单调性与最大或最小值PPT课件
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5 1 综上，函数的值域为 －∞，－2∪2，＋∞ .
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的最大值和最
小值． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调性，再求最
3.本例中函数解析式改为“y＝x2－2ax＋1”(a>0)，求函数的 最值． 【解析】 (1)当0<a<2时，结合图象知
其图象如下图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无
最大值．
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值 定义法判断函数的单调
x＋2 x－1＋3 3 【解析】 函数 y＝ ＝ ＝1＋ x－1 x－1 x －1 设 2≤x1<x2≤3， 3 3 则 f(x1)－f(x2)＝ － x1－1 x2－1 ＝ 3(x2－x1) (x1－1)(x2－1)
最小值及单调区间．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数解析式未知； ②函数图象已知．
解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 (2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大
值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的
∵2≤x1<x2≤3 ∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) x＋2 ∴函数 y＝ 在[2,3]上是减函数 x－1 3＋2 5 ∴f(x)的最小值为 f(3)＝ ＝ . 3－1 2 2＋2 f(x)的最大值为 f(2wenku.baidu.com＝ ＝4. 2－1
单调增区间为[－1,2]，[5,7]． 单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常
用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图
象易作出的函数求最值较常用．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值． 【解析】 原函数变为 y＝|x－2|＋|x＋1| －2x＋1 ＝3 2x－1 (x≤－1) (－1＜x≤2) (x＞2)
2.本例中，函数定义域“x∈[2,3]”改为x∈[－1,1)∪(1,3]，求 函数值域．
【解析】 设 1<x1<x2≤3，则 f(x1)－f(x2)＝
3(x2－x1) (x1－1)(x2－1) ∵1<x1<x2≤3，∴x2－x1>0，x1－1>0，x21>0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(1,3]上是减函数， 5 f(x)min＝f(3)＝2，当 x→1，f(x)→＋∞，f(x) 无最大值．
1．函数的最大值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于 任意x∈I ，都有f(x)≤M，
②存在 x0∈I ，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．函数的最小值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
任意x∈I ，都有f(x)≥M， ①对于 ②存在 x0∈I ，使f(x0)＝M.
(1)那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
1．函数最大值、最小值的几何意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象 上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．
2．求函数的最大(小)值应注意的问题是什么？
【提示】 (1)对于任意的x属于给定区间，都有f(x)≤M成立，
值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5， 其对称轴为x＝3，开口向上， ∴f(x)在[－2,2]上为减函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.
在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间 [m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在 区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利 用函数单调性求解．
“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式． (2)最大值M必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．
例如函数f(x)＝－x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1，但f(x)的最大
值不是1，因为1不属于f(x)的值域．
图象法求函数的最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是
当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大
值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大 值为f(b)，最小值为f(a)．
5 函数的值域为 2，＋∞
当 － 1≤x1<x2<1 3(x2－x1) (x1－1)(x2－1)
时 ， f(x1) － f(x2) ＝
∵－1≤x1<x2，∴x2－x1>0，x1－1<0，x21<0 ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2) ∴f(x1)在[－1,1)上是减函数， －1＋2 1 f(x)max＝f(－1)＝ ＝－2 －1－1 x→1 时，f(x)→－∞，f(x)无最小值， 1 函数的值域为 －∞，－2 .
1．3.1
单调性与最大(小)值(第2课时
函数的最大值、最小值)
1．函数的单调性有增函数、减函数， f(x1)－f(x2) f(x1)－f(x2) >0 指函数具有增函数， <0 x1－x2 x1－x2 指函数具有减函数． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c，当 a>0 时，开 b b 口向上， 单调区间为(－∞， －2a)和(－2a， ＋∞)； b 当 a<0 时开口向下， 单调区间为(－∞， －2a)和(－ b ，＋∞)． 2a
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的最大值和最
小值． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调性，再求最
3.本例中函数解析式改为“y＝x2－2ax＋1”(a>0)，求函数的 最值． 【解析】 (1)当0<a<2时，结合图象知
其图象如下图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无
最大值．
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值 定义法判断函数的单调
x＋2 x－1＋3 3 【解析】 函数 y＝ ＝ ＝1＋ x－1 x－1 x －1 设 2≤x1<x2≤3， 3 3 则 f(x1)－f(x2)＝ － x1－1 x2－1 ＝ 3(x2－x1) (x1－1)(x2－1)
最小值及单调区间．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数解析式未知； ②函数图象已知．
解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 (2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大
值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的
∵2≤x1<x2≤3 ∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) x＋2 ∴函数 y＝ 在[2,3]上是减函数 x－1 3＋2 5 ∴f(x)的最小值为 f(3)＝ ＝ . 3－1 2 2＋2 f(x)的最大值为 f(2wenku.baidu.com＝ ＝4. 2－1
单调增区间为[－1,2]，[5,7]． 单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常
用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图
象易作出的函数求最值较常用．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值． 【解析】 原函数变为 y＝|x－2|＋|x＋1| －2x＋1 ＝3 2x－1 (x≤－1) (－1＜x≤2) (x＞2)
2.本例中，函数定义域“x∈[2,3]”改为x∈[－1,1)∪(1,3]，求 函数值域．
【解析】 设 1<x1<x2≤3，则 f(x1)－f(x2)＝
3(x2－x1) (x1－1)(x2－1) ∵1<x1<x2≤3，∴x2－x1>0，x1－1>0，x21>0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(1,3]上是减函数， 5 f(x)min＝f(3)＝2，当 x→1，f(x)→＋∞，f(x) 无最大值．
1．函数的最大值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于 任意x∈I ，都有f(x)≤M，
②存在 x0∈I ，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．函数的最小值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
任意x∈I ，都有f(x)≥M， ①对于 ②存在 x0∈I ，使f(x0)＝M.
(1)那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
1．函数最大值、最小值的几何意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象 上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．
2．求函数的最大(小)值应注意的问题是什么？
【提示】 (1)对于任意的x属于给定区间，都有f(x)≤M成立，
值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5， 其对称轴为x＝3，开口向上， ∴f(x)在[－2,2]上为减函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.
在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间 [m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在 区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利 用函数单调性求解．
“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式． (2)最大值M必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．
例如函数f(x)＝－x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1，但f(x)的最大
值不是1，因为1不属于f(x)的值域．
图象法求函数的最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是
当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大
值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大 值为f(b)，最小值为f(a)．
5 函数的值域为 2，＋∞
当 － 1≤x1<x2<1 3(x2－x1) (x1－1)(x2－1)
时 ， f(x1) － f(x2) ＝
∵－1≤x1<x2，∴x2－x1>0，x1－1<0，x21<0 ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2) ∴f(x1)在[－1,1)上是减函数， －1＋2 1 f(x)max＝f(－1)＝ ＝－2 －1－1 x→1 时，f(x)→－∞，f(x)无最小值， 1 函数的值域为 －∞，－2 .
1．3.1
单调性与最大(小)值(第2课时
函数的最大值、最小值)
1．函数的单调性有增函数、减函数， f(x1)－f(x2) f(x1)－f(x2) >0 指函数具有增函数， <0 x1－x2 x1－x2 指函数具有减函数． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c，当 a>0 时，开 b b 口向上， 单调区间为(－∞， －2a)和(－2a， ＋∞)； b 当 a<0 时开口向下， 单调区间为(－∞， －2a)和(－ b ，＋∞)． 2a