2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题+详版答案

1
【答案】(A) 【解析】 x < 0 时， f ′ ( x ) = 0 f −′ ( 0 ) = 0
f +′ ( 0 )
1 xα cos β − 0 1 x = lim lim xα −1 cos β + + x →0 x →0 x x
= f ′ ( x ) α xα −1 cos x > 0 时，
1 .故选（D）. 2
4 xy = 1 与直线 y = x ，y = (6)设 D 是第一象限由曲线 2 xy = 1 ，
函数 f ( x, y ) 在 D 上连续，则
π
3
3x 围成的平面区域，
( )
∫∫ f ( x, y ) dxdy =
D
(A)
π
∫π
3 4
4
dθ ∫ sin12θ f ( r cos θ , r sin θ )rdr
x →+∞
sin t xt (2) 函数 f= ) 在 (−∞, +∞) 内 + ( x ) lim(1 x t →0
(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)
2
(
)
sin t x lim sin t xt 【解析】 f ( x) = lim(1 + ) = et→0 x t = e x ， x ≠ 0 ，故 f ( x) 有可去间断点 x = 0 . t →0 x
2
2
1 α x cos x β , x > 0 (α > 0, β > 0) ,若 f ' ( x ) 在 x = 0 处连续则:( ) (3) 设函数 f ( x ) = 0, x ≤ 0
(A) α − β > 0 (C) α − β > 2 (B) 0 < α − β ≤ 1 (D) 0 < α − β ≤ 2
f ′ ( 0) 1 1 α −1 lim f ′ ( x ) = lim α x cos β + β xα − β −1 sin β + + x →0 x →0 x x =0
得： α − β − 1 > 0 ，答案选择 A (4) 设函数 f ( x) 在 ( −∞, +∞ ) 内连续，其中二阶导数 f ′′( x) 的图形如图所示，则曲线
则可得 dz |(0,0) = − dx −
1 3
2 1 dy = − ( dx + 2dy ) . 3 3
(14) 若 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, −2,1 ， B = A2 − A + E ，其中 E 为 3 阶单位阵，则行列式
B =
.
【答案】21 【解析】 A 的所有特征值为 2, −2,1. B 的所有特征值为 3, 7,1. 所以 | B |= 3 × 7 × 1 = 21 。
x2
0
f (t )dt ，求导得 ϕ ′( x) =
∫
x2
0
f (t )dt + 2 x 2 f ( x 2 ) ，故有 = ϕ (1)
f (t )dt ∫=
0
1
1,
ϕ ′(1) = 1 + 2 f (1) = 5, 则 f (1) = 2 .
(12)设函数 y = y ( x ) 是微分方程 y '' + y ' − 2 y = 且在 x = 0 处 y x 取得极值 3， 则y x 0 的解， = 。
x =0
=
n(n − 1) n−2 n−2 2 ( ln 2 ) = n(n − 1) ( ln 2 ) 2
x2
(11) 设 f ( x ) 连续， ϕ ( x ) = ∫0 x f ( t ) dt ，若 = = ϕ (1) 1, ϕ ′ (1) 5 ，则 f (1) = 【答案】 2
5
【解析】 已知 ϕ ( x) = x ∫
为：
2 2 2 (A) 2 y1 − y2 + y3 2 2 2 (C) 2 y1 − y2 − y3 2 2 2 (B) 2 y1 + y2 − y3 2 2 2 (D) 2 y1 + y2 + y3
(
)
【答案】(A)
2 2 .且 【解析】由 x = Py ，故 f = xT Ax = y T ( PT AP ) y = 2 y12 + y2 − y3
−1, k = − ,b = − 【答案】 a =
【解析】 方法一： 因为 ln(1 + x) =x − 那么，
1 3
1 2
x 2 x3 x3 + + o( x 3 ) ， sin x = x − + o( x 3 ) ， 2 3 3!
穷多解的充分必要条件为： (A) a ∉ Ω, d ∉ Ω (C) a ∈ Ω, d ∉ Ω 【答案】D (B) a ∉ Ω, d ∈ Ω (D) a ∈ Ω, d ∈ Ω ( )
1 1 1 = ) 1 2 a 【解析】 ( A, b 1 4 a 2
1 1 1 1 1 d → 0 1 a −1 d −1 0 0 (a − 1)(a − 2) (d − 1)(d − 2) d2
，
= r ( A) r ( A, b) < 3 ，故 a = 1 或 a = 2 ，同时 d = 1 或 d = 2 。故选（D） 由
2 2 2 (8) 设 二 次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在 正 交 变换 x = Py 下 的标 准 形为 2 y1 ，其中 + y2 − y3
P = (e1 , e2 , e3 ) ，若= Q (e1 , −e3 , e2 ) 则 f = ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换 x = Qy 下的标准形
4
2 0 0 P AP = 0 1 0 0 0 −1 .
T
Q
1 0 0 P = 0 0 1 PC 0 −1 0
2 0 0 QT = AQ C T ( PT AP = )C 0 −1 0 0 0 1
2sin 2θ
1
(B)
∫π dθ ∫
π
3 4
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
f ( r cos θ , r sin θ )dr
(C)
π
3
∫π dθ ∫
dθ ∫
(D)
∫π
4
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ )dr
∫∫
D
f ( x, y )dxdy = ∫π3 dθ ∫
4
f (r cos θ , r sin θ )rdr
故选 B.
1 1 1 1 则线性方程组 Ax = b 有无 (7) 设矩阵 A = 1 2 a , b = d .若集合 Ω ={1, 2} ， 1 4 a 2 d2
1 ( dx + 2dy ) 3
∂z = − yz − e x + 2 y +3 z ∂x
【解析】当 = x 0, = y 0 时 z = 0 ，则对该式两边求偏导可得 (3e x + 2 y +3 z + xy )
(3e x + 2 y +3 z + xy )
∂z = − xz − 2e x + 2 y +3 z 。将（0,0,0）点值代入即有 ∂y 1 ∂z 2 ∂z = − , = − . ∂x (0, 0) 3 ∂y (0, 0) 3
t =1
=
【答案】48
dy 【解析】 = dx
= dx dt
3 + 3t 2 = 3(1 + t 2 ) 2 1 1+ t2
d [3(1 + t 2 ) 2 ] 12t (1 + t 2 ) d y d 2 2 dt = = 12t (1 + t 2 ) 2 = [3(1 + t ) ] = 2 dx 1 dx dx dt 1+ t2
2 ∂f 2u (1 − v) ∂f 2u 2 u uv u (1 − v) = , = − .故 ， f (u , v) = − = ∂u 1+ v ∂v (1 + v) 2 1+ v 1+ v 1+ v
因而 = 0, = u 1= u 1 = −
∂f ∂f ∂u v 1 = ∂v v 1 =
1 1 1 + ( −1) xα sin β ( − β ) β +1 β x x x
α xα −1 cos
1 1 + β xα − β −1 sin β β x x
1 ′ ′ = lim 0 得 α −1 > 0 f= xα −1 cos f ′ ( x ) 在 x = 0 处连续则： f= − ( 0) + ( 0) + x →0 xβ
2 2 所以 f = xT Ax = y T (QT AQ ) y = 2 y12 − y2 。选（A） + y3
二、填空题：9 : 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． (9)
x = arctan t = 3t + t 3 y
dy dt
则
d2y dx 2
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题
一、 选择题:1 : 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要 求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． (1) 下列反常积分收敛的是 (A) ( )
∫
+∞
2
1 dx x
(B)
∫
+∞
2
6
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明 ．．． 过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分） 设函数 f ( x) =x + a ln(1 + x) + bx sin x ， g ( x) = kx 3 .若 f ( x) 与 g ( x) 在 x → 0 时是等价无穷小， 求 a, b, k 的值.
2
d2y = 48 . dx 2 t =1
(10)函数 f ( x= ) x ⋅ 2 在 x = 0 处的 n 阶导数 f (0) = _________
2 x n
【答案】 n ( n − 1)( ln 2 )
2 2 ( 2x ) Cn
n−2
【解析】根据莱布尼茨公式得：
f(
n)
0) (=
( n − 2)
ln x dx x 1 dx x ln x x dx ex
+∞ 2百度文库
(C)
∫
+∞
2
(D)
∫
+∞
2
【答案】(D) +∞ x x 【解析】 ∫ x dx = −( x + 1)e − x ，则 ∫ −( x + 1)e − x dx = 2 ex e
3e −2 − lim ( x + 1)e − x = 3e −2 . =
【答案】(B)
3
【 解 析 】 根 据 图 可 得 ， 在 极 坐 标 系 下 计 算 该 二 重 积 分 的 积 分 区 域 为
1 1 π π D ( r , θ ) ≤ θ ≤ , = ≤r≤ 4 3 2sin 2θ sin 2θ
所以
π
1 si n 2θ 1 2sin 2θ
y = f ( x) 的拐点的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(
)
【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个。
2
(5) 设函数 f ( u , v ) 满足 f x + y, = x 2 − y 2 ，则 ∂u x (A)

y
∂f
u =1 与 v =1
∂f ∂v
u =1 v =1
依次是 (
)
1 ,0 2 1 (B) 0, 2 1 (C) − , 0 2 1 (D) 0, − 2
【答案】(D) 【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令 u =+ ，则 x x y, v = =
2 2
y x
u uv y ，从而 f ( x + y, ) = ,y = x 2 − y 2 变为 1+ v 1+ v x
( )
( )
【答案】 e −2 x + 2e x 【解析】由题意知： y ( 0 ) = 3 ， y′ ( 0 ) = 0 ，由特征方程： λ 2 + λ − 2 = 0 解得 λ1 = 1, λ2 = −2 所以微分方程的通解为： = y C1e x + C2 e −2 x 代入 y ( 0 ) = 3 ， y′ ( 0 ) = 0 解得： C1 = 2 C2 = 1 解得： = y 2e x + e −2 x (13)若函数 Z = z ( x, y ) 由方程 e x + 2 y +3 z + xyz = 1 确定，则 dz ( 0,0) = 【答案】 − 。