含有参数的二次函数最值的几种形式

数学研究性学习

含有参数的二次函数最值的几种形式

【问题探讨】含有参数的二次函数在闭区间上最值问题的类型和解题依据 【知识链接】

1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像是 ，抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 。

2、当0>a 时，抛物线开口向 ，函数在 处取最小值=min y ；在区

间 上是减函数，在区间 上是增函数。

3、当0

例1、已知二次函数32)(2+-=x x x f ，求该函数在下列区间上的最值。 （1）()+∞∞-, （2）[]0,2- （3）[]3,2- （4）[]3,2

探讨：1、在什么样的区间上二次函数既有最大值又有最小值，取最值时相应x 的取值都有几种可能？ 2、解决此类问题的关键点在哪里？

3、如果将其中的区间改成[]1,+t t ，请写出相应的计算过程。

例2、求二次函数1222)(2---=a ax x x f 在[]1,1-上的最小值，并将它表示成a 的函数。

探讨：本题的解题体现了什么样的数学思想？ 例3、已知函数2

1

4)(2

+-

+-=a ax x x f 在区间]21,1[a a --上的最大值是2，求a 的值。

探讨：当对称轴和区间都运动时，如何探讨对称轴和区间的位置关系？ 【合作学习】

1、 已知]1,[,53)(2+∈-+=t t x x x x f ，求该函数的最小值)(t h 。

2、 若函数2

13

21)(2+-=x x f 在区间],[b a 上的最小值为a 2，最大值为b 2，求区间],[b a 。

3、 已知二次函数x x x f +-

=2

2

1)(，是否存在实数),(,n m n m <使得)(x f 的定义域和值域分别为],[n m 何]3,3[n m ，若存在，求出n m ,的值；若不存在，请说明理由。

【小结】1、含有参数的二次函数最值的四种形式 2、通过抛物线的 方向和 与 的位置关系来判断函数在相应区间上的单调性是解题的关键。