基于小波图像编码中的边界延拓方法分析

奇数 ） 。
Ｒ， 低 通 分 析 滤 波 器 冲 激 响 应 ｈ０ ［ ｋ］ 的 支 撑 区 域 以 ０ （ 对奇数长度滤波器 ） 或 － １／２ （ 对偶数长度滤波器 ） 为 ［ ６］ 中心 ， 则说ＦＩＲ滤波器组是 “延迟归一化的” 。 定义 ２ ： 除了某些病态情况 ， 精确重建线性相位
二通道 ＦＩＲ 滤波器组包含的滤波器 ， 其长度或全为 奇数或全为偶数。采用延迟归一化滤波器组 ， 则在
& &
! ［ ｎ］ 的对称性 ： 现在来看 ｙ ! ［ Ｎ－ １＋ｋ］ ＝∑ｈ（ｔＮ－ １＋ｋ） ｍｏｄ ２［ ｉ］ ｘ ! ［ Ｎ－ １＋ｋ－ ｉ］ ＝ ｙ
ｉ∈ｚ
由式 （ ４） 四个等式 ， 可得到当 Ｎ为奇数和偶数时 的对称关系如图 ３ 所示 ， 从图 ３ 可看出 ， 当 Ｎ为偶数
! ［ ｎ］ （ ｎ＜０ 或 ｎ≥Ｎ） 都能从 ｙ ! ［ ｎ］ （ ０≤ｎ＜Ｎ） 中得到 时， ｙ ! ［ ｎ］ （ ０≤ｎ＜Ｎ） 子带样本即可。 对称数 ， 故保留 ｙ 当Ｎ为 ! ［ ｎ］ （ ｎ＝Ｎ） 在 ｙ ! ［ ｎ］ （ ０≤ｎ＜Ｎ） 中找不到对称 奇数时 ， ｙ ! ［ ｎ］ （ ｎ＝Ｎ） 恒为零 ， 故也只需保留Ｎ个样本。 数， 但ｙ
! ［ ｋ－ ２－ ｉ］ ＝ｙｅｖｅｎ［ ｋ－ ２］ （ 当ｋ为偶数时 ） （ ４ａ） ∑ｈｔ（ ｋ－ ２） ｍｏｄ２［ ｉ］ ｘ
ｉ∈ｚ
同理可得 ：
或 或 （ 其中 α ‘Ｈ’ ，α ‘Ａ’ ， β ‘Ｗ’ ‘Ｓ’ ′ ′ ｉ代表 ｉ 代表相反的 α ｉ ； β ｉ 代表 ｉ 代表 相反的 β ｉ ）
ＴＮ９１９．８１ ；
文献标识码
Ｂ
自从小波变换应用到图像压缩编码中来已取 得了骄人的成绩 ， 但是小波变换处理的是无限的信 号 ， 而图像由于物理约束而有界。为了使变换后的 系数个数不增加而能达到精确重构的目的 ， 很多学 者都进行了这方面的研究。 Ｗｏｏｄｓ ａｎｄ Ｏ＇ｎｅｉｌｄ 在文 献 ［ １］ 中 提 出 了 周 期 延 拓 的 方 法 ， 但 周 期 延 拓 有 许 多缺点。后来 Ｓｍｉｔｈ 等人在文献 ［ ２ ］ 中首先提出了对 称延拓的概念 ， 但只局限于滤波器长度为偶数的情 况。在文献 ［ ３］ 中作者研究了无系数扩充能精确重 构的对称边界延拓方法 ， 但作者的假设是信源为偶 数。 Ｍａｒｔｕｃｃｔ等 ［ ４］ 详细列出了信号和滤波器为各种不 同对称关系时的卷积结果 ， 但没给出相关的证明。 本 文在讨论各边界延拓方法利弊的基础上 ， 重点讨论 系数无扩充能精确重构的对称延拓方法 ， 并给出相 关的证明。
定 义 ２ 中 描 述 的 滤 波 器 ｈ ｔｎ ｍｏｄ ２ ［ ｋ ］ 有 四 种 情 况 ， 分别为 ＷＳ、 ＷＡ、 ＨＳ、 ＨＡ（ 如图 １ 所示 ） 。而对于一维 信 源 ｘ［ ｎ ］ ， 因 其 左 右 端 分 别 有 四 种 延 拓 方 法 ， 则 延
ｉ∈ｚ
同理可得小波变换的反变换为 ：
可以通过二次一维ＤＷＴ变换实现。所以本文下面只 讨论一维的情况。 在各边界延拓方法中 ， 零延拓和常数延拓都会 因为没有周期或对称性而使变换后的系数个数远 大于原系数个数而不利于图像的压缩。而周期和对 称延拓方法则有周期性或／和对称性。 因此下面讨论 这两种延拓方法。
" ［ Ｎ＋ｋ ］ ＝ｘ " ［ ｋ］ ， 对于边界周期延拓方法： 因为ｘ % ｋ∈ｚ。 " ［ Ｎ＋ｋ］ ＝∑ｈ（ｔＮ＋ｋ） ｍｏｄ２［ ｉ］ ｘ " ［ Ｎ＋ｋ－ ｉ］ ＝ 则ｙ
ｉ∈ｚ ｉ∈ｚ
２４ 期
表１
邱自华 ， 等 ： 基于小波图像编码中的边界延拓方法分析
３８５７
延拓后的对称信号与对称滤波器卷积结果
! ｅｖｅｎ［ － ｋ］ ＝∑ｈ（ｔ－ ｋ） ｍｏｄ ２［ ｉ］ ｘ ! ［ － ｋ－ ｉ］ ＝ ｙ
ｉ∈ｚ
Байду номын сангаас
滤波器对称类型
ＷＳ
ＷＡ
ＨＳ
ＨＡ
! ［ － ｋ＋ｉ＋１］ ＝∑ｈ（ｔ－ ｋ） ｍｏｄ ２［ ｉ］ ｘ ! ［ ｋ－ ２－ ｉ］ ＝ ∑ｈ（ｔ－ ｋ） ｍｏｄ ２［ － １－ ｉ］ ｘ
２００６ Ｓｃｉ． Ｔｅｃｈ． Ｅｎｇｎｇ．
基于小波图像编码中的边界延拓方法分析
邱自华 陈宇拓
（ 中南林业科技大学 ， 长沙 ４１０００４ ）
摘
要
当利用小波对二维图像信号进行变换时 ， 会遇到因为图像信号是有限的问题而必须进行边界延拓。分析了各边界延
拓方法的利弊和选择方法。 给出将高、 低频信号组织在一起进行研究的方法 ， 举出几种不论信号长度为奇数还是偶数 ， 都能在系 数不扩充的情况下精确重构的例子 ， 并予以证明。 关键词 小波变换 边界延拓 图像压缩编码 中图法分类号
第６卷
第 ２４ 期
２００６ 年 １２ 月
科 学 技 术 与 工 程
Ｖｏｌ． ６ ｃ
Ｎｏ． ２４
Ｄｅｃ． ２００６
１６７１ － １８１５ （ ２００６ ） ２４ － ３８５５ － ０４ 邱自华 ， 等 Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ： 基于小波图像编码中的边界延拓方法分析 ２４ 期
的滤波器卷积后的结果仍是对称信号， 只是对称 类型有所变化。但不是每一种结果都能在系数不 扩充的情况下能精确重构所需全部系数。现在选 取两种 重 要 的 情 况 （ 一 种 滤 波 器 长 度 为 奇 数 ， 一 种 滤波器 长 度 为 偶 数 ） 来 给 出 证 明 ， 这 两 种 情 况 下 能 使系数不扩充而最后能精确重构。其余情况能依 同样方法推导。 第一种情况 ： 定义２ 中描述的滤波器长度为奇数 且低、 高频滤波器均为对称 （ ＷＳ） 的情况 ， 即 ：
ｉ∈ｚ
ｈｔｎ ｍｏｄ ２［ ｋ］ ＝ｈｔｎ ｍｏｄ ２［ － ｋ］ ，
（ ２）
ｇｔｎ ｍｏｄ ２［ ｋ］ ＝ｇｔｎ ｍｏｄ ２［ － ｋ］ 。
现 在 将 信 号 ｘ［ ｎ］ （ ０ ≤ｎ＜Ｎ） 左 右 两 边 都 进 行 全 样本对称延拓 （ ＷＳＷＳ） ， 即 ：
" ［ ｋ－ ｉ］ ＝∑ｈ（ｔｋ） ｍｏｄ２［ ｉ］ ｘ " ［ ｋ－ ｉ］ ＝ｙ " ［ ｋ］ ∑ｈ（ｔＮ＋ｋ） ｍｏｄ２［ ｉ］ ｘ
若要 （ ２ ） 式成立 ， 还有一个条件 ： （ Ｎ＋ｋ ） ｍｏｄ ２＝ （ ｋ ） ｍｏｄ ２ ， 即要 求 ｘ［ ｎ］ （ ０ ≤ｎ＜Ｎ） 的 长 度 Ｎ为 偶 数 。 所以对于周期延拓的小波变换 ， 如果信源长度为偶 数， 不论滤波器是否为线性的， 小波变换后系数保 留一个原信源长的周期信号即可。但若信源为奇 数， 则需先将信源扩充到偶数个， 即信源长度增加 一。从式 （ ２ ） 可知 ， 周期延拓不限制滤波器的类型 ， 但周期延拓有一个严重的缺陷 ， 因为图像的行首行 尾 （ 或列首 列尾 ） 没 有 局 部 相 关 性 ， 会 产 生 突 变 ， 所 以有高频瞬变现象 ， 不利于图像的压缩。 对于边界对称延拓 ， 情况比周期延拓要复杂得 多。因为在图像压缩领域 ， 希望变换后的系数个数 不增加 ， 因此一般用线性滤波器。 定义 １ ： 如果多 相分析矩阵 满足 ｄｅｔ （ Ｈ （ ｚ） ） ＝ａ ∈
! ｏｄｄ［ － ｋ］ ＝－ ｙ ! ｏｄｄ［ ｋ］ （ ｋ为奇数时 ） ｙ ! ｅｖｅｎ［ Ｎ＋ｋ］ ＝ｙ ! ｅｖｅｎ［ Ｎ－ ｋ－ ２］ （ Ｎ＋ｋ为偶数时 ） ｙ ! ｏｄｄ［ Ｎ＋ｋ］ ＝－ ｙ ! ｏｄｄ［ Ｎ－ ｋ］ （ Ｎ＋ｋ为奇数时 ） ｙ
（ ４ｂ ） （ ４ｃ ） （ ４ｄ ）
! ［ － ｋ］ ＝ｘ ! ［ ｋ］ ， "ｋ∈ｚ； $ ｘ % ! ［ Ｎ－ １＋ｋ］ ＝ｘ ! ［ Ｎ－ １－ ｋ］ ， "ｋ∈ｚ。 ’ ｘ
ｉ∈ｚ
（ ３ａ ） 同理可得
! ［ － ｋ］ ＝ｙ ! ［ ｋ］ ｙ
（ ３ｂ ）
! ［ ｎ］ 与 ｘ ! ［ ｎ］ 有相同的对称 从这两个等式可知 ， ｙ
性 （ ＷＳＷＳ） 。因 此 ， 小 波 变 换 后 只 需 保 存 Ｎ 个 样 本
! ［ ｎ］ （ ０≤ｎ＜Ｎ） 。当重构时 ， 先对 ｙ ! ［ ｎ］ （ ０≤ｎ＜Ｎ） 进行 ｙ ! ［ ｎ］ ， 再进行重构就能得 左右端全样本对称延拓成 ｙ ! ［ ｎ］ 。 到ｘ
图２
Ｎ为偶数的情况
奇数长度情况下 ， 所有滤波器的冲激响应以 Ｋ＝０ 为 中心对称。在偶数长度情况下 ， 低通分析滤波器冲 激响应以－ １／２为中心 ， 高通分析滤波器冲激响应以
则可得到卷积形式的小波变换为 ：
ｔ " ［ ｋ］ ＝∑ｈｋｍｏｄ２ " ［ ｋ－ ｉ］ 。 ［ ｉ］ ｘ ｙ
１／２为中心对称 ［ ６］ 。
第二种情况 ： 定义 ２ 中描述的线性滤波器长度 为偶数且低频滤波器为半样本对称 （ ＨＳ） 、 高频滤波 器为半样本反对称 （ ＨＡ） 的情况 ， 即 ： 以上讨论的是小波变换的分解部分 ， 对于综合 部分 ， 依据等式 （ ２ ） 、 式 （ ３） 、 式 （ ４ ） ， 能很轻松地得到
其中 关系 图３ 对称关系式 （ ４ ） 中四个等式的对称关系 表示低频部分， 连线表示对称 表示高频部分，
" ［ Ｎ＋ ｃ） 周期延拓 ： 将信号看作是周期信号。即 ｘ " ［ ｋ］ ， )ｋ∈ｚ。 ｋ］ ＝ｘ ｄ） 对称延拓 ： 对称延拓的方 法一般有四 种 ， 如
图１ 所示。
１
边界延拓方法
" 设 有 界 的 信 源 为 ｘ［ ｎ］ （ ０ ≤ｎ＜Ｎ） ， 延 拓 之 后 为 ｘ
图１
对称延拓
（ ａ ） 信源 ； （ ｂ ） 半样本对称 ； （ ｃ ） 全样本对称 ； （ ｄ ） 半样本反对称 ； （ ｅ ） 全样本反对称
ｔ " ［ ｋ］ ＝∑ｇｋｍｏｄ２ " ［ ｋ－ ｉ］ 。 ［ ｉ］ ｙ ｘ
ｉ∈ｚ
２．２
边界延拓方法选择 图像信源是有限二维离散信源 ， 一层二维 ＤＷＴ
" ［ ｎ］ 。 其 与 滤 波 器 卷 积 后 拓后 一共有 １６ 种 类 型 的 ｘ " ［ ｎ］ 与 对 称 的结果如 表 １ 所示。可以 看 到 ， 对 称 的 ｘ
! ［ Ｎ－ １＋ｋ＋ｉ］ ＝ ∑ｈ（ｔＮ－ １＋ｋ） ｍｏｄ ２ ［ － ｉ］ ｘ
ｉ∈ｚ
! ［ Ｎ－ １－ ｋ－ ｉ］ ＝ ∑ｈ（ｔＮ－ １＋ｋ） ｍｏｄ ２［ ｉ］ ｘ
ｉ∈ｚ
! ［ Ｎ－ １ － ｋ － ｉ］ ＝ ｙ ! ［ Ｎ－ １ － ｋ］ ∑ ｈ （ｔＮ－ １－ ｋ） ｍｏｄ ２ ［ ｉ］ ｘ
ｉ∈ｚ ｉ∈ｚ
! ［ ｎ］ 对称类型 α α α α １β １α ２β ２ １β １α ２β ２ １β １α ２β ２ １β １α ２β ２ 原信源 ｘ
卷积后下采样前 对称类型
α α β β β α β １β １α ２β ２ α １β １′ ２β ２′α １′ １α ２′ ２ α １′ １′ ２′ ２′
［ ｎ］ ， 通常所用的边界延拓方法有如下几种 ：
ａ） 零延拓 ： 在原信号两端补零。即当ｎ＜０或ｎ≥Ｎ " ［ ｎ］ ＝０。 是时 ， ｘ ｂ） 常数延拓：在原信号两端添加常数， 一般情况为： " ［ ｎ］ ＝ｘ " ［ ０］ ， ｎ＜０； % ｘ & " ［ ｎ］ ＝ｘ " ［ Ｎ－ １］ ， ｎ≥Ｎ－ １。 ( ｘ
" ［ ｎ］ ， #ｎ∈ｚ， 对其进行小 ｘ［ ｎ］ 进行边界延拓后成为 ｘ " ［ ｎ］ ， %ｎ∈ｚ。 对 波变换后的低频和高频混合信号为 ｙ
应图形如图 ２。
" ［ ｎ］ 与 ｙ " ［ ｎ］ 的对应关系 ， 令式 （ １） 中 ｈ＊ 为了找出 ｘ
ｔ 为ｈｎｍｏｄ２ ［ ｋ ］ （ 其中 ｎ 为偶数 ） ， 令 ｇ＊为 ｈｔｎｍｏｄ２［ ｋ］ （ 其中 ｎ 为
’ ’
２
２．１
小波变换及延拓方法选择
小波变换及其Ｍａｌｌａｔ 算法 小波变换是将原函数与基本小波的伸缩平移
小波内积而得到新的函数。而新函数通过逆变换则 能得到原函数。 其离散小波变换的Ｍａｌｌａｔ［ ５］ 算法可用 卷积形式表示如下 ：
ｊ ｃｊ－ １＝Ｄ（ ｃ・ ｈ＊） ， ｊ ｄｊ－ １＝Ｄ（ ｃ・ ｇ＊） ，
２００６ 年 ７ 月 １０ 日收到
３８５６
科
学
技
术
与
工
程
６卷
（ １） ｃｊ＝（ Ｕｃｊ－ １） ｈ＋（ Ｕｄｊ－ １） ｇ ｊ ＊ ｊ 其中ｈ＊表示小滤波器ｈ的共轭的反转 ， ｃ・ 表示 与 ｈ ｃ ｈ＊ 的卷积 ， Ｄ表示二元下抽样 ， Ｕ表示二元上抽样。 令一维信源为有限长的 ｘ［ ｎ ］ ， （ ０ ≤ｎ＜Ｎ） ， 现 将