两种不同抽样方式下样本均值的数学期望和方差的比较

Ｅ ）Ｅ１ ＝ 毫（） （ ： （ ＝ － ）１Ｅ ＝ （ ｉ Ｅ ） ， 砉
但 ，差 没 这 好 结 了 ＝ 砉 的 差 以 过 下 方 来 是方 就 有 么 的 果 ， 置 方 可 通 如 的 法 求
（ ６ ） （ ７ ）
Ｄ ） （砉）ｌＤ ） 吾ｖ ， ， （ ＝ １ ＝ （ ＋ ｃ ） ｉ Ｄ 。 ｇ 砉 （
这 些统 计量 的数 字特征 的计 算又 是非 常必要 的。特别 是 样本 均 值 的数学 期 望 和方 差 的计 算 。一 般来 说 ， 从 总体 中抽样 的方式 不 同 ， 会影 响到 样本 均值 的数学 期望 和方 差 ， 了在 一种 特殊 的抽样 方式 之下也 能求 出样 为 本 均值 的数 学期 望和方 差 ， 我们先 来证 明一 个 引理 。
２
＝
一
２
：
（０， － ２ ）
即 有
Ｄ Ｄ ） ｃ （ ＝ ＝
４ 结 论
（） 。
（ ８ ）
通讨 将 （ ） ７ 的 比较 ． ５ 与（ ） 我们 看到 ， 当抽样 方 式 为无 放 回 的时候 ， 本 均 值 的期 望 不 变 ， 方 差 发生 了 样 但
第 ８期
。
为样 本 均值 ， 由于 Ｘ ， ｚ … ， 相 互 独 立 ， －Ｘ ， ￣ｇ Ｎ ， ｔ Ｎ＃ Ｎ ， 而 ， ＋ Ｃｌ ， 从 样
本均值 的数学 期望 和方差 分别 为
Ｅ ） Ｅ ÷ ） ＿２ （。＝ （ ＝ｔ （ ： （ ｉ ＝＝ ， Ｘ） Ｅ ） Ｉ １ Ｅ ＿ ，
：ｌ 。 ｉ ｌ ＝
参考文献 ：
［ ］ 李 贤平．概率论基础 ［ ． １ Ｍ］ 北京 ： 高等教育 出版社 ，９７ １８． ［ ］ 同济大学应用数学系．工程数学概率统计 简明教程 ［ ．北京 ： ２ Ｍ］ 高等教育 出版社 ，０ ３ ２０ ．
责任编辑 ： 艳艳 程
Ｃｏｍｐａ ｉｏ ｏ ａｔ ｍ ａ ｉ ａ ｐｅ ｔ ｔｏｎ ａ ｒｓ ｎ ｆＭ ｈｅ ｔｃ ｌＥｘ ｃ ａ ｉ ｎｄ Ｖａｒａ ｅ ｏｆＳ ｉ ｎｃ ａｍｐｌ ｅ Ｍ ｅ ｎ ｂｙ Ｍ ｅ ｎ ｆ Ｔｗｏ Ｄｉ ｅ ｅ ｍｐｌ ｅｈｏ ａ ａ ｓｏ ｆ ｒ ｎｔＳａ ｉ Ｍ ｔ ｄｓ ｎｇ
‘
Ｉ
１５ （ １ ／ ｚ ５ｔ
ｃｙ Ｘ ， ｆ ｏ（ ｉ ） ｘ
（） １
由协方 差 的对称性 和 置 之 间 的对 称性 可知
Ｄ（ 叼 ）＝Ｄ（ 置 ）＝： Ｘ ＋ ． ＺＤ ２
１ ｊ Ｉ一 １
＿
，
ＩＳ ＜ Ｊ Ｉ
ｃｙ Ｘ ｏ （ ）＝ｎ＂＋ｎ ｎ一１ ｙ Ｘ ，） 女 ， 刘 １７ 一 ， 内蒙古哲里术盟人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要从事概率论与数据统计方面 的研究 ，
９４ ８
长
春
大
学
学
报
第２ ２卷
＝ ｏ Ⅳ（ Ｎ－ ＋ Ⅳ一１ ｃｖ ｌ ２ ０ ） ｏ （ ， ）＝ ， Ｘ
从 而 ｃｖ Ｘ ）一 ｏ（ ２
样 本 的抽 取方 式 为有 放 回的情 况下 ， 获得 的样本 为简单 随机 样本 ， 即从 总体 中抽 出的样 本为 相互 独立并
且 与总体 同分 布 。不妨设 总体 的数学 期望 和方差 都存 在 ， 并且 Ｅ（ ）＝ＸＤ（ Ｉ， ）＝ 。从 总体 中抽 出容 量为
ｎ的样本 ， ， ， ， Ｘ １ Ｘｔ ： … Ｘ ，
当抽 样方式 为无 放 回的情 况时 ， 下一 次 抽样 是 受 前 一 次抽 样 的结果 的影 响 的。此 时 ， 总 体 中包 含 Ⅳ 设
个个 体 ， 总体 中抽 取容 量为 ｎ的样 本 ， ， ， ， 从 …
则此 时 ， ， ， 不满 足相互 独立 性 ， 与 总体 同分布 ， 以仍 然有 Ｅ（ Ｉ， Ｘ ）＝ ｒ， … Ｘ， 但 所 Ｘ）＝ｔＤ（ ｏ 从而
（） ４
Ｄ ）Ｄ ） ｎ ＝ （ ＝ ２ （ ＝（ ＝ 。 Ｄ （ ）ｒ ｔ
￣ Ｙ Ｎ ｑ ｘ 置 和总体 有相 同的 数学 期望 ， 样本 均值 １ 是 总体方 差 的＿＿ Ｊ
。
（ ５ ）
，
和 总体 ｘ 的方差 并 不 相 同
３ 样 本 的抽 取 方 式 为 无 放 回的 情 况
了。
关键词 ： 总体 ； 本 ； 本 均 值 ； 本 方 差 样 样 样
中 图 分 类 号 ： ２２ ２ ０ １．
文献标志码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ９— ９ ７ ２ １ ）８— ９ ３—０ １０ ３ ０ （０ ２ ０ ０ ８ ３
在数理统计中， 我们经常要用到从总体中抽取的样本构成的统计量 的分布。当总体服从正态分布时 ， 样 本 均值 和样本 方差 的分 布都是 确定 的 ， 由样 本均值 和样 本 方差 构成 的某 些 统 计量 服从 的分 布也 比较容 易 计 算 。一 般情 况下 ， 计量 的分 布不 是很 容易计 算 ， 统计 量 的数 字 特征 相 对来 说计 算 还 是 比较 容 易 的 ， 统 但 同时
，
’
２ （ ）
在 （ ） 中 ， ｎ＝ 这 时 ＝ ＋ ＋… ＋ 是一 个常 数 ， 而 Ｄ（ Ｏ， 入到 （ ） ， 得 ２式 令 Ｎ， Ｘ。 从 田 ）＝ 代 ２中 可
ＤＶ） Ｄ ） Ｄ置） ２ ｃ （ ） （ ： （ 善 （ ＋。 。 置， ｖ
收 稿 日期 ：０ ２０ －８ ２ １ － １ ６
刘淑华 ： 两种不 同抽样方式下样本均值 的数学期望 和方差 的比较
９５ ８
变化 ， 与有 放 回抽 样相 比， 了一 个倍数 多
， 当 与 Ⅳ相 差不 大 时 ，５ 与 （ ） （ ） ７ 的差别 是 很 大 的 ； Ⅳ 远 当
远大 于 ｎ时 ，５ 与 （ ） （ ） ７ 的结果 基本 相近 ； Ⅳ趋于无 穷 大时 ，５ 与 （ ） 当 （ ） ７ 的结 果 就没 区别 了。
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｇｖ ｓ ｔｅ ｃ ｌ ｕａ ｉｎ ｒｓ ｌ ｆｍａｈ ｍａｉａ ｘ ｅ ｔｔ ｎ ａ ｄ ｖ ｒ ｎ ｅ ｏ ａ ｌ ａ ｎ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｓ ｈ ｍｅ ｗ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ａ ｅ ｉｅ ｈ ａｃ ｌｔ ｅ ｕ ｔ ｏ ｔｅ ｔ ｌｅ ｐ ｃａｉ ｎ ａ ｉ ｃ ｆ ｓｍｐ ｅ ｍｅ ｎ ｉ ａ ｌ ｃ ｅ ｉ ｏ ｓ ｃ ｏ ａ ｎ ｈ ｒｐ ａ ｅ ｎ ，ａ ｈ ａ ｌ ｉ ｅ ｌｃ ｍｅ ｔ ｔｔ ｅ ｓ ｎｅ ｔ ｍｅ，ｉ ｐ ｅ ｅ ｔ ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｆ ｍａｈ ｍａｉａ ｘ ｅ ｔｔ ｎ ａ ｄ ｖ ｒ ｃ ｆｓ ｍｐｅ ｍｅ ｎ ｉ ａ ｌ ｇ ｓ ｈ ｍｅ ｔ ｒ ｓ ｎ ｓ ｈ ｅ ｕ ｔ ｏ ｔｅ ｔ ｌ ｅ ｐ ｃａ ｉ ｎ ａ ｉ ｅ ｏ ａ ｌ ａ ｎ ｓ ｍｐ ｉ ｃ ｅ ｓ ｃ ｏ ｎ ａ ｎ ｗ ｔ ｏ ｔｒ ｐ ａ ｅ ｎ ｙ ｕ ｉｇ ｌ ｍｍａ ．Ｓ ａ ｒ ｖ ｈ ｔ ｈ ｔ ｅ ｔ ａ ｘ ｅ ｔ ｔ ｎ ｏ ａ ｌ ａ ｓｓ ｌ ｅｗｈｌ ｈ ａ ｉｎ ｅ ｉ ｉ ｕ ｅ ｌ ｃ ｍｅ ｔ ｓｎ ｅ ｈ ｂ ｓ ｏｗｅ ｃ ｎ ｐ ｏ ｅｔ ａ ｅ ｍａｈ ｍａｉ ｌｅ ｐ ｃａｉ ｆｓ ｍｐ ｅ ｍｅ ｎ ｉ ａＴ ｉ ｔ ｅ ｖ ｒ ｃ ｔ ｃ ｏ ｌ ｅ ａ ｓ
１ 引 理
口袋 中有 Ⅳ张卡 片 ， 面分别 写有 数字 ，２… ， ， 放 回的从 中抽 出 ｎ张 ， 其 和 的数 学期 望 和方 上 ｙ， 不 则
差 别 分 为 ＝毫 和
＝
２其 ＝善 ） ， 中 ２ Ｎ 一 （ （ ）
证 ：一 时其 字 均 及 差 别 亩 ， （ ． 明取 张 ，数 的 值 方 分 为 ＝ ＝ 点 一） Ｎ
以 表示 ｎ张卡片 上 的数 字之 和 ， 置 ， １２， ， 以 江 ， … ｎ表示 第 ｉ 次抽 到 的卡 片上 的数 字 ， 叼 ＝Ｘ ＋ 则 ，
＋ … ＋
由ＰＸ ： ｆ＝ ｚ １ ， Ｎ ｉ １ ， 可得 ｛ ｙ｝ 寺， ， …，，＝ ， …，， ＝ ２ ２
Ｅ（ Ｘ ）＝ ＝ｚ Ｅ ）＝Ｎ ／， （ ， 而 从
ｔｎ ｓｔ ｎ ｎ ｔ ｈ ｉ ｅ ｅ ｃ ｓｌ ｔ ． ｅ ｄ ｏ ｉｆ ｉ ｉ ｅ，ｔ ｅ ｄｆ ｒ ｎ ｅ ｉ ｉ ｌ ｔｅ Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｖ ｒ ｌ ａ ｌ ｙ ｒ ｓ ｏ ｅ ａ ；ｓ ｍｐｅ；ｓ ｐ ｅ ｍｅ ｎ；ｓ ｍｐ ｅ ｖ ｒａ ｃ ｌ ｍ ａ ｌ ａ ａ ｌ ａ ｉ ｎ ｅ
利 引 的 明 程我 有： Ｃ（，） 而 用 理 证 过 ，们 一 ｒ ｏＸ ， 有 — ｙ 从
Ｉ ｖ ） ｎ １Ｖ ｌ 善 。 ， ＝（一） — ， 产 （ ， ｃ 』
将上 述结 果代 入 （ ） ， 有 ７式 则
Ｄ ）Ｄ１ ：毫（） 菁ｖｉ） （ ＝ ） Ｄ ＋ ｃ（， 毫 。
：一
。
将 上述 结果代 人 到 （ ） 中 ， 得 ２式 可
Ｄ（７）＝ 三 ） Ｄ 。 ２ ７ Ｄ（ ＝ ＋
１ ＝ｊ
Ｉ ＜， 鱼
ｃｖＸ ， ） ｏ（ ，
２ 。 （） ３
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２ ＝
２ 样 本 的抽 取 方 式 为 有 放 回的 情 况
要 ： 出了在有放回抽样 时， 给 样本 均值 的数 学期 望和 方差的计 算结果； 同时通过 引理 的证明给 出了在 无放 回抽
样方式下 ， 样本均值的数学期望和方差的结果 。从而说明 了在抽样方式不 同的情 况下 ， 样本 均值 的数学期望相 同， 但方差却是不同的 ， 但是 ， 当样本容量 ｎ很 大时 ， 两者的 差别是 不大 的； ｎ趋 于无 穷大 时， 两者就没 有 区别 则 当 这
Ｄ ：（ 一Ｅ ） ＝ ＝ 一 ） ， （） Ｘ ）［ ］ 亩 一 亩Ｎ ＝ （ １ Ｎ １（ 。
所以７的 学期 ７ 数 望为Ｅｎ） 置） （ ＝ （ 善
＋２ 叼 的方差 为 Ｄ（ ）＝Ｄ（ ｘ ）＝ＺＤＸｆ Ｚ
．
．
＝ｉ ｎ， ｚ
．
．
ｌ＝ １
Ｕ Ｕ ｈｕ— Ｓ ｈｕａ
（ ｏｅｅｏ ｐｉａ ａｄＥｅｔ ｎ ａ Ｉｆｒ ａ ｏ ， ｈｎ ｅｎ ｎｖｒ ｔ ｏ ｃ ｎｅａ ｄＴ ｃｎｌｇ ， ｈ ｎｃｕ ３０ ２ Ｃ ｉａ Ｃ ｌｇ ｆ ｔ ｌ ｎ ｌ ｒ ｉ ｌｎｏｍ ｔ ｎ Ｃ ａｇｈ ｎＵ ｉ ｓｙ ｆ ｉ ｃ ｎ ｅｈｏｏｙ Ｃ ａｇｈｎ１０ ２ ， ｈ ） ｌ Ｏ ｃ ｃｏ ｃ ｉ ｅ ｉ Ｓ ｅ ｎ
ｄｆ ｒ ｎ ｉ ｅ ｅ ｔｐ ｔ ｒ ｓｏ ａ ｌ ｇ ｕ ｅ ｈ ａ ｌ ｉｅ ｎ ｉ ｅｙ ｌ ｒ ｅ ｈ ｉ ｅ ｅ ｃ ｓｓｉ ａ ｄ ｗｈ ｎ ｔ ｅ ｓ ｍｐ ｅ ｓｚ ｉ ｅ ｅ ｔｉ ｄｆ ｒ ｎ ａｔ ｎ ｆｓ ｍｐ ｉ ．Ｂ ｔ ｎ ｅ ｎ ｗｈ ｎ ｔ ｅ ｓ ｍｐ ｅｓｚ ｓｖ ｒ ａ ｇ ，ｔ ｅ ｄｆ ｒ ｎ ｅ ｉ ｌ ｍ ｎ ｅ ｈ ａ ｌ ｉｅｎ
第２ ２卷
第 ８期
长
春
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学
学
报
Ｖｏ ． ＮＯ． １２２ ８ Ａｕ ． ２ ２ ｇ ０１
２１ ０ ２年 ８月
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｃ ＨＡＮＧＣ Ｎ ＨＵ ＵＮＩ ＲＳＴＹ ＶＥ Ｉ
两种不 同抽样方式下样本均值 的数学期望和方差的 比较
刘淑 华
（ 长春理工 大学 摘 光 电信 息学 院 ，长春 １０ ２ ） ３０ １