圆锥曲线联立及韦达定理

圆锥曲线联立及韦达定理

1、圆锥曲线与直线的关系

椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22

221x y a b +=(0)a b 双曲线：22

221x y a b

-=(0)a b 、

直线：y kx m =+ (PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)

（1）椭圆与双曲线联立：

2

2

2222212()10k km m x x a b b b

+++-= (PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)

类一元二次方程：2

0Ax Bx C ++= 2

221()k A a b

=+，所以0A ，即方程为一元二次方程。

判别式：24B AC ∆=- 22

2222221()4()(1)km k m b a b b

∆=-+- 化解得：22

222214()k m a b a b

∆=+- 1) 当0∆，方程无实根，直线与椭圆没有交点；

2) 当0∆=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；

（相切是因为重根，而不是只有一个根）

3) 当0∆

，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

（2）双曲线与直线联立：

2

2

2222212()10k km m x x a b b b

----= 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b

=- 22

222214()k m a b a b

∆=-+ 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）

2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线

的平行线）

3) 当0,0A ≠∆时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；

4) 当0,0A ≠∆=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；

5) 当0,0A ≠∆

时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.

PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！

2、联立方程与韦达定理

（1）韦达定理：

20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提：0,0A ≠∆≥

12B x x A +=-

， 12C x x A =，

12x x A

-== （2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：

2

2

2222212()10k km m x x a b b b

+++-= 2122

2221km

b x x k a b

-

+=+； 2

21222211m b x x k a b -=+；

1222

x x a b -=+ 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：

121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++

22

222222

212()1k m k m b a b k a b -++=+ 2122

22

21m

a y y k a

b +=+； 2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++

222

22222222

21(1)()()1m km k k km m b b a b k a b -+-++=+ 222122

221m k a y y k a b -=+； 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-

1222

y y a b -=+；

（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：

2

2

2222212()10k km m x x a b b b

----= 2122

2221km

b x x k a b

+=-； 2

212222

11m b x x k a b --=-；

1222

x x a b -=- 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：

121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++

22

2222

22

212()1k m k m b

a b k a b +-=-

21222221m

a y y k a b

+=-； 2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++

222

22222222

21(1)()()1m km k k km m b b a b k a b --++-=- 2

2

2122

221m k a y y k a b -=-； 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-

1222

y y a b -=-；

PS ：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带2

b 项变号。 原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是22

2221x y a a c +=-。椭圆中22a c ，令222b a c =-；双曲线中

2

2a c ，令222b a c -=-。