01-第一节-二维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布

在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述 .例如，研

究某地区学龄前儿童的发育情况时

,就要同时抽查儿童的身高

H 、体重W ,这里,H 和W 是定义在同一个样本空间 S {e} {某地区的全部学龄前儿童 }上的两个随机变量.又如，考 察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标 X 和纵坐标Y .在这种情况

下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律， 而且还要研究它们之间的统计相依关系，

因而还需考察它们的联合取值的统计规律，

即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维

一般无实质性的困难，故我们重点讨论二维随机变量 .

第一节多维随机变量的分布

内容分布图示

★二维随机变量

★ 二维随机变量的分布函数 ★例1

★二维离散型随机变量及其概率分布

★例2 ★例3 ★例4

★例5

★例6 ★二维连续型随机变量及其概率密度

内容要点：

一、 二维随机变量

定义1设随机试验的样本空间为

X X(e),Y Y(e)

是定义在S 上的两个随机变量，称(X,Y)为定义在S 上的二维随机变量 或二维随机向量 二、二维随机变量的分布函数 定义2设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x,y ,二元函数

记为

F(x,y) P{(X x)} P{(Y y)} P{ X x,Y y}

称为二维随机变量(X ,Y)的分布函数或称为随机变量 X 和Y 的联合分布函数 联合分布函数的性质：

(1)

0 F(x,y) 1,且

对任意固定的y, F( , y) 0, 对任意固定的x,F(x, ) 0, F( ,

) 0,F(

, ) 1;

(2) F(x,y)关于x 和y 均为单调非减函数，即

★例7

★ ★ 二维均匀分布 ★ ★ 二维正态分布 ★ ★ 内容小结 ★ ★ 习题3-1

例8 ★例9 例10 例11 课堂练习

S {e} , e S 为样本点，而

对任意固定的y, 当x2 x1,F(x2,y) F(x1,y),

对任意固定的x, 当y2 y1,F(x,y2) F(x,y1);

(3) F(x,y)关于x和y 均为右连续，即F (x, y) F(x 0, y),F(x,y) F(x, y 0).

三、二维离散型随机变量及其概率分布

定义3若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.

结论：(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为离散型随机变量•

若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(x,y j) i, j 1,2,,则称

P{X x i,Y y j} p ij (i, j 1,2, )

为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律),或X与Y的联合概率分布(分布律).

与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定(X,Y)取值于任何区域D上的概率，即

P{( X,Y) D} p ij ,

( x i ,y j ) D

特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:

F(x,y) P{ X x,Y y} p ij.

x i x,y j y

四、二维连续型随机变量及其概率密度

定义设(X,Y)为二维随机变量，F (x, y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函

数f(x, y) , 使对任意实数(x, y) , 有

xy

F(x,y) f (s,t)dsdt,

则称(X,Y)为二维连续型随机变量，并称f(x, y)为(X,Y)的概率密度(密度函数),或X,Y

的联合概率密度(联合密度函数).

概率密度函数f (x, y)的性质：

(1)f(x,y) 0; (2) f (x, y)dxdy F( , ) 1;

(3)设D是xOy平面上的区域，点(X,Y)落入D内的概率为

P{( x,y) D} f(x, y)dxdy

特别地, 边缘分布函数

x

x

F X (x) P{X x} P{X x,Y }

f(s,t)dsdt

上式表明：X 是连续型随机变量，且其密度函数为：

f x (x)

f (x,y)dy,

同理，Y 是连续型随机变量，且其密度函数为：

f y (y)

f (x, y)dx, 分别称f X (x)和f Y (y)为(X,Y)关于X 和Y 的边缘密度函数•

⑷ 若 f (x,y)在点(x, y)连续，则有 一F(x,y) f (x, y).

x y

进一步，根据偏导数的定义，可推得：当x, y 很小时，有

P{x X x x,y Y y y} f (x, y) x y,

即，(X,Y)落在区间(x,x x] (y,y

y]上的概率近似等于 f (x,y) x y.

f(x,y)

丄，(x,y) G A

0,其它

则称(X ,Y)在G 上服从均匀分布.

六、二维正态分布

若二维随机变量(X,Y)具有概率密度

2(1 2) —e 2

其中「2，1，2，均为常数，且 ! 0, 2

0,1 的二维正态分布

注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数 ，亦

即对给定的1，2，1，2，不同的 对应不同的二维正态分布，

但它们的边缘分布都是相同

的，因此仅由关于 X 和关于Y 的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量 (X,Y)的联合

分布的.

例题选讲：

二维随机变量的分布函数

例1设二维随机变量(x, y)的分布函数为

x

y

五、二维均匀分布 设G 是平面上的有界区域

其面积为A .若二维随机变量 (X,Y)具有概率密度函数

f(x, y)

I 1,则称(X,Y)服从参数为