范德蒙德行列式的几点应用

，
使得 ， ．
证从定义容易看出 的次数小于n，且 ，故只需证明唯一性即可．
设 满足
， ，
即
这个关于 的线性方程组的系数行列式
，
故 是唯一的，必须 ．
这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．
例3设 是 个复系数多项式，满足
，
证明 ．
证设 ，取 ，分别以 代入，可得
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
，
因此 ．
例4设n是奇数， 是 个复系数多项式，满足
，
证明 ．
证注意到当n是奇数时，
，
可按照例3的思路完成证明．
例5设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．
证设 是A的两两不同的r个特征值，非零向量 适合
， ，
假设
，
那么有
， ．
即
，
注意到
，
必须 ，于是 ，这证明了 线性无关．
例6计算行列式
第2讲范德蒙德行列式的Baidu Nhomakorabea点应用
我们知道，n阶范德蒙德行列式
，
当这些 两两互异时， ．这个事实有助于我们理解不少结果．
例1证明一个n次多项式之多有n个互异根．
证设 有 个互异的零点 ，则有
， ．
即
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
，
因此 ．这个矛盾表明 至多有n个互异根．
例2设 是n个两两互异的数．证明对任意n个数 ，存在惟一的次数小于n的多项式 ：
，
其中 ．
解注意到下面的等式：
即得
．
例7计算行列式
，
其中 ．
解直接利用例6可得
．
例8设 是正整数，证明n阶行列式
能被 整除．
证直接运用例6、例7可得
能被 整除．
例9计算n阶范德蒙德行列式
，
其中 ．
解注意到 当且仅当 ，可得
，
由此 ， 的模 ．现在来确定 的幅角：令 ， ，故
对于上面考虑的j和k，总有 ，这意味着 ，因此
，
由此可设 ，其中
这样就求得了 ．
例10证明缺项的n阶范德蒙德行列式
证按 的第一行展开行列式，可得
例11设有n个常数 ，n个两两不同的常数 以及由x的恒等式
定义的一个多项式 ．对于一个已知多项式 ，定义另一个多项式 ，它为上面的恒等式中将 分别代之以 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 除以 所得的余式为 ．
证由于n阶范德蒙德行列式
，
按题设这里的行列式的最后一列展开，可知 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个 ，
，
必须 ， ．由拉格朗日插值公式知
．
同理可求出由恒等式
所定义的多项式
．
设 ，其中 的次数小于n．为证 ，只需证明 时， 即可．事实上，对每个 ， 是易见的，因此结论成立．
例12设 在 上连续，在 内存在2阶导数，证明在 上有
．
按第一行展开行列式得
，
左边按最后一列展开行列式，化简可得
．
例14设 在 内存在n阶导数，这里 ．证明存在 ，使
．
证置 ， ，则 ．于是例14在本质上是例13的特殊情形．
，
这里 ．
特别地，存在 ，使
．
证在 上构造函数
，
则 在 上连续，在 内存在2阶导数．因 ，由中值定理存在 ，使 ，故再运用一次中值定理，存在 ，使 ，即
，
展开行列式即得
．
特别地，取 ，则有相应的 ，使上式成立，即
，
化简即得
．
例13设 在 内存在 阶导数， ．证明存在 ，使
．
证在 上构造函数
，
在 内存在 阶导数．因 ，反复利用微分中值定理，存在 ，使 ，即