立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问

题

文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

立体几何中的探索性问题

一、探索平行关系

1．[2016·枣强中学模拟] 如图所示，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况) 答案：M位于线段FH上(答案不唯一) [解析] 连接HN，FH，FN，

则FH∥DD

1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD

1

∩BD＝D，∴平面FHN∥平面

B

1BDD

1

，故只要M∈FH，则MN?平面FHN，且MN∥平面B

1

BDD

1

.

2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE证明你的结论．

解：(1)如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.(2分)

又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，

所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角．(4分)

设正方体的棱长为2，

则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3.

于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EM

BE

＝

2

3

，(5分)

即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为2

3

.(6分)

(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.

事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.

因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝

BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，

因此D1C∥A1B.

又E，G分别为D1D，CD的中点，

所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.

这说明A1，B，G，E四点共面．所以BG?平面A1BE.

(8分)

因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，

所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，

因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG，

(10分)

而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，

故B1F∥平面A1BE.(12分)

3．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD ＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．

(1)求三棱锥A-PDE的体积；

(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD.

又∵ABCD是矩形，

∴AD⊥CD.

∵PD∩CD＝D，

∴AD⊥平面PCD，

∴AD是三棱锥A-PDE的高．

∵E为PC的中点，且PD＝DC＝4，

∴S△PDE＝1

2

S△PDC＝

1

2

×

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2

×4×4＝4.

又AD＝2，

∴V A－PDE＝1

3

AD·S△PDE＝

1

3

×2×4＝

8

3

.

(2)取AC中点M，连接EM，DM，∵E为PC的中点，M是AC的中点，

∴EM∥PA.

又∵EM?平面EDM，PA?平面EDM，

∴PA∥平面EDM.

∴AM＝1

2

AC＝ 5.

即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为 5.

4.如图所示，在三棱锥P - ABC中，点D，E分别为PB，BC的中点．在

线段AC上是否存在点F，使得AD∥平面PEF若存在，求出AF

FC

的值；若不

存在，请说明理由．

解：假设在AC上存在点F，使得AD∥平面PEF，连接DC交PE于G，连接FG，如图所示．

∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，

∴AD∥FG.

又∵点D，E分别为PB，BC的中点，∴G为△PBC的重心，∴AF

FC

＝

DG

GC

＝

1

2

.

故在线段AC上存在点F，使得AD∥平面PEF，且AF

FC

＝

1

2

.

5．[2016·北京卷] 如图，在四棱锥P - ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

(1)求证：DC⊥平面PAC.

(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.

(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF说明理由．

解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥DC.

又因为DC⊥AC，

所以DC⊥平面PAC.

(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，

所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥AB，

所以AB⊥平面PAC，

所以平面PAB⊥平面PAC.

(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：

取PB的中点F，连接EF，CE，CF.

因为E为AB的中点，

所以EF∥PA.