§3.2 平面与点的相关位置

§3.2 平面与点的相关位置

一、位置关系

1. 空间中两点M i(x i, y i, z i)(i=1,2) 的位置关系，有且只有两种情况，就是重合或不重合，重合的条件是两点的坐标对应相等；在不重合时两点间的距离为

||＝.

2. 空间中平面与点的位置关系，有且只有两种情况，就是点在平面上，或点不在平面上，点在平面上的条件是点的坐标满足平面方程，点不在平面上时要考虑点到平面的离差，点到平面的距离.

二、离差和距离

1. 如图3-4, 如果自点M0到平面π引垂线，垂足为Q，那么矢量在平面π的单位法矢量上的射影叫做点M0与平面π的离差（或有向距

离），记做δ＝射影.

2. 点M0与平面π：＝0间的离差为

δ＝⋅－p.

其中＝.

3. 点M0(x0, y0, z0) 与平面π：x cos+y cosβ+z cosγ

－p＝0间的离差是

δ＝x0cos+y0cosβ+z0cosγ－p.

4. 点M0(x0,y0, z0) 与平面π：Ax+By+Cz+D＝0间的距离为

d＝|δ|＝.

5. 平面π：Ax+By+Cz+D=0把空间划分为两部分，对于某一部分的点Ax+By+Cz+D>0；而对另一部分的点则Ax+By+Cz+D<0，在平面π上的点Ax+By+Cz+D＝0.

例1. 计算点M(－2, 4, 3)与平面π：2x－y＋2z＋3＝0间的离差和距离.

解：将π化为法式方程－x + y－z－1＝0.

所以δ＝－(－2) + ⨯4－⨯3－1＝－,

d＝| δ|＝.

例2. 求通过x轴且与点M(5, 4, 13)相距8个单位的平面方程.

解：由题意，设所求平面方程为By + Cz＝0, 则

＝8,

平方化简 48B2－104BC－105C2＝0,

(12B－35C)(4B+3C)＝0,

得B＝，或B＝－C,

故所求平面方程为 35y+12z＝0 及 3y－4z＝0.

例3. 求原点关于平面6x+2y－9z+121＝0的对称点的坐标.

解：将平面方程法式化－,

则＝{, －, }，p＝11. 设对称点为O'(x0, y0, z0)，由对称点的性质可有＝2p, 即{x0, y0, z0}＝{－12, －4, 18},

故所求对称点的坐标为O'(－12, －4, 18).

例4. 判别点M (2, －1, 1)和N (1, 2, 3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是分别在对顶二面角内？

(1) π1：3x－y +2z－3＝0与π2：x－2y－z＋4＝0；

(2) π1：2x－y +5z－1＝0与π2：3x－2y+6z－1＝0.

解法一：设点M与平面π1, π2间的离差分别为δM1, δM2, 点N与平面π1, π2间的离差分别为δN1,δN2，则

M与N在同一二面角内当且仅当δM1δN1>0且δM2δN2>0；

M与N在相邻二面角内当且仅当δM1δN1>0且δM2δN2<0, 或δM1δN1<0且δM2δN2>0;

M与N在对顶二面角内当且仅当δM1δN1<0且δM2δN2<0.

（1）把πi(i＝1,2)法式化

π1：x－y+z－＝0,

π2：－x＋y+z－＝0,

则δM1＝, δM2＝－, δN1＝－, δN2＝－,

由于δM1δN1<0 且δM2δN2>0, 所以M, N在相邻二面角内.

（2）把πi(i＝1, 2)法式化

π1：x－y+z－＝0,

π2：x－y+z－＝0,

则δM1＝, δM2＝, δN1＝－, δN2＝－,

由于δM1δN1<0 且δM2δN2<0, 所以M, N在对顶二面角内.

解法二：设f1(x, y, z)＝3x－y+2z－3, f2 (x, y, z)＝3x－2y+6z－1. 则

M, N在同一二面角内当且仅当f1M f1N>0且f2M f2N>0；

M, N在相邻二面角内当且仅当f1M f1N>0且f2M f2N<0, 或f1M f1N<0且f2M f2N>0;

M, N在对顶二面角内当且仅当f1M f1N<0且f2M f2N<0.

其中f1M表示f1(x, y, z)在M点的函数值，其余类似.

(1) 由于f1M＝6, f1N＝－8, f2M =7, f2N=4,

f1M f1N<0且f2M f2N>0,

所以M, N在相邻二面角内

(2) 类似讨论得M, N在对顶二面角内.

例5. 试求由平面π1: 2x－y+2z－3＝0与π2: 3x＋2y－6z－1＝0所构成二面角的角平分面方程，在此二面角内有点M (1, 2,－3).

解：设P (x, y, z)为角平分面上任意一点，则依题意

＝,

7(2x－y+2z－3)＝±3(3x+2y－6z－1).

设f1(x, y, z)＝2x－y+2z－3，f2(x, y, z)＝3x+2y－6z－1. 因为所求平分面分点M所在的二面角，所以点P与M或者在同一二面角内或者在对顶二面角内，于是由第4题解法二知

或

此即

或

因为f1(1, 2, －3)＝2×1－2＋2×(－3)－3＝－9<0,

f2(1, 2, －3)＝3×1+2×2－6×(－3)－1＝24>0.

所以无论何种情况，f1(x, y, z)与f2(x, y, z)符号相反，从而

7(2x－y+2z－3)＝－3(3x+2y－6z－1),

整理得 23x－y－4z－24＝0.

作业题：

1. 证明点M0(x0, y0, z0)到平面π：Ax+By+Cz+D＝0的距离是

d＝.

2. 求与平面2x－y－z＋3＝0的离差等于－2的点的轨迹.

3. 在z轴上求一点，使它到M (1, －2, 0)与到平面3x－2y＋6z－9＝0的距离相等.

4. 求到平面2x－y＋z－7＝0和平面x＋y＋2z－11＝0距离相等的点的轨迹.