不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳

第九章 不等式与不等式知识点归纳

一、不等式及其解集和不等式的性质

用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。 注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。

②方向：大于向右画，小于向左画。

不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；

②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变；

③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。

作差法比较a 与b 的大小：若a-b ＞0,则a ＞b ；若a-b ＜0；则a ＜b ；若a-b=0, 则a=b 。 例1 、下列式子中哪些是不等式？

① a+b=b+a; ②a ＜b －5; ③－3＞－5;④x ≠1 ；⑤2x-3。

例2、若a

① a －b 0; ②a －5 b －5; ③－2a －2b ;④31+a 2

1+b ；⑤22___bm am ⑥ab 0；⑦a+m b+m ；⑧a ² b ²；⑨am bm 。

例3、①由a ax <，可得1>x 可得____a ；②由a ax <，可得1x ＜可得____a ； ③ 由122-≥-≤-x m x mx 可得，那么______m 。

例4、不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解是__________________。

二、一元一次不等式及其实际问题

一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。 解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）

（2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项）

（4）合并同类项（5）将x 项系数化为1（系数为负数要变号）。

一元一次不等式与实际问题（审设列解验答）

常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。

（1）审（找表示不等关系的关键词）; （2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。

三、不等式组及其解集，与实际问题

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。 一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答）

（1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）; （2）设（设其中一个未知量，另一个用设的未知数表示）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；

（6）答(方案问题要描述清楚)。

一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）

类型（设a>b ） 不等式组的解集

数轴表示

1.（同大型，同大取大） x>a

2.（同小型，同小取小） x

3.（一大一小型，小大之间） b

4.（比大的大，比小的小空集） 无解

特殊：

专题 解决含参数的一元一次不等式（组）

类型一、根据已知不等式（组）的解集，求参数的值(解集是突破口)

方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出方程（组）；③解方程（组） 例1、若不等式的解集为，求k 值。

解：化简不等式，得x ≤5k ①，比较已知解集，得②，∴③。

例2、若不等式组的解集是-1

解：化简不等式组，得 ① ∵ 它的解集是-1

也为其解集，比较得 ② ∴(a+1)(b-1)=-6. ③

练习、不等式组⎩

⎨⎧≥+->+a x b x 5302的解集为：31≤<-x ，则_____________,==b a 。

x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3≥≥⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨≤≤⎩⎩⎩⎩＞＞无解，无解无解有解＜＜；；；

类型二、根据已知不等式（组）的特殊解集，求参数的取值范围(解集是突破口) 方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出不等式；③解不等式

例1、 若关于x 的不等式3x-a ＞4（x-1）的解集是负数，求a 的取值范围？

解：化简不等式得：x ＜4-a ①，∵ 它的解集是负数，∴只要4-a ≤0均可满足②∴a ≥4③ 练习、若关于x 的不等式-3（x+2）＞m+2的解集是正数，求m 的取值范围？

方法归纳：①表示解集；②将解集表示在数轴上，平移分析；③得参数的取值范围。 例1、已知关于x 的不等式x-a ＞0，的整数解共5个，则a 的取值范围是________。

例2、已知关于x 的不等式组的整数解共5个，则a 的取值范围是________。 解：化简不等式组，得有解①，将其表在数轴上，②

如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4

练习、不等式组⎩

⎨⎧>+>+-1520x m x 的整数解只有-2和-1，则a ，b 的取值范围__________________；

类型三、根据不等式组是否有解，及解的特殊情况；求参数取值范围。

方法归纳：1、表示解集；2、将解集表示在数轴上，平移分析；3、得参数的取值范围。

例1、 不等式组⎩

⎨⎧>+>+-1520x m x 有解，则m 的取值范围______； 解：化简不等式组，得-2

x m x ⎧⎨>⎩＜有解①，将其表示在数轴上②，观察可知：m ≤-2③