平面向量基本定理(全)

B b a O A
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C
A
60

B
本节小结
平面向量基本定理
回顾： 1、实数与向量的积 2、运算定律 3、向量共线定理
思考： ①是不是每一个向量都可以 分解成两个不共线向量？且 分解是唯一？
②对于平面上两个不共线向 量，是不是平面上的所有向 量都可以用它们来表示？
设e1、e2 是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
表示
AE
。
A F C B E D 图3 C
D 图2
BD （1）试用 a 、 b分别表示 AC 、 。
如图4，在
ABCD 中，AB a ， b 。 AD
DC （2）如图5，如果 E 、F 分别是 BC、 的中点，试用 a 、b 分 别表示 BF 和 DE 。
ABC 中 BC 边的中点，AB a ， A 、b 表示 AD 。 a
B D 图1
C
（1）如图2，如果点 F在线段AD上，且
AF 2 FD
试用 。 （2）如图3，如果点 E 是线段 BD 的中点，
试用 a 、b
a、 b
表示 AF
A F B
我们研究 a 与 e1 e2之间的关系。 、
e1
a
e2
OC = OM + ON =
即 a=
1OA 1e1+ 2e2 .
A
+
2OB
C
e1
M
a
a N
e2
e2
O
e1
B
知识点一 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个不 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 1 + 2e2 e 我们把不共线的向量e1 e2叫做表 、 这一平面内所有向量的一组基底。
O
N
E
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特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1 = 2 = 0
e 可使 0 = 1 1 + 2e2 .
2=0（1 =0），使得: a = 1e1 + 2e2 .
？若 1与 2 中只
有一个为零，情 况会是怎样？
特别的，若a与 e（ e2 ）共线，则有 1
如图1， D 是 AC b ，试用
（3）如图6，如果 O 是 AC 、 的交点， 是 DO的中点，试用 G BD 、b 表示 。 a AG
D C D F E A 图4 B A 图5 B A C D G O 图6 B C
知识点二、向量的夹角与垂直: 两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
OB b ,则AOB
叫做向量 特别的： a
O b B

B
b

a和
b
O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
a
O A

A

a 与 b 同向
0
B b
夹角的范围：00 ,1800

a 与 b 反向
180

90 记作 a 与 b 垂直， a b
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数1 2 、 是否相同？
（可以不同，也可以相同） M F OC = OF + OE OC = 2OA + OE A B a OC = 2OB + ON C