第一章-离散时间信号与系统(1)复习课程

m
0 , 其它m
[例]： 用单位采样序列(n)表示x(n)。
x(n)
b
a
c
-3
0
35
解：x(n)=a(n+3)+b(n-3)+c(n-5)
n
1.1 离散时间信号
二、序列的运算 序列的基本运算：序列移位(左,右)、加法、乘法、翻转、尺度 变换及卷积等。
1.乘法和加法
序列之间的乘法和加法， 是指它的同序号的序列值 逐项对应相乘和相加，如 图所示。
x(n)sin(4(n8))
x(n)是周期为8的周期序列。
1.1 离散时间信号
一般正弦序列的周期性 设： x(n)=Asin(ω0n+φ)
x(n+N) = Asin(ω0(n+N)+φ) = Asin(ω0n+ω0N+φ) 如果：x(n+N)= x(n)，要求:ω0N =2k N = (2π/ω0)k，k的取 值要保证N是最小的正整数。 ▪ 当2/ω为整数时，令k=1，序列x(n)的周期为N= 2π/ω0 ； ▪ 当2/ω为有理数时，k总能取到一个整数，使周期N=2k/ω为 一正整数； ▪ 当2/ω为无理数时，k不管取什么整数，都不能使N=2k/ω为 一正整数； 则x(n)是非周期序列。
1.2 线性时不变系统
一、离散系统的定义
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出
序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间
百度文库关系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示: x(n)
y(n)
T[•]
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
2 0n
34 01 n
66
1
0 12 n
k 0
k 1
k2
y ( k ) x ( k )* h ( k ) { 2 ,7 ,1 ,1 3 ,1 9 ,4 } 5
1.1 离散时间信号
算式法(不进位乘法)
1 2 34
例：如前例。
2 31
解：
1 2 34
3 6 9 12
24 6 8
2 7 13 19 15 4
▪当N=4时，R4(n)的波形如图所示
R 4 (n )
1
n 01 23
▪矩形序列可用单位阶跃序列表示：
RN(n)=u(n)-u(n-N)
1.1 离散时间信号
4、实指数序列
x(n)=anu(n)， a为实数
如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称 x(n)为收敛序列； 如果|a|>1，则称为发散序列。
1.1 离散时间信号
[例]：求下列两序列的周期N=？
(1) x(n)=Acos(n/4 + /7); (2) x(n)=Asin(n/5) + Bcos(n/3);
解: (1)由于ω=/4, 2/ω=2×4/=8为整数，则周期 N=8 (2)由于ω1=/5, ω2=/3, N1=2/ω1=10, N2=2/ω2=6 序列x(n)的周期N为N1和N2的最小公倍数，可得 N=[10,6]=30
ω ＝ΩT ω ＝Ω/fs
表示凡是由模拟信号采样得到的序列， 模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成 线性关系
1.1 离散时间信号
6、复指数序列
x(n) = e(σ+jω0)n
ω0为数字域频率
式中：设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性，后面的研究中，频率域 只考虑一个周期
1.1 离散时间信号
7、用单位采样序列来表示任意序列
任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。 即：
x(n), m=n
x(n)x(m)(nm) x(m) (n-m) =
1.1 离散时间信号
2. 移位、翻转及尺度变换 ▪ x(n+n0)表示x(n)左移n0单 位,x(n)的超前序列；
▪ x(n－n0)表示x(n)右移n0单
位，x(n)的延时序列； ▪ x(-n)则是x(n)的翻转序列； ▪ x(mn)是x(n)序列每隔m点 取一点形成的，相当于时间 轴n压缩了m倍。(尺度变换)
第一章-离散时间信号与系统(1)
1.1 离散时间信号
2、单位阶跃序列u(n)
u(n)
1 0
n0 n0
u(n)
1
012 3
… n
δ(n)与u(n)之间的关系：
δ(n)= u(n)- u(n-1)
u(n) (nm) k0
1.1 离散时间信号
3、矩形序列RN(n)
1 0nN1 RN(n)0 其它n
N称为矩形序列的长度
其波形如图示
1.1 离散时间信号
5、正弦序列
x(n) = sin(ωn)
ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧 度，表示序列变化的速率，或表示相邻
如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么：
xa(t)=sin(Ωt)
xa(t)|t=nT = sin(ΩnT)
x(n) = sin(ωn)
因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此 得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为
1.1 离散时间信号
例 ： 已 知 x(k)={1,2,3,4}，h(k)={2,3,1}， 求y(k)=x(k)*h(k)。
解： x(n)
4 3 2 1 0 1 23 n
h(n)
h(n)
23 1
32 1
0 1 2 n 21 0 n
1.1 离散时间信号
x(n)h(n) x(n)h(1n) x(n)h(2n)
1.2 线性时不变系统
二、线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统。
设: y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］ 那么线性系统一定满足下面两个公式：
y ( k ) x ( k )* h ( k ) { 2 ,7 ,1 ,1 3 ,1 9 ,4 } 5
1.1 离散时间信号
三、序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：
x(n)=x(n+N), -∞<n<∞
周期为N
则称序列x(n)为周期性序列。
例：
x(n) sin( n)
4
1.1 离散时间信号
❖卷积和的计算 yz(sk)x(k)*h (k) x(n )h (kn ) n 图解法(与卷积积分类似) ➢改换变量：x(k)x(n)， h(k)h(n) ➢折叠：h(n) h(-n) ➢移序：h(-n) h(k-n) ➢相乘：x(n) h(k-n) ➢求和：把x(n) h(k-n)所得的序列相加