线面平行、面面平行的判定

1.如图 6，在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、 F、G 分别为棱 AA1、A1B1、A1D1 的中点． 求证：平面 EFG∥平面 BC1D.
图6
证明：如图 7，连接 B1D1， 则有B1D1∥BD. ∵E、F、G 分别为 A1A、A1B1、A1D1 的中点， ∴FG∥B1D1. 则FG∥BD， ∴FG∥平面BC1D. 同理 EF∥DC1.∴EF∥平面BC1D. 又∵EF∩FG＝F， ∴平面 EFG∥平面BC1D.
的中点，求证：EF∥平面 BCD.
证明：如图 2，连接 BD. 在△ABD 中，
∵E、F 分别是 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD.
又 EF ⊄平面BCD，BD ⊂平面BCD，
图2ຫໍສະໝຸດ Baidu
∴EF∥平面BCD.
证线面平行的关键是找线线平行(即在平 面内找到一条直线与该直线平行)．如果已知中点，则可抓住中 位线得到线线平行．
(2)在图 1中，哪些平面与 AB 所在的直线平行？
解：(1)在图 2 中，线段 BB1、BC、CC1、
C1B1、BC1 所在的直线与平面 ADD1A1 平行．
(2)在图 2 中，平面 A1B1C1D1、CC1D1D
与 AB 所在的直线平行.
图1
证线面平行
例 2：已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD
∴EF∥平面MNQ.
图8
又∵EF∩FG＝F，
∴平面EFG∥平面MNQ.
1．直线 l 与平面α内无数条直线平行，则 l 与α的位置关系
是( D )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上答案都不对
2．给出下列四个命题： ①若一条直线与一个平面内的一条直线平行， 则这条直线 与这个平面平行； ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行， 则这条直线 与这个平面平行； ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那 么这条直线和这个平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行， 则另一条也 与这个平面平行．
其中正确命题的个数是( B )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．若 a、b 是异面直线，则下列命题中是假命题的是( D ) A．过 b 有一个平面与 a 平行 B．过 b 只有一个平面与 a 平行 C．过 b 有且只有一个平面与 a 平行 D．过 b 不存在与 a 平行的平面
定理的本质：
证面面平行
例 3：如图 5，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1. 求证：平面 AD1B1∥平面 C1DB.
图5
证明：∵D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB， ∴D1B1∥平面C1DB，同理 AB1∥平面C1DB， 又 D1B1∩AB1＝B1，AB1、D1B1 同在平面AD1B1 内， ∴平面AD1B1∥平面C1DB.
思考： 怎样判定直线与平面平行呢？
线面平行的判定定理：平面外的一条直线与
此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号表示为：l ⊄α，m ⊂α，l∥m⇒ l∥α
定理的本质：
线面平行的概念
例1：如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，回答下列问题: (1)在图 1中，哪些线段所在的直线与平面 ADD1A1 平行？
图7
2.如图 8，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 ， E、F、G 分别 是 CC1、BC 和 DC 的中点，M、N、Q 分别是 AA1、A1D1 和 A1B1 的中点．
求证：平面 EFG∥平面 MNQ.
证明：∵FG∥BD∥B1D1∥NQ， 则 FG∥NQ，∴FG∥平面MNQ.
同理EF∥MN.
2.已知 AB、BC、CD 是不在同一个平面内的三条线段，E、 F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行．
证明：如图4， 在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点， ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG， EF⊂平面 EFG.
图4 于是 AC∥平面 EFG. 同理可证，BD∥平面 EFG.
1.如图 3，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，Q 是 PA 的中点．求证：PC∥平面 BDQ.
证明：连接AC，交BD 于O，连接QO. ∵ABCD为平行四边形，
∴O 为AC 的中点．
又Q 为PA 的中点，
∴QO∥PC.
图3
显然，QO⊂平面BDQ，PC ⊄平面BDQ， ∴PC∥平面BDQ.
思考：1.平面 内有一条直线与平面 平行, , 平行吗?
2.平面 内有两条直线与平面 平行, , 平行吗?
面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直
线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
用符号表示为： aa⊂ ∥βα，，bb⊂∥βα，a∩b＝P⇒β∥α.
5. P56: 2,P58:1--3
如图 9，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 为 PB 的中点，O 为 AC、BD 的交点．
(1)求证：EO∥平面 PCD ;
(2)图中 EO 还与哪个平面平行？
(1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，O 为AC、BD 的交点，
∴O 为 BD 的中点．
又∵在△PBD 中，E为PB 的中点，
∴EO∥PD.
∵EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD.
图9
(2)解：图中EO 还与平面 PAD 平行．
1.线面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言） 2.面面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言）