数列与不等式证明方法归纳(练习版)

数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类， 16 种放缩技巧， 28 道典型练习题，供日后学习使用。

一、数列求和

（1）放缩成等比数列再求和

（2）放缩成差比数列再错位相减求和

（3）放缩成可裂项相消再求和

（4）数列和比大小可比较单项

二、公式、定理

（1）利用均值不等式

（2）利用二项式定理

（3）利用不动点定理

（4）利用二次函数性质

三、累加、累乘

（1）累加法

（2）利用类等比数列累乘

四、证明不等式常用方法

1）反证法

（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论

五、其它方法

（1）构造新数列

（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（4）符号不同分项放缩

［典例1］已知数列a n , a n

2 2 * 0, a i 0, a n i a. i 1 a n (n N )。

(I)求证：当n N*时：a n a. i;

(n)记T n

1 1 a1

1

(1 a1)(1 a2)

(1 aj(1 a2)

，求证

T n

(1 a) 3(n N*)。

、数列求和

(1 )放缩成等比数列再求和

2 2a

［典例2］已知数列a n满足a i , a. i 'nN

5 3 a n

(I)求丄的通项公式;

a n

(n)设a n的前n项和为S n，求证：S n

1 * ［典例3］设数列a n满足a i 1, a* i a n (n N )。

a n

(I)证明：2n 1 a n 、3n 2(n N*)；

(n)求正整数m，使a20i7 m最小。

(2)放缩成差比数列再错位相减求和

n *

a n

［典例1］已知数列a n满足：a i 1,a ni (1 — )a n(n N )，求证：a. i

［典例2］已知数列a n与其前n项和S n满足一」(1 (a 2)。

a n 1 a 1 S n

(I)求数列a n的通项公式；

(n)证明：

n k *

3(n N )。k i a k 1

(3)放缩成可裂项相消再求和

n *

［典例1］已知a n 2 1(n N )。求证: a

a2

a2

a3

a n

a n 1

1(n

［典例2］已知数

a n 满足a1 2 , a n 1 2( S n n 1)(n N )。列

(I)求证：a n 1 是等比数列；

(n)求证： 1 1 1 1 11

。

a i a2 a3 a n 16

［典例3］设M n是数列a n前n项之积，满足M n a n 1 , n N

(I)求数列a n的通项公式;

—— 2 2 2 ,、 5 1 n）设S n M1M2M n,求证：S n a n 1

12 3

(4)数列和比大小可比较单项

2 2a

［典例1］已知数列a n满足a i，a. i J,n N

5 3 a n

(I)求丄的通项公式;

a n

(n)设a n的前n项和为S n，求证：S n

2

［典例2］已知n N ,圆C n: x2y2R (R n0)与y轴正半轴的焦点为P，与曲线

厂 1 * y x的交点为Q(-,y n)，直线PQ与x轴的交点为A(a n,0)。对n N ,证明：

n

(I) a n a n 1 2 ；

(n)若S n n a i , T n n 1，则7-。

i 1 i 1 i 5 T n 2

(I) a n 1 a n ；

(n) a n 1

1

a 1 a 2 a n ;

,1 1 1 1 (川)

1 — -- ----

1

n a 〔 a 2

a n

［典例］数列a n 定义如下：印 2 , a n ,

2

a n a n 1。证明:

、公式、定理

(1 )利用均值不等式

(2 )利用二项式定理

［典例］已知数列a n满足：a i 1 , 2a n 3a. 1 点(n 2)。

2

(I)求数列a n的通项公式;

(n)设m N , m n 2，证明: (a n +卢(m n 1) m2 1

m (3)利用不动点定理求数列通项

［典例

16x

1］已知函数f (x)

4x

7

4，数列可

,b n满足

a1 0,b1 0, a n 1 f

(a n)，

b n 1 f (b n) , n N*。

(I

) 求

a1的取值范围，使对任意的正整数n , 都有a n 1 a n ；

(n

) 若a13，bi 4，求证：0 b n a n 1

8n 1，n

*

N

［典例2］已知函数f(x) ，数列a n满足a i 1, a n 1 f (a n) , n N

4x 15

(I)求f (x) x 0的实数解；

(n)是否存在实数c，使得a2n c a2n 1对所有的n N*都成立？证明你的结论;