为一合力偶 MO=M ，此时 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体
平面内任意移动，故这时主矩与简化中心O无关。
MO d R
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§3-2
平面任意力系的平衡
平面一般力系的平衡条件和平衡方程 由于 R =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡 所以 平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0 M O mO ( Fi ) 0
平衡重W到左轨的距离a＝6 m。若W=300 kN，W2＝250 kN
，求轨道A、B对两轮的反力。
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解 取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系
为一平面平行力系。其平衡方程为 Σ Fy=0， 解得
FA FB W2 W1 W 0
Σ MB(F)=0，W (a b) FAb W1e W2 L 0
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第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
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引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
方程，只能求解两个独立的 未知数。
[例4] 已知：P=20kN, m=16kN· m， q=20kN/m，
a=0.8m， 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
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【例2】
如图所示简易吊车， A 、 C 处为固定铰支 座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，重物重 Q= 10kN 。 求 拉 杆 BC 和 支 座 A 的 约 束 反 力 。
C C
F Ay
A A D D
F BC
B B E E 1m 1m
解： 以AB及重物作为研究对象； 受力分析，画出受力如图； 列平衡方程
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
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主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
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解 (1) 取T形刚架为研究对象，其上作用有主动力W、 F 、 M 和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其 大小等于线性分布载荷的面积，即 F1 ＝ q×3L÷2 ＝ 30 kN ，其作用线作用于三角形分布载荷的几何中心，即距点 A 为L处。约束反力有FAx，FAy和MA。其受力与坐标如图 b)
F Ax
3m 3m C
P P
Q Q
2m 2m
F cos 30 ， M F ) 0 ，F F AB F sin cos 30 30 P 0 0AD Q AE 0 X Ax BC A (0 BC Ax BC M ) 0 ，F PAy DB AB Q sin EB 30 F P AD AB Q 0 AE 0 F sin 30 P Q 0F ， Y BC B A( BC Ay PBC DB Q EB FP AB 0 AB sin 30 AD Q M A (F F) ) 0 ，F Q AE 0 AE 0 B( C Ax AC P AD Ay
③ R≠0， MO =0，即简化为一个作用于简化中心的合力。 这时简化结果就是合力（这个力系的合力）， R R 。 （ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ R ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
2 2 R ' R ' R ' ( X ) ( Y ) 大小： x y 2 2
主矢 R （移动效应）方向：
tg1
Ry Y 1 tg Rx X
简化中心
(与简化中心位置无关)
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[因主矢等于各力的矢量和]
大小： M O mO ( Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 + （转动效应） 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 例：固定端（插入端）约束