二次函数专题之参数范围问题
中考热点-- 二次函数与方程、不等式,求参数范围(原卷版)
中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围一、解答题1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c(b，c是常数)．(1)当b=2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,-3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．4(2023·浙江宁波·校考三模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5．(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点C m,n在该二次函数图像上，当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．5(2023·浙江舟山·统考三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)经过点A1，0．点P在此抛物线上，其横坐标为m．，点B0，3(1)求此抛物线的解析式．(2)若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是．(3)点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．6(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2ax+1(a是常数)．(1)当a=2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点(1，p)，(-1，q)，求证：pq≤4．(3)已知函数图象经过点A(-3，y1)，B(a+1，y2)，点C(m，y3)，若对于任意的4≤m≤6都满足y1>y3> y2，求a的取值范围．7(2023·浙江杭州·统考二模)已知函数y1=x2-m+2x+2m+3,y2=nx+k-2n(m，n，k为常数且n≠0)．(1)若y1的图象经过点A-1,3，求该函数的表达式．(2)若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若m≤2，当-1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．8(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=ax x-ma≠0．和一次函数y2=ax+b a≠0(1)二次函数y1的图象过1,0点，求二次函数的表达式；,2,2(2)若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：b=-am；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．9(2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模)在平面直角坐标系中，当x=-2和x=4时，二次函数y=ax2+bx-2(a，b是常数，a≠0)的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．(3)记(2)中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线y2，当-2≤x≤m时，抛物线y2的最大值与最小值之差为8，求m的值．10(2023·浙江丽水·统考二模)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A x1,0且x1≠,B x2,0x2．(1)当x1=2，且b+c=-6时，①求b，c的值②当t≤x≤t+2时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为2t，求t的值；(2)若x1=3x2，求证：3b-c≤3．211(2023·浙江杭州·统考二模)二次函数y=ax2+bx-1(a，b为常数，a≠0)的图像经过点A1,2．(1)求该二次函数图像的对称轴(结果用含a的代数式示)(2)若该函数图像经过点B3,2；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设M x1,y1，N x2,y2是该二次函数图像上两点，其中x1，x2是实数．若x1-x2=1，求证：y1+y2≤11 212(2023·浙江杭州·统考一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点．(1)当a=1,b=2时，求m的值．(2)当0<a<2,c=2时，①求证：m>1．②点C x1,y1,D x2,y2在该抛物线上，且x1>x2,x1+x2<2，试比较y1与y2的大小．13(2023·浙江绍兴·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．(1)求该抛物线的对称轴(用含t的式子表示)；(2)若点M t-2，m在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m，n的大小；，N t+3，n(3)P x1，y1是抛物线y=x2-2tx+1上的任意两点，若对于-1≤x1<3且x2=3，都有y1≤y2， ，Q x2，y2求t的取值范围；(4)P t+1，y1是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值． ，Q2t-4，y214(2023·浙江杭州·模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+m2+1存在两点A m-1,y1，B m+2,y2．(1)求抛物线的对称轴；(用含m的式子表示)(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F(包括A，B两点)，y轴上一动点C0,a，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；(3)若点M2,y3也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G(包括M，A两点)，记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥y2-y1，求m的取值范围．15(2022春·九年级课时练习)抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，则k 的取值范围是．16(2020秋·九年级课时练习)抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是．17(2023·安徽淮北·校考一模)若对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，则一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是．18(2021春·九年级课时练习)抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点的个数是．19(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的部分图象如图所示，图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，下列结论：①2a +b =0；②当m ≠-1时，am 2-b m +1 <a ；③若点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，则y 1<y 3<y 2；④若关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有3个．其中正确的结论有(填序号)．20(2023·浙江·校联考三模)已知点x1，y1，x2，y2为二次函数y=-x2图象上的两点(不为顶点)，则以下判断正确的是()A.若x1>x2，则y1>y2B.若x1<x2，则y1<y2C.若：x1x2<x22，则y1>y2 D.若x1x2>x22，则y1<y221(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=(ax+1)(bx+1)，y2=(x+a)(x+b)，(a，b为常数，且ab≠0)，则下列判断正确的是()A.若ab<1，当x>1时，则y1>y2B.若ab>1，当x<-1时，则y1>y2C.若ab<-1，当x<-1时，则y1>y2D.若ab>-1，当x>1时，则y1>y222(2023·浙江杭州·统考二模)点P m,n在二次函数y=ax2-2ax a≠0的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则n=-a；乙：若P的个数为2，则n≥-a则下列判断中正确的是()A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误23(2023·浙江宁波·校考二模)已知点A x1，y1，B x2，y2在抛物线y=-(x-4)2+m(m是常数)上．若x1<4<x2，x1+x2>8，则下列大小比较正确的是()A.y1>y2>mB.y2>y1>mC.m>y1>y2D.m>y2>y124(2023·统考二模)已知二次函数y=x2+bx+c过点A x1,y1，B x1+t,y2，C x1+2t,y3三点．记m=y2-y1，n=y3-y2，下列命题正确的是()A.若n-m>2，则t<-1B.若n-m<2，则t>-1C.若t>1，则n-m>2D.若t<1，则n-m<225(2023·浙江杭州·统考二模)已知y关于x的二次函数y=2mx2+1-mx-1-m，下列结论中正确的序号是()①当m=-1时，函数图象的顶点坐标为12,12 ；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当m>0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于3 2；④若函数图象上任取不同的两点P1x1,y1、P2x2,y2，则当m<0时，函数在x>14时一定能使y2-y1x2-x1<0成立．A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④26(2023·浙江·模拟预测)点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 在抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 上，存在正数m ，使得-2<x 1<0且m <x 2<m +1时，都有y 1≠y 2，则m 的取值范围是()A.1<m ≤4B.2<m ≤4C.0<m ≤1或m ≥4D.1<m ≤2或m ≥427(2023·浙江·模拟预测)点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 在抛物线y =ax 2-2ax -3(a ≠0)上，存在正数m ，使得-2<x 1<0且m <x 2<m +1时，都有y 1≠y 2，则m 的取值范围是()A.1<m ≤4B.1<m ≤4C.0<m ≤1或m ≥4D.1<m ≤2或m ≥428(2023·浙江宁波·校考一模)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A x 1,y 1 ，B 1-m ,n ，C x 2,y 2 ，D m +3,n ，若x 1-2 >x 2-2 ，则下列表达式正确的是()A.y 1>y 2B.y 1<y 2C.a y 1-y 2 >0D.a y 1-y 2 <029(2022·浙江宁波·校考三模)如图，二次函数y =ax 2+bx +c a <0 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x =2，则下列说法中正确的有()①abc <0；②4ac -b 24a>0；③16a +4b +c >0；④5a +c >0；⑤方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)其中一个解的取值范围为-2<x <-1．A.1个B.3个C.4个D.5个。
探究一类含参数二次函数范围(最值)问题
√ （2）当 a , b 满足 M (a, b) 2 ，求 a b 的最大值. 全省17.7万 2.21分
高考分值分配：7分+8分结构
f ( x) x2 ax b
f ( x) x2 2x 2 ( x 1)2 3
（ 1） 若存在 x0 [2,1] ， 使得 f ( x0 ) t 成立， 求实数 t 的取值范围？ y
a 2时，M (a) a 1 a 2时 M (a) max{ f (1) , f (1)}
a 1 2
y
O
max{ a 1 , a 1}
1 a
x
f ( x) x2 ax b
4.对任意 a 2 时， 记 M (a, b) 为 f ( x) 在 x [1,1] 时的最大值，证明 M (a) 2 .
y a 1 2
O
x
a 1 a 2 M (a) 3.对任意 a 2 ， b 2 时， 1 a a 2
f ( x) x2 ax b f ( x) x2 ax 2
记 M (a) 为 f ( x) 在 x [1,1] 时的最大值，求 M (a) .
O
a
数缺形时少直观，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休。
f ( x) x2 ax b
f ( x) x2 ax 2
3.对任意 a 2 ， b 2 时， 记 M (a) 为 f ( x) 在 x [1,1] 时的最大值，求 M (a) .
a 2时，M (a) a 1 a 2时
探究一类含参数二次 函数范围（最值）问题
杭州市源清中学 数学组 王凯
2015年6月7日
二次函数——取值范围
专题十一：二次函数之取值范围坐标相关的取值范围例题1 ：如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．（1）求抛物线的解析式；（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y 轴交于点N，求PM+MN的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点，①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．例题2 ：A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；（3）当B，C重合时，求的值；（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．练习1. 抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出M点横坐标的变化范围，并说明理由．练习2 . 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线解析式；（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP ＝S△CAP，求P点坐标；（3）已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l 相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．角度相关取值范围例题1 ：已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，5）三点，其对称轴2交x轴于点H，一次函数y=k x+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；=S△EAB时，求一次函数的解析式；（2）如图1，当S△EOC（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．练习1 . 已知在平面直角坐标系x O y中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A （0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）经过点D．．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣13①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．动点相关的取值范围例题1 ：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，顶点坐标D为（3，4√3）。
初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法
初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法二次函数参数取值范围的解题思路和方法主要包括以下几个步骤：1. 理解二次函数的基本形式：二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
2. 确定参数与函数性质的关系：开口方向：由 $a$ 决定。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
对称轴：由 $b$ 决定。
对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
顶点：坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。
与坐标轴的交点：令 $f(x) = 0$ 解得与 $x$ 轴的交点；令 $x =0$ 解得与 $y$ 轴的交点。
3. 根据题目要求求解参数范围：求最值：如果题目要求二次函数的最大值或最小值，可以通过顶点坐标或对称轴来求解。
求交点：如果题目要求二次函数与坐标轴的交点，可以令 $f(x) = 0$ 或 $x = 0$ 来求解。
求参数范围：根据题目给出的条件，如函数在某个区间上的单调性、与坐标轴的交点位置等，列出不等式或方程来求解参数的范围。
4. 验证解的有效性：解出参数后，需要代入原函数进行验证，确保解满足题目的所有条件。
下面是一个具体的例子：例：已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$，求 $m$ 的取值范围，使得函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减。
解：1. 确定对称轴：二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$ 的对称轴为$x = m$。
2. 判断单调性：由于二次项系数 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上。
因此，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。
3. 求解参数范围：要使函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，需要对称轴 $x = m$ 在区间 $[1, 3]$ 的右侧，即 $m \geq 3$。
专题09 二次函数中取值范围专题(一)(解析版)九下数学专题培优训练
专题09 二次函数中的取值范围专题（一）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 如果二次函数y =x 2−6x +8在x 的一定取值范围内有最大值(或最小值)为3，满足条件的x 的取值范围可以是( )A. −1≤x ≤5B. 1≤x ≤6C. −2≤x ≤4D. −1≤x ≤1【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：∵y =x 2−6x +8=(x −3) 2−1， 当y =3时，得出x =1或5，∴在自变量−1≤x ≤1的取值范围内，当x =1时，有最小值3，2. 已知函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，最小值是，则m 的取值范围是( )A. m ≥−2B. 0≤m ⩽12C. −2≤m ⩽−12D. m ⩽−12【答案】C【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解答】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12，∴当x=−12−[1−(−12)]=−2时，y=1，∵函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤−12；∴−2≤m≤−12．3.已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是()A. −1≤t≤0B. −1≤tC. D. t≤−1或t≥0【答案】A【分析】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y=−(x−1)2+4，∴顶点坐标为(1,4)，当x=0时，y=3，∴A(0,3)，当x=4时，y=−5，∴C(4,−5)，∴当t=0时，D(4,5)，∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t=−1时，此时最小值为−1，最大值为4．综上所述：−1≤t≤0，m−1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是() 4.已知二次函数y=x2−x+14A. m≤5B. m≥2C. m<5D. m>2【答案】A【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．m−1的图象与x轴有交点，【解答】解：∵二次函数y=x2−x+14∴△=(−1)2−4×1×(1m−1)≥0，4解得：m≤5，5.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.20【答案】C【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．根据二次函数的增减性，可得答案．【解答】解：由表格中的数据，得在6.17<x<6.20范围内，y随x的增大而增大，当x=6.18时，y=−0.01，当x=6.19时，y=0.02，方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18<x<6.19，6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x−3−2−1012345y1250−3−4−30512当函数值y<0时，x的取值范围是()A. x<0或x>2B. 0<x<2C. x<−1或x>3D. −1<x<3【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围，同学们应熟练掌握．由表格给出的信息可看出，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，函数有最小值，抛物线开口向上a>0，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，根据二次函数的性质可得出y<0时，x的取值范围．【解答】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x=1，a>0，开口向上，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，则当函数值y<0时，x的取值范围是−1<x<3．7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c−m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≥3B. m≤3C. m≥−3D. m≤−3【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程ax2+bx+c−m=0有实数相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．【解答】解：方程ax2+bx+c−m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点y=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴m≤3，二、填空题8.我们把函数在m≤x≤n上的最大图值和最小值的差称为区间极差，比如一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的区间极差为3−1=2.若二次函数y=−x2+2x+3在−1≤x≤a 上的区间极差为4，则a的取值范围是____________．【答案】1⩽a⩽3【分析】本题考查二次函数的综合问题和其最值问题以及一元二次方程的求解，通过二次函数在−1≤x≤a的区间，求解a的范围。
专题二次函数的单调性及求参数的范围课件高一上学期数学人教A版(2019)
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抽象函数单调性的证明与应用问题
练习1:已知函数f (x)的定义域为(0, ), 且满足 f ( x ) f (x) f ( y), 当 x 1时, 有f (x) 0.
专题 二次函数的单调性及 求参数的范围
问题 1 已知函数 f(x)的单调区间是 M 与函数 f(x) 在区间 N 上单调, 则区间 M, N 有怎样的关系?
NM
问题2 二次函数的单调性与它的什么要素有关系?
与二次函数的开口方向和对称轴有关系
二次函数的单调性问题
例1已知函数f (x) kx2 2x 1的减区间是[2, ),
y (1) 判断并证明函数 f (x)的单调性; (2) 若f (2) 1, 解不等式f (x 3) f ( 1) 2.
x
课后思考
练习2 : 若函数 f (x) x2 a x 2 在(0, )上单调递增,
则实数 a的取值范围是 _[__4_,_0_] .
2
二次函数的单调性问题
例3已知函数 f (x) 4x2 kx 8在[5, 20]上是增函数,
则实数 k的取值范围是 ____k___4_0_____;
变式 :已知函数 f (x) 4x2 kx 8在[5, 20]上是减函
数,则实数 k的取值范围是 __k___1_6_0__;
例4已知函数 f (x) 4x2 kx 8在[5, 20]上是单调函 数,则实数 k的取值范围是 _k___4_0_或__k___1_6_0_; 变式 :已知函数 f (x) 4x2 kx 8在[5, 20]上不是单
二次函数中的取值范围(最值)问题 - 学生版
二次函数中的取值范围（最值）问题班级：________ 姓名：_______复习：已知二次函数223y x x =--.（1）y 的取值范围是_______________________________________________________. （2）当24x <<时，y 的取值范围是_________________________________________. （3）当04x <<时，y 的取值范围是_________________________________________. （4）当0y >，x 的取值范围是______________________________________________. （5）当3y >-，x 的取值范围是_____________________________________________. （6）当1x a -≤≤时，y 有最小值4-，最大值0，则实数a 的取值范围是____________.方法归纳： x y ⎧⎪⎨⎪⎩求范围:_________________.求范围:_________________.参数范围:_________________. 大方向.⎧⎪⎨⎪⎩求值:_________________求范围:________________.一、最值计算 _________________________例1. (2014成都改编) 在美化校园的活动中，某综合实践小组的同学借如图所示的直角墙角（两边足够长），用8m 长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD （篱笆只围AB 、BC 两边）设AB =x m ．若在点P 处有一棵小树与墙CD 、AD 的距离分别为5m 和2m ，要将这棵树围在花圃内（含边界，不考虑树干的粗细），求花圃面积y 的最大值．二、求参范围 _________________________ 题型一、增减性 _________________________例2. （1）抛物线22y x ax =-，当3x >时，y 随着x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是______________.（2）抛物线221y ax x =++，当3x <时，y 随着x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是___________.C题型二、图象求参 _________________________例3. （1）已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示， 则a b c ++的取值范围是___________________.（2）已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示， 则实数a 的取值范围是_________________________.题型三、交点判断 _________________________例4.（1）若抛物线2y x m =-与直线2y x =-最多有一个交点，则实数m 的取值范围是_____________.（2）（2017成都）若抛物线21142y x =-+与抛物线221(2)42y x m =--在y 轴右侧有两个不同的交点，则m 的取值范围是__________.思考题： _________________________（1）（轴动区间定）已知二次函数22y x ax =-，当14x -≤≤， y 有最小值-3，则a 的值为_______.（2）（轴定区间动）已知二次函数22y x x =-，当1a x a -≤≤时，y 有最小值3，则a 的值为_______.yx-1-1O习 题1. 若反比例函数ay x=的图象与直线2y x =+有两个交点，则a 的取值范围是_____________. 2. 若关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根，则a 的取值范围是_______________________．3. 如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于 A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，则关于x 的不等式kx +n > ax 2+bx +c 的解为_____．4. 已知抛物线2(2)3y x m =-+，当1m x m <<+时，y 随着x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________.5. (宿迁中考) 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm /s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是__________.6. 已知抛物线221y ax x =-+，若对满足34x <<的任意x 都有0y >，则a 的取值范围是___________.7. 已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①0abc <； ②20a b +<；③()a b m am b +<+(1)m ≠；④22()a c b +<；⑤1a >。
含参数的二次函数参数取值范围-答案
参考答案与试题解析一．选择题（共 4 小题）1．二次函数 y＝x2+（a﹣2）x+3 的图象与一次函数 y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数 a 的取值范围是（）A．a＝3±2 B．﹣1≤a＜2C．a＝3 或﹣≤a＜2 D．a＝3﹣2 或﹣1≤a＜﹣【解答】解：由题意可知：方程 x2+（a﹣2）x+3＝x 在 1≤x≤2 上只有一个解，即 x2+（a﹣3）x+3＝0 在 1≤x≤2 上只有一个解，当△＝0 时，即（a﹣3）2﹣12＝0a＝3±2当 a＝3+2 时，此时 x＝﹣，不满足题意，当 a＝3﹣2 时，此时 x＝，满足题意，当△＞0 时，令 y＝x2+（a﹣3）x+3，令 x＝1，y＝a+1，令 x＝2，y＝2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当 a＝﹣1 时，此时 x＝1 或 3，满足题意；当 a＝﹣时，此时 x＝2 或 x＝，不满足题意，综上所述，a＝3﹣2 或﹣1≤a＜，故选：D．2．对于题目“一段抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c＝1，乙的结果是 c＝3 或 4，则（）A．甲的结果正确第1页（共27页）B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：∵抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点∴①如图 1，抛物线与直线相切，联立解析式得 x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得 c＝1②如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0≤x≤3 上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c 的最小值＝2，但取不到，c 的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c 为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5故选：D．3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线 y第2页（共27页）＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（）A．a≤﹣1 或≤a＜B．≤a＜C．a≤或 a＞D．a≤﹣1 或 a≥【解答】解：∵抛物线的解析式为 y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当 a＜0 时，x＝﹣1 时，y≤2 时，且﹣＞﹣1，满足条件，可得 a≤﹣1；当 a＞0 时，x＝2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，且﹣≤2 满足条件，∴a≥，∵直线 MN 的解析式为 y＝﹣x+ ，由，消去 y 得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤﹣1 或≤a＜，故选：A．4．如图，已知点 A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0），抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 过点 C，顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上．若抛物线与线段 AB 无公共点，则 k 的取值范围是（）第3页（共27页）A．0＜k＜2 B．0＜k＜2 或 k＞C．k＞D．0＜k＜2 或 k＞【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上，且点 A（0，2），B（2，2），∴h＝1，k＞0．抛物线与线段 AB 无公共点分两种情况：当点 M 在线段 AB 下方时，∵点 M 的坐标为（1，k），∴0＜k＜2；当点 M 在线段 AB 上方时，有，解得：k＞．综上所述：k 的取值范围为 0＜k＜2 或 k＞．故选：B．二．填空题（共 3 小题）5．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（2，0），若抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是﹣2＜k＜．第4页（共27页）【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线 OA 的解析式为 y＝x，联立消掉 y 得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即 k＝时，抛物线与 OA 有一个交点，此交点的横坐标为 1，∵点 B 的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点 A 的坐标为（，），∴交点在线段 AO 上；当抛物线经过点 B（2，0）时，×4+k＝0，解得 k＝﹣2，∴要使抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．6．已知抛物线 C1：y＝x2﹣2x﹣8 及抛物线 C2：y＝x2﹣（4a+3）x+4a2+6a（a 为常数），当﹣2＜x＜2a+3 时，C1，C2 图象都在 x 轴下方，则 a 的取值范围为﹣＜a≤﹣1 ．【解答】解：当 y＝0 时，有 x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4；当 y＝0 时，有 x2﹣（4a+3）x+4a2+6a＝0，第5页（共27页）解得：x3＝2a，x4＝2a+3．∵两抛物线均开口向上，且当﹣2＜x＜2a+3 时，C 1，C2 图象都在 x 轴下方，∴，解得：﹣＜a≤﹣1．故答案为：﹣＜a≤﹣1．7．在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），若抛物线 y＝x2﹣2x+n﹣1 与线段 OA 有且只有一个公共点，则 n 的取值范围为﹣2≤n＜1 或 n＝2 ．【解答】解：∵点 A 的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2 与线段OA 有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0 或，解得，﹣2≤n＜1 或 n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1 或 n＝2．三．解答题（共 11 小题）8．已知抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3 的顶点 P 在一条定直线 l 上．（1）直接写出直线 l 的解析式；（2）对于任意非零实数 a，存在确定的 n 的值，使抛物线与 x 轴有唯一的公共点，求此时 n 的值；（3）当点 P 在 x 轴上时，抛物线与直线 l 的另一个交点 Q，过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，求的值或取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3＝a（x﹣n）2+（n+3），∴抛物线 P（n，n+3），∵顶点 P 在一条定直线 l 上，令 n＝x，n+3＝y，∴y＝x+3，即：直线 l 的解析式为 y＝x+3，（2）抛物线与 x 轴有唯一的公共点，第6页（共27页）令 y＝0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3＝0，∴△＝（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）＝﹣4a（n+3）＝0，∵任意非零实数 a，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线与 x 轴有唯一的公共点，此时 n 的值为﹣3，（3）由（1）知，P（n，n+3），∵点 P 在 x 轴上，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线 y＝a（x+3）2，①∵直线 l 的解析式为 y＝x+3②，联立①②得 Q（﹣3+ ，），∵过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，∴BQ＝| |，∵过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，∴a（x+3）2＝，∴x＝﹣3±，∴A（﹣3﹣，），∵Q（﹣3+ ，），∴AQ＝|﹣3+ ﹣（﹣3﹣）|＝| |∴＝2．9．如图 1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中 m 为常数，且 m＞0，E（0，n）为 y 轴上一动点，以 BC 为边在 x 轴上方作矩形 ABCD，使 AB＝2BC，画射线OA，把△ADC 绕点 C 逆时针旋转 90°得△A′D′C′，连接 ED′，抛物线 y＝ax2+bx+n （a≠0）过 E，A′两点．第7页（共27页）（1）填空：∠AOB＝45 °，用 m 表示点 A′的坐标：A′（m ，﹣m ）；（2）当抛物线的顶点为 A′，抛物线与线段 AB 交于点 P，且＝时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由；（3）若 E 与原点 O 重合，抛物线与射线 OA 的另一个交点为点 M，过 M 作 MN⊥y 轴，垂足为 N：①求 a，b，m 满足的关系式；②当 m 为定值，抛物线与四边形 ABCD 有公共点，线段 MN 的最大值为 10，请你探究 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即 BC＝m，∵AB＝2BC，∴AB＝2m＝0B，∵∠ABO＝90°，∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即 A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵＝，∴P（2m，m），第8页（共27页）∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为 y＝a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点 E（0，n），∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即 m＝2n，∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点 E 与点 O 重合时，E（0，0），∵抛物线 y＝ax2+bx+n 过点 E，A′，∴，整理得：am+b＝﹣1，即 b＝﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形 ABCD 有公共点，∴抛物线过点 C 时的开口最大，过点 A 时的开口最小，若抛物线过点 C（3m，0），此时MN 的最大值为 10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，整理得：am＝，即抛物线解析式为 y＝x2﹣x，由 A（2m，2m），可得直线 OA 解析式为 y＝x，联立抛物线与直线 OA 解析式得：，解得：x＝5m，y＝5m，即 M（5m，5m），令 5m＝10，即 m＝2，当 m＝2 时，a＝；若抛物线过点 A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，解得：am＝2，∵m＝2，∴a＝1，则抛物线与四边形 ABCD 有公共点时 a 的范围为≤a≤1．10．如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴交于点 C（0，8）．第9页（共27页）（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E．在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+2）（x﹣4）．把 C（0，8）代入，得 a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点 D（1，9）；（2 分）（2）假设满足条件的点 P 存在．依题意设 P（2，t）．由 C（0，8），D（1，9）求得直线 CD 的解析式为 y＝x+8，它与 x 轴的夹角为 45°．设 OB 的中垂线交 CD 于 H，则 H（2，10）．则 PH＝|10﹣t|，点 P 到 CD 的距离为．又．（4 分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得 t＝﹣10±8 ．∴存在满足条件的点 P，P 的坐标为（2，﹣10±8 ）．（6 分）（3）由上求得 E（﹣8，0），F（4，12）．①若抛物线向上平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．第10页（共27页）当 x＝﹣8 时，y＝﹣72+m．当 x＝4 时，y＝m．∴﹣72+m≤0 或 m≤12．∴0＜m≤72．（8 分）②若抛物线向下平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移个单位长．（10 分）11．如图，在直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动．抛物线与 y 轴相交于 C 点．（1）当 b＝﹣4 时，求 C 点坐标；（2）抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，当△ABD 为直角三角形时，求 b，c 的值；（3）线段 MN 的端点 M（﹣2，4），N（﹣1，1），若抛物线与线段 MN 有公共点，求 b 的取值范围．第11页（共27页）【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动，∴设抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 的坐标是（﹣，﹣）．（1）如图 1，∵点 D 在抛物线上，∴﹣＝（﹣）2+b•（﹣）+c，即 c＝﹣+ ．又∵b＝﹣4，c＝﹣+ ＝6，即 c＝6．令 x＝0，则 y＝c＝6，即 C（0，6）；（2）如图 2，连接 AD、BD．∵点 A、B 是抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴的两个交点，点 D 是顶点，∴AD＝BD，∴在直角△ABD 中，∠ADB＝90°．设 A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．∴AB＝|x1﹣x2|＝＝，则，解得，即 b，c 的值分别是 2、0；（3）如图 3，当点 M（﹣1，1）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最小值，所以，1＝1﹣b+c，即 b＝c，则 b＝﹣+ ，解得 b＝6；当点 N（﹣2，4）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最大值，所以 4＝4﹣2b+c，即 2b＝c，则 2b＝﹣+ ，解得 b＝10，所以 b 的取值范围是 6≤b≤10．第12页（共27页）12．已知抛物线 y＝a（x+1）2+c（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，其顶点为 M，已知直线 MC 的函数表达式为 y＝kx﹣3，与x 轴的交点为 N，且 cos∠BCO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）由 y＝kx﹣3，可知 OC＝3，在 Rt△OBC 中，∵cos∠BCO ＝，∴BC＝，OB＝＝1，将 B（1，0））、C（0，﹣3）代入抛物线解析式，得，第13页（共27页）解得，∴抛物线解析式为 y＝（x+1）2﹣4；（2）存在．由抛物线解析式得 M（﹣1，﹣4），设直线 MN 解析式为 y＝kx+b，则，解得，∴y＝x﹣3，N（3，0），△OCN 为等腰直角三角形．过 N 点作 CN 的垂线交 y 轴于（0，3），垂线解析式为 y＝﹣x+3．联立，得 P 点坐标为（，）或（，），连接 AC，则 A（﹣3，0）点满足题意，∴P 点坐标为（，）或（，）或（﹣3，0）；（3）设平移后抛物线解析式为 y＝（x+1）2+m，①当抛物线与直线 MN 只有一个交点时，联立，得 x2+x+m+4＝0，当方程组有一个解时，△＝0，即 1﹣4（m+4）＝0，解得 m＝﹣，∴向上平移 4﹣＝个单位，②当抛物线经过 N（3，0）时，（3+1）2+m＝0，解得 m＝﹣16，当抛物线经过 Q（﹣3，﹣6）时，（﹣3+1）2+m＝﹣6，解得 m＝﹣10，∴向下平移 16﹣4＝12 个单位．即抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移 12 个单位长度．13．如图，平面直角坐标系中，y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2 的顶点为 P，且 OP2 最小．（1）求 m 的值；（2）直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B．第14页（共27页）①抛物线与直线 l 交于两点，当这两点之间的距离为时，求 a 的值；②若抛物线与线段 AB 有两个公共点，请直接写出 a 的值或取值范围是a≥或 a≤﹣10 ．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝a（x﹣m）2+2m+2，∴P（m，2m+2），∴OP2＝m2+（2m+2）2＝5m2+8m+4＝5（m+ ）2+ ，∵OP2 最小．∴m＝﹣；（2）设抛物线与直线 l 交于两点 C（x 1，y1），D（x2，y2），＝2x1+2，y2＝2x2+2，∴y∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）由（1）知，m＝﹣，∴y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝ax2+ ax+ a+ ①；①∵直线 l：y＝2x+2②，联立①②得，ax2+ ax+ a+ ＝2x+2，化简得，ax2+ x+ ＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴CD2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[ ﹣4×]，第15页（共27页）∵两点之间的距离为，∴5[ ﹣4×]＝，∴4a2＝25，∴a＝±；②如图，∵直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，∴A（﹣1，0），B（0，2），y＝ax2+ ax+ a+ ＝a（x+ ）2+ ，∴抛物线的顶点 P 坐标（﹣，），把 x＝﹣代入 y＝2x+2 得，y＝，∴点 P 在直线 l：y＝2x+2 上，当 a＞0 时，把 B（0，2）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝2，∴a＝，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≥，当 a＜0 时，把 A（﹣1，0）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝0，∴a＝﹣10，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≤﹣10，即：抛物线与线段 AB 有两个公共点，a 的取值范围为 a≥或 a≤﹣10，故答案为：a≥或 a≤﹣10．第16页（共27页）14．如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c 经过点O 和点P．已知矩形ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求 c，b（可用含t 的代数式表示）；（2）当t＞1 时，抛物线与线段AB 交于点M．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；（3）在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）把 x＝0，y＝0 代入 y＝x2+bx+c，得 c＝0，再把 x＝t，y＝0 代入 y＝x2+bx，得 t2+bt＝0，∵t＞0，∴b＝﹣t；（2）不变．第17页（共27页）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣tx，且 M 的横坐标为 1，∴当 x＝1 时，y＝1﹣t，∴M（1，1﹣t），∴AM＝|1﹣t|＝t﹣1，∵OP＝t，∴AP＝t﹣1，∴AM＝AP，∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°；（3）＜t＜．①左边 4 个好点在抛物线上方，右边 4 个好点在抛物线下方：无解；②左边 3 个好点在抛物线上方，右边 3 个好点在抛物线下方：则有﹣4＜y2＜﹣3，﹣2＜y3＜﹣1 即﹣4＜4﹣2t＜﹣3，﹣2＜9﹣3t＜﹣1，＜t＜4 且＜t＜，解得＜t＜；③左边 2 个好点在抛物线上方，右边 2 个好点在抛物线下方：无解；④左边 1 个好点在抛物线上方，右边 1 个好点在抛物线下方：无解；⑤左边 0 个好点在抛物线上方，右边 0 个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：＜t＜．15．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C．（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x＝0 代入直线 y＝4x+4 得 y＝4，∴B（0，4），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，∴C（5，4）；（2）与 x 轴交点：令 y＝0 代入直线 y＝4x+4 得 x＝﹣1，第18页（共27页）∴A（﹣1，0），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，将点 A（﹣1，0）代入抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 中得 0＝a﹣b﹣3a，即 b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴 x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）且对称轴 x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0），①a＞0 时，如图 1，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将 x＝5 代入抛物线得 y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图 2，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3，将点（1，4）代入抛物线得 4＝a﹣2a﹣3a，解得 a＝﹣1．综上所述，a≥或 a＜﹣或 a＝﹣1．第19页（共27页）16．如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒一个单位长的速度运动 t 秒（t＞0），抛物线y＝﹣x2+bx 经过点 O 和点 P．已知矩形 ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（3，0），D（1，3）．（1）求 b 的值（用 t 的代数式表示）；（2）当 3＜t＜4 时，设抛物线分别与线段 AD，BC 交于点 M，N．①设直线 MP 的解析式为 y＝kx+m，在点P 的运动过程中，你认为 k 的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 k 的值；②在点 P 的运动过程中，当 OM⊥MN 时，求出 t 的值；第20页（共27页）（3）在点 P 的运动过程中，若抛物线与矩形 ABCD 的四条边有四个交点，请直接写出 t 的取值范围．【解答】解：（1）∵点 P 的坐标为（t，0），∴0＝﹣t2+bt，解得：b＝t，（2）①把 x＝1 代入 y＝﹣x2+tx，得 y＝t﹣1，即 M（1，t﹣1），∴，解得 k＝﹣1，②如图，过点 N 作 NH⊥AD 于点 H，求得：BN＝3t﹣9，MH＝8﹣2t，HN＝AB＝2，当 OM⊥MN 时，可证得△OAM∽△MHN，故可得，即，解得，（舍去）从而可得：．（3）抛物线的解析式为 y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+ ，①因为抛物线的顶点纵坐标大于点 D 和点 C 的纵坐标，所以＞3，解得 b＞2 或 b＜﹣2 ；②当 x＝1 时，y＝﹣1+b＜3，解得：b＜4，综上可得：2 ＜b＜4．第21页（共27页）17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别为 1、4，D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，m）．（1）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，DA′与 OC 交于 H，求证：△OHD 是等腰三角形．（2）求点 A′的坐标；（3）求抛物线的解析式（用含 m 的式子表示）；（4）连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线与线段 CE 相交，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）如图 1，由折叠得：∠ADO＝∠ODH，∵四边形 ABCO 为矩形，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOH，∴∠DOH＝∠ODH，∴△OHD 是等腰三角形；（2）如图 2，过 A′作 A′F⊥x 轴于 F，由折叠得：A′D＝AD＝AB＝2，OA′＝OA＝1，∠OA′H＝90°，设 A′H＝x，则 DH＝OH＝2﹣x，第22页（共27页）由勾股定理得：12+x 2＝（2﹣x ）2，x ＝ ，即 A ′H ＝ ，∴DH ＝OH ＝2﹣ ＝ ，∴S △A ′OH ＝ OA ′•A ′H ＝ OH •A ′F ，∴1× ＝ ×A ′F ，∴A ′F ＝ ，由勾股定理得：OF ＝ ＝ ＝ ，∴A ′（ ，﹣ ），（3）设抛物线的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，把 A （0，1）、D （2，1）、M （﹣1，m ）代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为：y ＝ + +1，（4）∵A ′F ∥BE ， ∴，∴ ，∴CE ＝3， ∴E （4，﹣3），当 x＝4 时，y＝+ +1，y＝，∵﹣3≤y≤0，∴﹣3≤≤0，第23页（共27页）∴﹣≤m≤．18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1、y2，都有点（x，y1）和（x，y2）关于点（x，x）中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线 y＝x 上，所以称这两个函数为关于直线 y ＝x 的特别对称函数．例如：和为关于直线 y＝x 的特别对称函数．（1）若 y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，点 M（1，m）是y＝3x+2 上一点．①点 M（1，m）关于点（1，1）中心对称的点坐标为（1，﹣3）．②求 k、t 的值．（2）若 y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，求 n 的值．（3）若二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数．①直接写出 a、b 的值．②已知点 P（﹣3，1）、点Q（2，1），连结PQ，直接写出 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围．第24页（共27页）【解答】解：（1）①∵点 M（1，m）是 y＝3x+2 上一点，∴m＝5，∴M（1，5），∴点 M 关于（1，1）中心对称点坐标为（1，﹣4），故答案为（1，﹣3）；②∵y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴＝x，∴（1+k）x+（t+2）＝0，∴k＝﹣1，t＝﹣2；（2）设 y＝3x+n①的特别对称函数为 y＝m'x+n'，∴＝x，∴（1+m'）x+n+n'＝0，∴m'＝﹣1，n'＝﹣n，∴y＝3x+n 的特别对称函数为 y＝﹣x﹣n②，联立①②解得，x＝﹣n，y＝﹣n，∵y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|＝2，∴n＝±2；（3）①∵二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴，∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d；②由①知，a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d，∴二次函数 y＝﹣x2+2x﹣d 和 y＝x2+d，第25页（共27页）∴这两个函数的对称轴为直线 x＝1 和 x＝0，∵P（﹣3，1）、点Q（2，1），当d＜0 时，如图 1，当抛物线 C2：y＝x2+d 恰好过点 P（﹣3，1）时，即：9+d＝1，∴d＝﹣8，当抛物线 C1：y＝﹣x2+2x﹣d 恰好过点 Q（2，1）时，即：﹣4+2﹣d＝1，∴d＝﹣3，y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8≤d ＜﹣3，如图 2，当 0≤d＜1 时，抛物线 C1 与线段 PQ 有两个交点，而抛物线 C2 与线段 PQ 没有交点，∴y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为 0≤d ＜1，即：y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8 ≤d＜﹣3 或 0≤d＜1．第26页（共27页）1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚。
根据二次函数的零点分布求参数范围
根据二次函数的零点分布求参数范围江苏镇江韩雨这个原本是在必修一后半讲的，不过有些地方还是喜欢放在初升高来讲，一下的这些题目学过的可以拿出来给学生过过，难度也没多大，说明一下：后面的解答题是我以前教辅上的一些题目，在整理的时候不知道是不是学生的错题，索性就直接放上去了(因为当时我并没有进行标注)1.关于x 的方程x 2- a -1x +4=0 在区间 1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是()A. 4,5B. 3,6C. 5, 163D. 163,62.若方程x 2+ax +a =0的一根小于-2，另一根大于-2，则实数a 的取值范围是( )A. 4,+∞B. 0,4C. -∞,0D. -∞,0∪4,+∞3.已知一元二次方程x 2+ 1+a x +a +b +1=0的两个实数根为x 1,x 2，且0<x 1<1，x 2>1则 b a的取值范围是( )A. -1,- 12B. -2,- 12C. -2,- 12D. -1,- 124.已知一元二次方程x 2+ 1+a x +a +b +1=0的两个实数根为x 1,x 2，且0<x 1<1，x 2>1则 b a的取值范围是( )A. -2,- 12B. -1,- 12C. -2, 12D. -1, 125.函数f x =2x - 2x-a 的一个零点在区间 1,2内，则实数a 的取值范围是( )A. 1,3 B.1,2 C. 0,3 D. 0,26.已知x 1是函数f (x )=x +1-ln (x +2)的零点， x 2是函数g (x )=x 2-2ax +4a +4的零点，且满足x 1-x 2≤1，则实数a 的最小值是( )A.-1 B.-2 C.2-2 2 D.1-2 27.已知关于x 的方程x 2+ a +1x +a +b +1=0的两个根分别为α,β,其中α∈ 0,1, β∈ 1,+∞，则 b -1a +1的取值范围是( )A. -2,0 B. 0,2 C. -1,0 D.0,18.已知函数f (x )=x 2-4x +a +3,a ∈R 实系数一元二次方程x 2+ax -2b =0有两实根，一根在区间0,1内，另一根在区间 1,2内.若z = b a -1，则z 的取值范围为9.已知函数f (x )=2ax 2+2x -3在x ∈ -1,1上恒小于零，则实数a 的取值范围为10.设二次函数f (x )=ax 2+ 2b +1x -a -2(a ≠0)在区间 3,4上至少有一个零点，则a 2+b 2的最小值为11.若方程7x 2- m +13x -m -2=0的一个根在区间 0，1上，另一根在区间 1，2上，则实数m 的取值范围为12.若关于x 的方程2mx 2+ 3- 143m x +4=0的一个根在区间 0,1上，另一个根在区间 1,2上，则实数m 的取值范围是13.设函数f x=x2，若函数g x=f2 x+mf x+m+3有四个零点，则实数m的取值范围为m+3x+m+3=0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是14.关于x的方程x2-m+1x+m-7=0有两个负根，则m的取值范围是15.方程x2+x2-2x-a恰好有两个零点，则实数a的取值范围是16.已知函数f x=17.已知函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈-1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为6,8内，则a的取值范围为18.已知函数f x=x2-2ax+4一个零点在0,1内，另一个在0, π2内有解，则a的取值范围是19.若方程cos2x-sin x+a=0在0,2，都有f(x2)-f(x1)≤9求实数m的取值范围20.已知函数f(x)=x2-mx对任意的x1,x2∈-∞,+∞上至少有一个零点，求实数a取值范围.(1)若函数f(x)在a,a+1上的最小值为2，求a的值.(2)若函数f(x)在21.函数y=f(x)图象与函数y=a x-1(a>1)图象关于直线y=x对称(1)求f(x)解析式log a p m,log a p n，求实数p范围；(2)若f(x)在区间m,n(m>-1)上的值域为22.已知函数f(x)=x2+ax-b(a,b∈R)(1)若b=-1,且函数f(x)有零点,求实数a的取值范围；(2)当b=1-a时,解关于x的不等式f(x)≤0；1,+∞,f(x)≥0恒成立,求实数a,b的值.(3)若正数a,b满足a+ 4b≤3,且对于任意的x∈23.已知函数f(x)=x2+(m-1)x-2m．0,1上不单调，求m的取值范围；(1)若函数f(x)在区间(2)若函数f(x)有一个正的零点和一个负的零点，求m的取值范围．24.已知函数f(x)=x2-ax+b,a,b∈R-∞,-1上是单调减函数，求f(-2)的取值范围；(1)若函数f(x)的一个零点是1，且在1,2时，求函数y=f(x)的最小值g(a)；(2)若b=1，当x∈1,2时，不等式f(b+1)>0恒成立，求实数b的取值范围.(3)当a∈25.设函数.f(x)=x2+x- 140,3，求f(x)的值域；(1)若定义域为a,a+1上的单调函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在- 12, 116，求a的值.(3)若定义域为a,a+1时，f(x)的值域为26.已知函数f x=x2-4x+a+3,a∈R.-∞,+∞上至少有一个零点，求a的取值范围；(1)若函数f x在a,a+1上的最大值为3，求a的值.(2)若函数f x在。
专题14 二次函数中动点问题求取值范围(老师版)
专题14二次函数中动点问题求取值范围知识归纳学会用函数的观点去看问题和用数形结合的思想去解决问题是本专题主要研究的知识点。
本专题主要对二次函数中动点问题求取值范围题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
二次函数动点问题解法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需4102转化为一元二次1653方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；常考题型专练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：22222y x mx my x⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x-+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．2．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax 2﹣x＋1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是____．【答案】1≤a＜98或a≤−2【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax 2−x＋1（a≠0）与线段AB 有两个不同的交点，∴令12x＋12＝ax 2−x＋1，则2ax 2−3x＋1＝0，∴△＝9−8a＞0，∴a＜98，①a＜0时，此时函数的对称轴在y 轴左侧，当抛物线过点A 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，解得a＝−2，故a≤−2②当a＞0时，此时函数的对称轴在y 轴右侧，当抛物线过点B 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a −1＋1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜98综上所述：1≤a＜98或a≤−2．故答案是：1≤a＜98或a≤−2．【总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是_________.【答案】74【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax 2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴4222m n a a +=-=-，顶点为（-2,1）∴由题意可知a>0,∵线段AB 的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥12∴a 2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，将抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m 的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D 点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D 之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，联立解方程：22222y x mx m y x ⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x -+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D 之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于A、C 两点，与x 轴交于点(3,0)C ，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,1)-，连接PC +的最小值是______．【答案】4【分析】过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，求出DP PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于H．∵二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点(3,0)C ，∴b＝2，∴二次函数的解析式为223y x x =-++，令y＝0，-x 2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ⊥CB，∴90PJC ∠︒＝，∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，∵DP PJ DH +≥，∴DP PJ +≥∴DP+PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案是4．【总结】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，2PJ PC ＝是解题的关键．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x x =-．（1）写这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求抛物线24y x x =-的“不动点”的坐标．【答案】（1）抛物线开口向上，顶点坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【分析】（1）由a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，−1），即可分析出变化情况；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，即可求解；【详解】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的横坐标为4222b a --=-=，则顶点A 的纵坐标为2242y =-⨯=−4；故顶点A 的坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【总结】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．2．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤18【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；（2）∵当a<0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；（3）①当a＞0时，∵C(0，a)在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，②当a＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，综上所述：t≤18．【总结】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）278【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax 2+bx+3，求出a、b，即可求解；（2）求出直线BC 解析式；设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，表示出PE 长，得到△BCP 面积与t 函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC 的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得300k m m +⎧⎨⎩＝＝，解得13k m -⎧⎨⎩＝＝，∴直线BC 的解析是为y=-x+3，设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．【总结】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．4.已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1）228y x x =--，顶点坐标为()1,9-；（2）4p x -<<5，916p y -≤<【分析】（1）把()2,0-代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把()4,A m -，(),7B n 代入可求出m，n，求出点P 横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把()2,0-代入228y ax ax =--，得4480a a +-=，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，配方得()219y x =--，∴顶点坐标为()1,9-．（2）当4x =-时，16m =．当7y =时，2287n n --=，解得15n =，23n =-．n 为正数，∴5n =．点P 在抛物线上且在直线l 的下方（不与点A ，B 重合），∴4p x -<<5．∵1a =＞0∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9∴当41x -<≤时，y 随x 的增大而减小；当15x <<时，y 随x 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，∴916p y -≤<【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．5.已知她物线2y x bx c =++的图象开口向上，且经过点(0,3)A 、19,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M 向下平移()0t t >个单位长度时与直线BC 只有一个交点，求t 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-+（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1（3）1＜t≤7【分析】（1）把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到2(1)2y x =-+，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=12x+2，再利用平移的性质得到图象M 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上；图象M 向下平移7个单位时，点D 在直线BC 上，由于图象M 向下平移t (t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得=3{1193424c b ++=，解得=3{2c b =-，∴抛物线的解析式为223y x x =-+；【小问2详解】∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，所以C 点坐标为(2，3)，抛物线如下图，设直线BC 的解析式为y=mx +n，把B 1924()，，C(2，3)代入得，19+={2423m n m n +=，解得：1{22m n ==，∴直线BC 的解析式为y=12x+2，∵抛物线223y x x =-+，当x =4时，223y x x =-+=16-2×4+3=11，∴点D 的坐标为（4，11），∵直线y=12x+2，当x=0时，y=12x+2=2，当x=4时，y=12x+2=4，∴如下图，点E 的坐标（0，2），点F 的坐标（4，4），设点A 平移后的对应点为点A '，点D 平移后的对应点为点D ¢，当图象M 向下平移至点A '与点E 重合时，点D ¢在直线BC 上方，此时t=1，当图象M 向下平移至点D ¢与点F 重合时，点A '在直线BC 下方，此时t=11-4=7，结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1<t≤7．【总结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．6.已知抛物线y＝ax 2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；②若P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）是新抛物线上的两点，当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，求n 的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①94或6；②23n-≤≤【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x＝12，故点A的坐标为（12，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝14﹣1+3﹣m，解得m＝9 4若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝94或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，∴结合图象，得214n n ≥-⎧⎨+≤⎩，∴﹣2≤n≤3．【总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+（2）()2,2（3）13t <≤【分析】（1）把点A、B 的坐标代入212y x bx c =++得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求得b、c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得()213122y x =-+，则抛物线的对称轴为直线1x =，然后根据点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C 的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为112y x =+，再利用平移的性质得到图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上；图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上；然后根据图像G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =++得：21322c b c ì=ïí++=ïî，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2122y x x =-+；【小问2详解】解：∵()2211321222y x x x =-+=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，∴C 点坐标为()2,2；【小问3详解】解：如图，设直线BC 的解析式为y mx m =+，把31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2C 代入y mx m =+，得：3222m n m n ì+=ïíï+=î，解得：121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为112y x =+，当0x =时，1112y x =+=，∴图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上，当4x =时，1132y x =+=，∵4x =时，21262y x x =-+=，∴图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴当13t <≤时，图象G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点．【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.8.如图，抛物线y＝x 2+bx 与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b 和k 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x 2+bx 的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线有公共点，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）2<<1x -（3）21m -≤≤-或01m ≤≤【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B 的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x 2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x 2+2x，y＝x+2由222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得13x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩(舍去)故点B 的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x 2+bx 的解集为2<<1x -【小问3详解】解：如图：设直线与y 轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M 在点A 的左侧或点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x 2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M 在点D、E 之间时，将点向下平移2个单位长度得到点N，线段MN 与抛物线没有公共点故当21m -≤≤-或01m ≤≤时，线段MN 与抛物线有公共点【总结】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M 的位置是解题的关键．9．如图，二次函数y＝﹣x 2＋bx＋c 与x 轴交于点B 和点A（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，4），与一次函数y ＝x＋a 交于点A 和点D．（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c 的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据∆∆∆=+AED AEH HED S S S ，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，根据角平分线的性质可得：FM FN =，即有11d FE FM FE FN =+-=+-，可知当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴410=⎧⎨--+=⎩c b c 解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =-++，∵点A（－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =-+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，将1y x =+与2y 34x x =-++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT ∆∆∆=+=⨯+⨯()12EH AG DT =+()2134132m m m =-++--⨯()23162m =--+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为6，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615d =-=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【总结】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．。
二次函数的取值范围
二次函数的取值范围二次函数是一种常见的数学函数，其图像呈现出一条抛物线的形状。
在数学中，我们经常会遇到需要确定二次函数的取值范围的问题。
本文将从不同角度探讨二次函数的取值范围，并提供一些相关的例子和应用。
一、二次函数的定义和图像特点二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。
它的图像是一条抛物线，开口的方向由a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
二次函数的取值范围取决于抛物线的开口方向和顶点的纵坐标。
1. 抛物线开口向上的情况当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上。
此时，抛物线的顶点是最小值点，也是函数的最小值。
因此，二次函数的取值范围是大于等于最小值的值。
例如，考虑函数y=x^2+2x+1。
我们可以通过求导数或利用二次函数的顶点公式来确定最小值点。
通过计算，我们可以得到顶点坐标为(-1, 0)。
因此，该二次函数的取值范围是大于等于0的所有实数。
2. 抛物线开口向下的情况当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下。
此时，抛物线的顶点是最大值点，也是函数的最大值。
因此，二次函数的取值范围是小于等于最大值的值。
例如，考虑函数y=-x^2+3x+2。
我们可以通过求导数或利用二次函数的顶点公式来确定最大值点。
通过计算，我们可以得到顶点坐标为(3/2, 13/4)。
因此，该二次函数的取值范围是小于等于13/4的所有实数。
三、实际应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的二次函数应用问题。
1. 抛物线的最大高度假设一个抛物线表示一个物体的运动轨迹，我们想要知道这个物体的最大高度。
根据抛物线的形状，我们可以通过求解二次函数的最大值来确定最大高度的取值范围。
2. 抛物线的最大距离类似地，我们还可以利用二次函数的最大值来确定抛物线的最大距离。
通过求解二次函数的最大值点的横坐标，我们可以确定物体的最大距离。
3. 抛物线的焦点焦点是指平面上到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的直线的距离相等的点。
利用二次函数图象求参数范围
利用二次函数图象求参数范围
说到二次函数，大家应该都不会陌生。
二次函数是一种可以完成位置和半径的函数，可以用图形描述，这也是老师们在考试中经常出现的题目。
这篇文章介绍了如何利用二次函数
的图象，求取参数的范围。
二次函数的图像可以形象地表示出一条弧线。
根据这条弧线，我们可以得到参数的上下界。
参数的上界指的是，我们输入一定的参数值，这个参数允许处于图象内某个位置之上。
参
数的下界则是实现图象内某一点之下的参数。
因此，当我们要计算参数上下界时，首先要对二次函数图象做分析。
首先要找出函数图象
的中心点，这个中心点@既定义了函数的0点，也可以确定参数的上界和下界值。
从这个
中心点开始，向函数图象的两端移动，然后计算出最近的位置，这就是参数的上界下界值。
此外，二次函数图象还可以用来计算参数的范围。
通过对不同位置的图象进行比较，我们
可以确定参数位置的变化范围，从而确定参数的范围。
总之，通过利用二次函数的图象，我们可以计算出参数的上界、下界以及范围。
要做到这一点，最重要的是要把握住函数图象的中心位置，同时要定义合适的参数位置，以便计算
出参数的范围。
专题二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01 二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）． 【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c ，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c ，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩ ，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩. 【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）． (3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值． 【答案】(1)()234f x x x =--；(2)332m ≤≤；(3)4t =-或5t =． 【分析】（1）利用换元法即得；（2）由题可得()232524f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可得函数的最小值()254f x =-，结合条件进而即得； （3）分类讨论结合二次函数的性质即得.（1）∵()226f x x x -=--，令2u x =-，则2x u =-，∵()()()222226442634f u u u u u u u u =----=-+-+-=--，所以()234f x x x =--； （2）∵()2299325344424f x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭， ∵当32x =时，32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当()4f x =-时，2434x x -=--，解得：0x =或3x =，∵()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， ∵332m ≤≤；（3）∵()234f x x x =--，对称轴为32x =， 当322t +<时，则21t <-，函数在[],2t t +上单调递减， 当2x t =+时，函数的最小值()()()2223246f t t t +=+-+-=，解得4t =-或3t =（舍）；当322t t ≤≤+时，则1322t -≤≤， 则此时，当32x =时，函数的最小值()2564f x =-≠，不符合题意； 当32t >时，函数在[],2t t +上单调递增， 当x t =时，()2346f t t t =--=，解得：2t =-或5t =，∵32t >， ∵2t =-（舍），故5t =；综上：4t =-或5t =．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【答案】(1)23a b =-⎧⎨=-⎩，()224f x x x =--+ (2)()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩【分析】（1）根据不动点可列方程求解,a b ，（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.（1）依题意得()()2211f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即()42242241a b a b ⎧-++=-⎨+++=⎩ ， 解得23a b =-⎧⎨=-⎩. ()224f x x x ∴=--+.（2）∵当区间[],1t t +在对称轴14x =-左侧时，即114t +≤-，也即54t ≤-时，()f x 在[],1t t +单调递增，则最大值为()21251f t t t +=--+；∵当对称轴14x =-在[],1t t +内时，即114t t <-<+也即5144t -<<-时，()f x 的最大值为13348f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵当[],1t t +在14x =-右侧时，即14t ≥-时，()f x 在[],1t t +单调递减，则最大值为()224f t t t =--+. 所以()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩. 【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t +时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．(1)解：因为不等式()0f x >的解集是()1,5，所以()0f x =的两根为1和5，且函数开口向下，故可设()()()15f x a x x =--()0a <，所以函数的对称轴为1532x +==，所以当[]1,4x ∈-时，()()min 11212f x f a =-==-，解得1a =-，故()()()15f x x x =---，即()265f x x x =-+-(2)解：因为()()226534f x x x x =-+-=--+，当13t +≤时，即2t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增，所以 ()()214g t f t t t =+=-+，当31t t <<+时，即23t <<时，()f x 在[],3t 上单调递增，在(]3,1t +上单调递减，所以()()34g t f ==；当3t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以()()265g t f t t t ==-+-；综合以上得()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)2m ≤-；(2)()225-∞+，；(3)存在，6m =. 【分析】（1）根据对称轴和区间端点的相对位置即可求得m 的取值范围.（2）分类讨论当1x >时函数的最大值小于4恒成立即可求得m 的取值范围.（3）分类讨论得函数的值域结合已知条件求得m 的值.【详解】（1）函数()f x 图象开口向下且对称轴是2m x =，要使()f x 在[1,0]-上单调递减，应满足12-≤m ，解得2-≤m .（2）函数()f x 图象的对称轴是2m x =. 当12m ≤时，()4f x <恒成立，故()114f =-<，所以2m ≤； 当12m >时，()4f x <恒成立，故22244160242m m m f m m m ⎛⎫=-+-<⇒--< ⎪⎝⎭； 所以2225m <<+综上所述：m 的取值范围()225-∞+， （3）当22≤m ，即4≤m 时，()f x 在[2,3]上递减， 若存在实数m ，使()f x 在[2,3]上的值域是[2,3]，则(2)3,(3)2,f f =⎧⎨=⎩即423,932,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩，此时m 无解. 当32≥m ，即6≥m 时，()f x 在[2,3]上递增，则(2)2,(3)3,f f =⎧⎨=⎩即422,933,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩解得6m =. 当232m <<，即46m <<时，()f x 在[2,3]上先递增，再递减，所以()f x 在2m x =处取得最大值，则23222m m m f m m ⎛⎫⎛⎫=-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =-或6，舍去. 综上可得，存在实数6m =，使得()f x 在[2,3]上的值域恰好是[2,3].【例2】已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,3，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{}13x x ≤≤.(1)求()f x 的解析式：(2)若()()()24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.【答案】(1)()243f x x x =-+；(2)1±【分析】（1）根据题意得()30f c ==，又由一元二次不等式的解可知，1和3是方程230ax bx ++=的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式；（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t ≤−1、−1＜t ＜2、t ≥2三种情况下求符合条件的t 值即可．（1）由题意可得：()30f c ==∵不等式230ax bx ++≤的解集为{}13x x ≤≤，则230ax bx ++=的两根为1,3，且0a >∵=43=3b a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=1=4a b -⎧⎨⎩故()243f x x x =-+（2）由（1）可得()()()22423g x f x t x x tx =--=-+的对称轴为=x t当1t ≤-时，则()g x 在[]1,2-上单调递增∵()()1242g x g t ≥-=+=，则1t =-当12t -<<时，则()g x 在[]1,t -上单调递减，在(],2t 上单调递增∵()()232g x g t t ≥=-=，则=1t 或1t =-（舍去）当2t ≥时，则()g x 在[]1,2-上单调递减∵()()2742g x g t ≥=-=，则54t =（舍去）综上所述：实数t 的值为1±.【例3】已知函数2()f x x ax b =++．(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；(3)若1b =时，求[0,3]x ∈时()f x 的最小值()g a ． 【答案】(1)[2,)-+∞；(2)2a =-，0b =；(3)21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【分析】（1）根据函数()f x 的对称轴为2a x =-，且在(1,)+∞上是增函数，可得12a -≤，由此求得a 的范围； （2）由题意得0，2是方程的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，求出,ab 的值； （3）根据()f x 的对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得()g a ．（1）∵函数2()f x x ax b =++的对称轴为2a x =-，且()f x 在(1,)+∞上是增函数， ∵12a -≤，解得2a ≥-， ∵实数a 的取值范围是[2,)-+∞．（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，则0，2是方程20x ax b ++=的两个实数根，∵0202a b +=-⎧⎨⨯=⎩，∵20a b =-⎧⎨=⎩． （3）若1b =，则2()1=++f x x ax ，对称轴为2a x =-， 当02a -≤，即0a ≥时，函数()f x 在到[0,3]单调递增， 则()()min 01f x f ==，当032a <-<，即60a -<<时， 函数()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增， 则()222min112424a a a a f x f ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭， 当32a -≥，即6a ≤-时，函数()f x 在[0,3]单调递减， 则()()min 3103f x f a ==+，综上，21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩． 【例4】已知函数()223f x x bx =-+，Rb ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；(3)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【答案】(1)2b =；(2){}13x x <<；(3)当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【分析】（1）由题可得()43f =，进而即得；（2）利用二次不等式的解法即得；（3）对()f x 的对称轴与区间[]1,2-的关系进行分情况讨论，判断()f x 的单调性，利用单调性解出b ，再求出最大值．（1）由题可得()244833f b =-+=，∵2b =；（2）由()2430f x x x =-+<，解得13x <<，所以不等式()0f x <的解集为{}13x x <<；（3）因为2()23f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，∵若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上是增函数，∵min ()(1)421f x f b =-=+=，解得32b =-， ∵max ()(2)7413f x f b ==-=；∵若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上是减函数，∵min ()(2)741f x f b ==-=，解得32b =（舍）； ∵若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上是减函数，在(],2b 上是增函数；∵2min ()()31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）．∵max ()(1)42422f x f b =-=+=+；综上，当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【例5】在∵[]2,2x ∀∈-，∵[]1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间[]22-,上的值域； (2)若______，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】(1)[]3,12(2)答案见解析【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，（2）若选条件∵，求出抛物线的对称轴，分22a -≤-，222a -<-<和22a -≥三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a 的取值范围，若选条件∵，则()max 0f x ≥，由抛物线的性质可得()10f ≥或()30f ≥，从而可求出a 的取值范围.（1）当2a =-时，()()222413f x x x x =-+=-+，∵()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增，∵()()min 13f x f ==，()()max 212f x f =-=，∵函数()f x 在区间[]22-,上的值域为[]3,12． （2）方案一：选条件∵．由题意，得()22424a a f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭． 若22a -≤-，即4a ≥，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递增， ∵()()min 2820f x f a =-=-≥，解得4a ≤，又4a ≥，∵a ＝4．若222a -<-<，即44a -<<，则函数()f x 在区间2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∵()2min 4024a a f x f ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭， 解得44a -≤≤，∵44a -<<．若22a -≥，即4a ≤-，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递减， ∵()()min 2820f x f a ==+≥，解得4a ≥-，又4a ≤-，∵a ＝－4．综上所述，实数a 的取值范围为[]4,4-． 方案二：选条件∵． ∵[]1,3x ∃∈，()0f x ≥， ∵()max 0f x ≥，∵函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得． ∵()10f ≥或()30f ≥，解得5a ≥-或133a ≥-， ∵5a ≥-．故实数a 的取值范围为[)5,-+∞． 【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立． (1)求二次函数()f x 的解析式；(2)若函数()()42g x f x x x λ=++-的最小值为5，求实数λ的值． 【答案】(1)()2111424f x x x =-+，(2)174λ=± 【分析】（1）根据()()2f x f x +=-得到420a b +=，根据()0f x x +≥恒成立得到a c =，结合()11f a b c -=-+=，求出11,42a b ==-，14c =，求出二次函数解析式；（2）结合第一问，将()()42g x f x x x λ=++-写出分段函数，分12λ<-，1122λ-≤≤与12λ>三种情况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程，求出实数λ的值. 【详解】（1）由题意得：()11f a b c -=-+=，且0a ≠，()()210f x x ax b x c +=+++≥恒成立，故()2Δ140a b ac >⎧⎪⎨=+-≤⎪⎩， 将1b a c +=+代入()2140b ac +-≤中，()20a c -≤， 故a c =，从而21a b c a b -+=-=，由()()2f x f x +=-得：()()()22222f x a x b x c ax bx c +=++++=-+，整理得()42420a b x a b +++=，故420a b +=， 联立21a b -=与420a b +=，解得：11,42a b ==-，故14c a ==， 二次函数解析式为()2111424f x x x =-+； （2）函数()()2421g x f x x x x x λλ=++-=++-的最小值为5，()2222131,24131,24x x x x g x x x x x λλλλλλ⎧⎛⎫+-+=+-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩， 且()21g λλ=+，即在端点处分段函数的函数值相等，当12λ<-时，()g x 在12x <-上单调递减，在21x ≥-上单调递增，故()g x 在12x =-处取得最小值，即354λ-+=，解得：17142λ=-<-，符合要求；当1122λ-≤≤时，()g x 在x λ<上单调递减，在x λ≥上单调递增， 故()g x 在x λ=处取得最小值，即215λ+=，解得：2λ=±，不合题意，舍去； 当12λ>时，()g x 在12x <上单调递减，在12x ≥上单调递增，故()g x 在12x =处取得最小值，即354λ+=，解得：17142λ=>，符合要求；综上：174λ=±. 【例2】已知函数()R a a x x x f ∈-+=,22． (1)若()x f 为偶函数，求a 的值；(2)若函数()()2+=x af x g 的最小值为8，求a 的值． 【答案】(1)0，(2)2【分析】（1）利用偶函数的定义，列出关系式，即可求出a 的值； （2）化简函数为分段函数，通过讨论a 的范围，列出关系式求解即可．【详解】（1）因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 故x 2＋2|－x －a |＝x 2＋2|x －a |，所以|x ＋a |＝|x －a |，即x 2＋2ax ＋a 2＝x 2－2ax ＋a 2，化简得4ax ＝0， 因为x ∵R ，所以a ＝0．（2）22222(1)22,()()222(1)22,a x a a x ag x af x ax a x a a x a a x a ⎧+--+=+=+-+=⎨-+-+<⎩∵若a ＝0，则g (x )＝2，不合题意； ∵若a ＜0，则g (x )无最小值，不合题意； ∵若0＜a ≤1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )； 当x ＜a 时，g (x )在(－∞，a )上单调递减，g (x )＞g (a )．所以，g (x )的最小值为g (a )＝a 3＋2＝8，所以a ＝36＞1，舍去； ∵若a ＞1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )；当x ＜a 时，g (x )在(－∞，1]上单调递减，在(1，a )内单调递增，所以g (x )≥g (1)， 因为g (1)＜g (a )，所以g (x )的最小值为g (1)＝2a 2－a ＋2＝8，所以a ＝32-(舍去)或a ＝2，综上所述，a ＝2．【例3】已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间； (2)若函数()f x 在[1,4]上的最小值是3-，求a 的值 【答案】(1)单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)3或4【分析】（1）当2a =时，求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；（2）分1a <，12a ≤<，24a ≤<，48a ≤<和8a ≥五种情况进行讨论，结合函数的图象得到对应的最小值，即可得到答案 （1）当2a =时，()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩, 所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩, 当2x <时，231y x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =， 所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当2x ≥时，21y x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =， 所以()g x 在[2,)+∞上单调递减，综上可知，()g x 的单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；（2）当1a <时，()224()124a a f x x x a x +⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭，因为122a <，所以()min ()44153f x f a ==-=-，解得3a =，故舍去； 当12a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为1122a≤<，所以()f x 在[]1a ，递增，在[],4a 递减， 所以()f x 的最小值在()1f 或()4f 中取，且()22411224a a f a -⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2244441524a a f a +⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，若()f x 的最小值为()123f a =-=-，解得5a =，故舍去； 若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =，故舍去；当24a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为122a ≤<，所以()f x 在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在[],4a 递减， 所以()f x 的最小值在2a f ⎛⎫⎪⎝⎭或()4f 中取，若()f x 的最小值为24324a af -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得4a =±，故舍去； 若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =， 检验：353224a f f ⎛⎫⎛⎫==->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故满足；当48a ≤<时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为242a ≤<，所以2min 4()324a af x f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，因为48a ≤<，解得4a =； 当8a ≥时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为42a≥，所以()min ()41743f x f a ==-=-，解得5a =，故舍去； 综上所述，a 的值为3或4【点睛】关键点睛：这道题的关键在于比较对称轴2a和a 与区间[]1,4的关系，分成了5种情况，数形结合，利用二次函数的图象与性质得到对应的最小值 【例4】已知函数() 2.f x x x a =-+ (1)当2a =时，求()f x 的单调增区间；(2)若12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞ (2)(,1)(22,)-∞⋃+∞【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()f x 的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围． （1）当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧-+=-+=⎨-++<⎩，2≥x 时，()f x 单调递增，2x <时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞， （2）12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->所以()()12max 2f x f x ->， 即()()max min 2f x f x ->，∵当2≤a 时，()22f x x ax =-++，对称轴2a x =， (i)当221≤≤a 即42≤≤a 时，()2max224a a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ()()min 02f x f ==，所以()20224a a f f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以22a >或22a <-， 因为42≤≤a ，所以224a < ， (ii)当22a>即4a >时，()()max 222f x f a ==-， ()()min 02f x f ==，所以()()20242f f a -=->，3a >，因为4a >，所以4a >，∵当0a 时，()22f x x ax =-+，对称轴02ax =<， 所以()()max 262f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20422f f a -=->，1a <，所以0a ，∵当02a <<时，()222,02,2x ax x af x x ax a x ⎧-++<<=⎨-+<<⎩，因为()()()min 022f x f f ===，因为()220124a a f f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭， 所以2a f ⎛⎫⎪⎝⎭不可能是函数的最大值，所以()()max 262f x f a ==-， 所以()()20422f f a -=->， 所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(,1)(22,)-∞⋃+∞ .【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，转化为()()max min 2f x f x ->，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力【例5】已知函数()f x x m =-.(1)若函数()f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若函数()()2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【答案】(1)(],1-∞ (2)2m =-或231m =-【分析】（1）化为分段函数，结合单调性得到实数m 的取值范围；（2）化为分段函数，对m 分类讨论，结合最小值为7，求出实数m 的值，注意舍去不合要求的值. (1)(),,x m x m f x x m m x x m -≥⎧=-=⎨-<⎩，即()f x 在()m -∞，上单调递减，在[),m +∞上单调递增，若函数()f x 在[]1,2上单调递增，则1m ，所以实数m 的取值范围是(],1-∞；(2)()()222222,,x mx m x mg x xf x m x x m m x mx m x m ⎧-+≥=+=-+=⎨-++<⎩, ∵当1m 时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-或3（舍去）；∵当12m <≤时，()()2min 7g x g m m ===，解得：7m =±（舍去）；∵当23m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近1，所以()()2min 2247g x g m m ==+-=，解得：231m =-或231--（舍去）；∵当34m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近2，所以()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；∵当4m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；综上：2m =-或231m =-.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12a =-，1b =(2)存在，2,0m n =-=【分析】（1）由()20f =、()210ax b x +-=有两个相等的实数根可得答案；（2）假设存在符合条件的m ，n ．21122f x x x ，得14n ≤，由一元二次函数图象的特征结合定义域和值域可得答案. （1）由()2f x ax bx =+，()20f =，得420a b +=，又方程()f x x =，即()210ax b x +-=有两个相等的实数根，所以()2140--=b a ，解得1b =，12a =-；（2）假设存在符合条件的,m n ， 由（1）知22111112222f xx x x ，则有122n ≤，即14n ≤，由一元二次函数图象的特征，得14()2()2m n f m m f n n ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即2214122122m n m m m n n n⎧<≤⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，解得20m n =-⎧⎨=⎩，所以存在2m =-，0n =，使得函数()f x 在[]2,0-上的值域为[]4,0-． 【例2】已知函数()11,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩. (1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值； (2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2； (2)104m <<.【分析】（1）根据函数()f x 的单调性可知，()()f a f b =可等价于1111a b -=-，即可解得11a b+的值； （2）根据函数()y f x =在[,]a b 上的单调性，即可确定()y f x =在[,]a b 上的值域，从而根据根的分布建立方程组，即可解出m 的取值范围． (1)由题意得()y f x =在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 由0a b <<，且0a b <<，可得01a b <<<且1111a b-=-因此112a b+=.(2)当[),1,a b ∞∈+时，则()y f x =在[)1,+∞上为增函数 故1111ma amb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 即a b ､是方程210mx x -+=的两个根即关于x 的方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实数根. 设()21g x mx x =-+，则()Δ0101120g m m >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩ 解得104m <<. 【例3】已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠． (1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；(2)设0m n <<且0a >时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值． 【答案】(1)()f x 在[],m n 上单调递增，理由见解析 (2)433【分析】（1）由定义法直接证明可得； （2）由题知,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根，然后整理成一元二次方程，由判别式和韦达定理列不等式组求解可得a 的范围，再用韦达定理表示出所求，然后可解. (1)设120<m x x n ≤<≤，则()()1212222121211x x f x f x a x a x a x x --=-+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；(2)由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，则,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根， 即()222210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，则222222Δ2402010a a a a a m n a mn a ⎧=+->⎪⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩（），解得12a >，222222241216()4333a a n m n m mn a aa ⎛⎫+⎛⎫∴-=+-=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1,2a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，32a ∴=时，n m -最大值为433；【例4】已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 的图像经过原点O ，满足对任意实数x 都有(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2()2f x x x =-+ (2)存在，0,1m n ==【分析】（1）由题意列方程求解,,a b c（2）根据定义域与对称轴关系，讨论()f x 值域后求解 (1)()f x 经过原点，故0c，()2f x x =，即2(2)0ax b x +-=有两个相等的实数根，由Δ0=知2b =，(3)(1)f x f x -=-，故()f x 的对称轴为1x =，即12ba-=，1a =-， 函数()f x 的解析式为2()2f x x x =-+．(2)2()(1)11f x x =--+≤，故11n -≤≤，故()f x 在[,]m n 上单调递增，由题意得222222m m m n n n ⎧-+=⎨-+=⎩又m n <，解得01m n =⎧⎨=⎩ 存在0,1m n ==满足题意【例5】已知函数()f x =x 2－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；(2)若函数f (x )的保值区间为[m ，n ]()m n <，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围． 【答案】(1)[1,)-+∞和[3,)+∞ (2)591,2,44⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）根据对称轴为标准分类讨论，使其满足定义即可求解；（2）以对称轴为界分类讨论，依据单调性建立等式，再将问题转化为二次函数或一元二次方程问题求解. (1)当0b =时，2()2f x x x =-，其对称轴为1x =.当1t ≤时，()[1,)f x ∈-+∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则1t =-，区间为[1,)-+∞； 当1t >时，2()[2,)f x t t ∈-+∞，定义域为[,)t +∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则22t t t -=，解得3t =或0=t （舍），因此，此时区间为[3,)+∞.综上可知，函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间为[1,)-+∞和[3,)+∞； (2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调， 当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时()()f m m f n n =⎧⎨=⎩即222,2,m m b m n n b n ⎧-+=⎨-+=⎩等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有Δ940,(1)20,31,2b g b ⎧⎪=->⎪=-+≥⎨⎪⎪>⎩解得924b ≤<；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时()()f m n f n m =⎧⎨=⎩即2222m m b n n n b m ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0，即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ，由m <n 可得112n <≤， 将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在1(,1]2上有解，即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在1(,1]2上的值域问题，因为22151()24b n n n =-++=--+在1(,1]2上单调递减，所以b 5[1,)4∈．综上所述，b 的取值范围是59[1,)[2,)44⋃．【例6】已知函数()221x f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)(,1)-∞ (2)2- (3)(0,1)【分析】（1）化简函数得21()1(0)f x x x=-≠，由20x >，可求出2111x -<，从而可求得函数的值域， （2）等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，转化为2k x x ≤-+在[]1,2x ∈时恒成立，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，可得()h x 在[]1,2上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k 的最大值，（3）由题意得min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得,m n 是方程2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，则有Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，从而可求出实数t 的取值范围 （1）由题意得21()1(0)f x x x =-≠， 因为20x >，所以210x >，则2111x -<， 所以函数()f x 的值域为(,1)-∞ （2）因为[]1,2x ∈，所以不等式可化为2311kx x x ≤-+-， 所以2k x x ≤-+，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，则()h x 在[]1,2上单调递减，所以min ()(2)422h x h ==-+=-，所以2k ≤-， 所以实数k 的取值范围为(,2]-∞-， 所以实数k 的最大值为2- （3）由题意得2()1tg x t x =-++， 因为0t >，所以()g x 在11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()221123,1123t m m t n n -+=--+=-，所以,m n 是方程()21123t x x -+=-，即2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，其图象开口向上，对称轴为直线32x t=，且有两个不相等的正零点， 所以Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，即01t R t t ∈⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得01t <<所以实数t 的取值范围为(0,1)【例7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，当0x >时，()22f x x x =-，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不存在，说明理由．【答案】(1)()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，； (2)[)3,∞+； (3)存在，151,2a b +==.【分析】（1）根据函数是奇函数以及大于零时()f x 的解析式，即可容易求得结果； （2）根据（1）中所求，结合()f x 的单调性，列出不等关系，即可求得参数范围； （3）根据()h x 的单调性，结合,a b 是方程32210x x -+=的两个正根，求解即可. (1)由题意，任取0x <，则0x ->，故有()22f x x x -=--，因为()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，即函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，0x ∴<时，()()22f x f x x x =--=+，又0x =时，()()000f f +=，即()00f =，所以()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，． (2)当[)1,x ∞∈+时，()()2(1)1g x f x x ==--+，在[)1,+∞单调递减，又当(),1x ∞∈-时，()223g x x mx m =-+-，且()g x 在R 上单调递减，所以121231m m m ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩，解得3m ≥， 即m 的取值范围为[)3,∞+. (3)当0x >时，()2(1)11f x x =--+≤，若存在这样的正数a ,b ，则当[]()max 1,[]1x a b f x a∈=≤时，，故1a ≥， ()f x ∴在[],a b 内单调递减，()()221212f b b b bf a a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，所以,a b 是方程32210x x -+=的两个正根， ()()32221110x x x x x -+=---=， 12151,2x x +∴==， 故存在正数1512a b +==，满足题意. 【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立． 【答案】(1)2 (2)证明见解析【分析】（1）由题意，可得Δ0=，从而即可求解；（2）利用对勾函数单调性求出()f x 在[1,2]上的值域，再分三种情况讨论二次函数()g x 在闭区间[]1,3-上的值域，然后证明()f x 的值域是()g x 值域的子集恒成立即可得证. （1）解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．（2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.【例2】函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x . (1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：∵()11+-g x 是奇函数；∵当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1,1-- (2)[]2,4-【分析】（1）设()f x 的对称中心为(),a b ，根据对称性得到关于,a b 的方程，解得即可得解；（2）易求得()f x 的值域为[]2,4-，设函数()g x 的值域为集合A ，则问题可转化为[]2,4A ⊆-，分0m ≤，2m ≥和02m <<三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】（1）解：()()()2211666111x x x x f x x x x x +-+-+-===-+++， 设()f x 的对称中心为(),a b ，由题意，得函数()y f x a b =+-为奇函数， 则()()f x a b f x a b -+-=-++， 即()()20f x a f x a b ++-+-=， 即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()221610a b x a b a a ⎡⎤---+-+=⎣⎦， 所以()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1,1a b =-=-， 所以函数()f x 的对称中心为()1,1--；（2）解：因为对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =， 所以函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集， 因为函数6,1y x y x ==-+在[]1,5上都是增函数， 所以函数()61f x x x =-+在[]1,5上是增函数， 所以()f x 的值域为[]2,4-， 设函数()g x 的值域为集合A ， 则原问题转化为[]2,4A ⊆-，因为函数()11+-g x 是奇函数，所以函数()g x 关于()1,1对称， 又因为()11g =，所以函数()g x 恒过点()1,1， 当02m≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1上递增，则函数()g x 在(]1,2上也是增函数， 所以函数()g x 在[]0,2上递增， 又()()()0,2202g m g g m ==-=-，所以()g x 的值域为[],2m m -，即[],2A m m =-， 又[][],22,4A m m =-⊆-， 所以2240m m m ≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，解得20m -≤≤，当12m≥即2m ≥时，()g x 在[]0,1上递减，则函数()g x 在(]1,2上也是减函数， 所以函数()g x 在[]0,2上递减， 则[]2,A m m =-， 又[][]2,2,4A m m =-⊆-， 所以2224m m m ≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得24m ≤≤，当012m<<即02m <<时， ()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上递增， 又因函数()g x 过对称中心()1,1，所以函数()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，故此时()()min min 2,2m g x g g ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()()max max 0,22m g x g g ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，要使[]2,4A ⊆-，只需要()()()222202222404222422402g g m m m g m g m m m m g g m m ⎧=-=-≥-⎪⎛⎫⎪=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎪=≤⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪<<⎩，解得02m <<，综上所述实数m 的取值范围为[]2,4-.【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集，有一定的难度. 【例3】已知函数2()3,()221()f x x g x x ax a a =-+=-+-∈R ． (1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；(2)若对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二次函数的图像与性质，得到Δ0=，求解即可.（2）将问题转化为()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，然后利用二次函数的性质以及一次函数的性质，求解两个函数的最值，求解不等式组，即可得出答案. （1）∵函数2()221g x x ax a =-+-的值域为[0,)+∞，∵2(2)4(21)0a a ∆=--=， 解得1a =； （2）由题意可知()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩对于函数()3f x x =-+在[2,2]-上是减函数，∵min max ()(2)1,()(2)5f x f f x f ===-=， 函数2()221g x xax a =-+-图象开口向上，对称轴为直线x a =．∵当2a ≤-时，函数()g x 在[2,2]-上为增函数，min max?()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+，∵163,523,a a ≥+⎧⎨≤-+⎩此时2a ≤-； ∵当20a -<≤时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)23g x g a a a g x g a ==-+-==-+，∵2121,523,a a a ⎧≥-+-⎨≤-+⎩此时21a -<≤-；∵当02a <<时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)63g x g a a a g x g a ==-+-=-=+， ∵2121,563,a a a ⎧≥-+-⎨≤+⎩此时123a ≤<； ∵当2a ≥时，函数()g x 在[2,2]-上是减函数，∵max min ()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+， ∵123,563,a a ≥-+⎧⎨≤+⎩此时2a ≥； 综上所述，实数a 的取值范围是1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．。
九年级数学二次函数取值范围20专题训练
九年级数学二次函数取值范围20专题训练九年级数学二次函数取值范围20专题训练一、单选题二、填空题1．已知抛物线y=2(x-1)+1，当1<x<3时，y的取值范围是______________2．函数y=(2/3)(x+2)的开口向上，那么m的取值范围是．3．如果抛物线y=x^2+mx有最大值，则m的取值范围是________．4．已知二次函数y=(m+1)x^2，则m的取值范围是________．5．如果抛物线y=(2+k)x-k的开口向下，那么k的取值范围是__________．6．已知二次函数y=x^2-4x+2，在-1≤x≤3的取值范围内，y的取值范围为_______．7．函数y=x^2-4x+3，当y<0时，x的取值范围________．8．已知y=-(2/4)x^2-3x+4（-10≤x≤2），则函数y的取值范围是______．9．已知抛物线y=(a+3)x^2开口向下，那么a的取值范围是____________．10．若抛物线y=(a-3)x^2开口向上，则a的取值范围是__________．11．设二次函数y=x^2+ax+b图像与x轴有2个交点，A(x1,0)，B(x2,0)；且x1<x2<2,那么5a+2b的取值范围是_____________；a^2-2b的取值范围是______________．12．已知y=-(1/2)x^2-3x+4（-10≤x≤0），则函数y的取值范围是_____.13．若抛物线y=ax^2经过点(2,y1)，(3,y2)，且y1>y2>-8，则a的取值范围为________．14．当-3≤x≤0时，-x^2+2mx-2m+2≤0，则m的取值范围是_______．15．抛物线y=a(x-6)+k经过点(0,2)，当x=9时y>2.43，当x=18时y<2，则k的取值范围是__________.试卷第1页，总2页16．在函数y=(x-2)/(x^2+2)中自变量X的取值范围是_____________.17．已知点（m，n）在直线y=x-2上，且k=m^2+n^2，则k的取值范围为________．18．点A(x1,y1)和B(x2,y2)在抛物线y=x^2+2mx+2上。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。
中考专题复习 二次函数求有关参数取值范围 教案
课程主题二次函数求有关参数取值范围学习目标1．深入理解二次函数的性质，掌握数型结合的解题思想。
教学内容1．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3 ﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．【分析】（1）把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．【解答】解：（1）把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．【例题精讲】例1：（2016•三明）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得y P的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；（2）当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．例2：（2016•厦门）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y=﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q=25，在平移过程中，若抛物线y=﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．【分析】（1）根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式；（2）根据题意列方程组求出p、q、m、n的值，计算抛物线与直线最上和最下满足条件的解析式，并计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可．【解答】解：（1）∵直线y=﹣4x+m过点B（3，9），∴9=﹣4×3+m，解得：m=21，∴直线的解析式为y=﹣4x+21，∵点A（5，n）在直线y=﹣4x+21上，∴n=﹣4×5+21=1，∴点A（5，1），将点A（5，1）、B（3，9）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+6；（2）由抛物线y=﹣x2+px+q与直线y=﹣4x+m相交于A（5，n）点，得：﹣25+5p+q=n①，﹣20+m=n②，y=﹣x2+px+q过（1，2）得：﹣1+p+q=2③，则有解得：∴平移后的抛物线为y=﹣x2+6x﹣3，一次函数的解析式为：y=﹣4x+22，A（5，2），∵当抛物线在平移的过程中，a不变，∵抛物线与直线有两个交点，如图所示，抛物线与直线一定交于点A，所以当抛物线过点C以及抛物线在点A处与直线相切时，只有一个交点介于点A、C之间，①当抛物线y=﹣x2+bx+c过A（5，2）、C（0，22）时，得c=22，b=1，抛物线解析式为：y=﹣x2+x+22，顶点（，）；②当抛物线y=﹣x2+bx+c在点A处与直线相切时，，﹣x2+bx+c=﹣4x+22，﹣x2+（b+4）x﹣22+c=0，△=（b+4）2﹣4×（﹣1）×（﹣22+c）=0①，∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（5，2），﹣25+5b+c=2，c=﹣5b+27，把c=﹣5b+27代入①式得：b2﹣12b+36=0，b1=b2=6，则c=﹣5×6+27=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+6x﹣3，y=﹣（x﹣3）2+6，顶点坐标为（3，6），﹣6=；则0＜S＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和图形变换，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线平移后的形状不变，故a不变；平移的距离要看二次函数的顶点坐标，所以求抛物线平移的距离时，只考虑平移后的顶点坐标即可．例3：（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．【解答】解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2﹣2x，令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m=，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=，∴m的取值范围为＜m≤．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．课堂巩固1.（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．课后作业1．（2016•河北）如图，抛物线L：y=﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=12，（1）求k值；（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．【分析】（1）设点P（x，y），只要求出xy即可解决问题．（2）先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题．（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L于MP的交点就是最高点．（4）画出图形求出C、D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【解答】解：（1）设点P（x，y），则MP=y，由OA的中点为M可知OA=2x，代入OA•MP=12，得到2x•y=12，即xy=6．∴k=xy=6．（2）当t=1时，令y=0，0=﹣（x﹣1）（x+3），解得x=1或﹣3，∵点B在点A左边，∴B（﹣3，0），A（1，0）．∴AB=4，∵L是对称轴x=﹣1，且M为（，0），∴MP与L对称轴的距离为．（3）∵A（t，0），B（t﹣4，0），∴L的对称轴为x=t﹣2，又∵MP为x=，当t﹣2≤，即t≤4时，顶点（t﹣2，2）就是G的最高点．当t＞4时，L与MP的解得（，﹣t2+t）就是G的最高点．（4）结论：5或78+．理由：对双曲线，当4≤x0≤6时，1≤y0≤，即L与双曲线在C（4，），D（6，1）之间的一段有个交点．①由=﹣（4﹣t）（4﹣t+4）解得t=5或7．②由1=﹣（6﹣t）（6﹣t+4）解得t=8+和8﹣．随t的逐渐增加，L的位置随着A（t，0）向右平移，如图所示，当t=5时，L右侧过过点C．当t=8﹣＜7时，L右侧过点D，即5≤t．当8﹣＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍弃．当t=7时，L左侧过点C．当t=8+时，L左侧过点D，即7≤t≤8+．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型．2．（2017•济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC=DH=6，∵tan∠DAH==2，∴AH=3，∵OA=4，∴CD=OH=1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，解得，∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CPA=90°，∴PC2+PA2=AC2，∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解得m=3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．（3）①如图2中，易知直线AE的解析式为y=﹣x+4，x=1时，y=3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m，把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m，∴m=3．②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m）＞0，∴m＜，③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+或2﹣（舍弃），综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．预习思考。
二次函数综合之参数的取值范围
二次函数综合之参数的取值范围1.已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1．关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式；（2）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小；（3）若B ，C 两点在直线x ＝1的两侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围．2.在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2+2x ﹣1（a ≠0）和直线l ：y ＝kx +b ，点A （﹣3，﹣3），B （1，﹣1）均在直线l 上．（1）若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；（2）当a ＝﹣1，二次函数y ＝ax 2+2x ﹣1的自变量x 满足m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值为﹣4，求m 的值；（3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； (3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，直接写出a (a ＜0)的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a x 2-4ax 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)．(1)求点A ，B 的坐标；(2)已知点C (2，1)，P (1，-32a )，点Q 在直线PC 上，且Q 点的横坐标为4． ①求Q 点的纵坐标（用含a 的式子表示）；②若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B .直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D .（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.6.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2−2mx −2m −2.（1）若该抛物线与直线y =2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上.求该抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点.①将（1）中的抛物线在A ，B 两点之间的部分记作G 1（不含A ，B 两点），直接写出G 1上的横整点的坐标； ②抛物线y =x 2−2mx −2m −2与直线y =−x −2交于C ，D 两点，将抛物线在C ，D 两点之间的部分记作G 2（不含C ，D 两点），若G 2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m 的取值范围.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =-+≠（.（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________； （2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 2C .（1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(个数；② 如果抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)m 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点为P ，且与y 轴交于点A ，与直线y a =-交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =1m x 2+nx −m 与y个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P (-1,-m )，Q (-3,1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围11.在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线y =mx 2+2以及两点A(−3,m)和B(1,m). (1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若该抛物线经过点A(−3.m)，求此抛物线的表达式;(3)若该抛物线与线段AB 只有一个公共点，结合图象，求m 的取值范围.。
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···二次函数专题之参数范围问题
基本思想方法：
①函数与方程；
②数形结合；
③化归与转化；
④逆向思维；
⑤分类
1x2-x+2 1.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=
2
与y轴交于点A,顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称。
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，将抛物线在点A,D之间的部分（包含点A,D）记为图像G,若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围。
2.（2015朝阳二模）已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0).
（1）求证：方程有两个不等的实数根.
（2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1＞x2）.若y是关于a的函数，且y=ax2+x1,求这个函数的表达式.
（3）在（2）的条件下，若使y≤-3a2+1，则自变量a的取值范围为3.(2015顺义二模)已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.
（1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；
（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC 的面积小于或等于8，求m的取值范围.
4.（2015怀柔一模）在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数.
（1）求a的值.
（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.
5.（2015石景山一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点.
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标.
（2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围.
（3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.
6．（2014北京中考） 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y=x
1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数若是有界函数，求边界值；
（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；
（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数
的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t
7.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy 中，对于点P （a,b ）和点Q(a,b ’)给出如下定义：
若b=，
＜⎩⎨⎧-≥1
,1,a b a b 则称点Q 为点P 的限变点，例如，点(2，3)的限变点的坐标是(2，3)，点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．
(1)①点（3，1）的限变点的坐标是____;
②在点A （-2，-1），B （-1，2）中有一个点是函数y=x 2图象上某一点的限变点， 这个点是____；
(2)若点P 在函数y=-x +3(-2≤x ≤k ，k> -2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′，的取值范围是-5≤b ’≤2，求k 的取值范围；
(3)若点P 在关于x 的二次函数y=x 2 -2tx+t2+t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是b ′≥m 或b ′＜n ，其中m ＞n ．令s=m -n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．。