独立重复试验与二项分布

§2-3：2．2．3独立重复实验与二项分布

教材分析：本节内容是新教材选修2-3第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第三小节。通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容。二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，而超几何分布在产品数量n 相当大时可以近似的看成二项分布。本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建。是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

学生分析：初步掌握概率与统计知识；研究了两点分布和超几何分布；理解了条件概率和、相互独立事件；已具有一定的归纳抽象能力。比较畏惧有实际背景的数学应用问题；分析问题和解决问题的能力的能力比较弱；数学建模能力不足。

目标分析：

知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 重难点分析：

教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算

教学建议：关键是让学生能判断生是不是独立重复试验，是不是二项分布，分类要准确，解题格式要规范。

教学过程：

一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n

总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．

3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件

6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法

9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的

10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+

一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥

11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-

12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么

12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++

13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件

若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立

14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅

一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰

好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)n

P P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

k n k k n n q p C k P -==)(ξ，

（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0

1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …

0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式

011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，

记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．

三、讲解范例：

例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，

(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .

(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为

P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈.