第一章 量子力学基础

单 缝 衍 射
考虑二级以上衍射，所以：△x△px≥h
同理有： △y△py≥h △z△pz≥h
有时也用△x△px≥h/4，即为不确定关系式。
量子力学中的概率特性直接来自于不确定原理。在经典力学
中, 我们可以在任何时刻同时了解粒子的坐标与动量, 进而预言 未来某时刻粒子的行为。但是, 在量子力学中, 我们一开始就不 可能同时了解粒子的坐标与动量, 所以对它未来的行为就只能以 概率来预言。用Heisenberg 本人的话来说：“在因果律的陈述 中，即‘若确切地知道现在，就能预见未来’，所错误的不是结 论，而是前提。我们不能知道现在的所有细节，是一种原则性的
认为是实物粒子的电子等物质, 也看作是波.
de Broglie关系式为:
E = hv
λ= h / p
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1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用多
晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物理学
奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1924年，L.V.de Broglie（德布罗意）认为光的波粒二象 性(wave-particle duality )同样适用于物质. 波以某种方式伴 随电子和其他粒子, 正如波伴随着光子一样. 这就是说, 一度被 视为波的光已被证明也有粒子性, 现在需要“反过来”把一直
第一章
量子力学基础
Chapter 1. Introduction to Quantum Mechanics
1.1
微观粒子的运动特征
经典物理学：
Newton-经典力学
Maxwell-电磁场理论
Gibbs-热力学 Boltzmann-统计热力学
在20世纪初，出现了经典物理学无法解释的实验现象：
黑体辐射(blackbody radiation)
黑体辐射中的量子假说。此项成就使他获得了1918年的诺贝尔奖。
在从事科学的同时，普朗克还从事音乐演奏和登山运动。他把音乐和 登山运动看作是紧张的科研活动后的必不可少的调剂。
普朗克退休后仍经常参加物理研究所的恳谈会和举办大众讲座。他参
加会议总是十分准时，据说根据他在会场上的出现时刻可以校正钟表！
1.1.2 光电效应与光量子化
Ek=h－h0，动能与频率呈直线关系，与光强无关。
爱因斯坦（公元1879～1955年）是20世纪最伟大的 物理学家。爱因斯坦从小就是一个奇怪的孩子。他酷 爱音乐，6岁时学习小提琴，14岁时已能登台演出。但 上学时，教师说他智力迟钝，除数学外，历史、地理 和语言成绩都很差，以致遭退学处分。他的教育主要 靠家庭和自学。他在叔父影响下，对数学特别爱好， 受舅父影响又对自然科学产生强烈的好奇心。17岁时， 他就学了一些理论物理学。 爱因斯坦大学毕业后，到伯尔尼市联邦专利局工作， 在这段工作期间他发表了许多论文，特别是1905年他 发表的五篇论文，其中三篇都有资格获得诺贝尔奖金。 1916年他发表了《广义相对论的基础》，这又是一篇 杰出的论著。 1921年，爱因斯坦因对光电效应的研究而获得诺贝 尔奖。1933年，希特勒上台，爱因斯坦因受法西斯迫 害而被迫移居美国。1933年，爱因斯坦写信给美国总 统罗斯福，建议抢在德国法西斯的前面制造原子弹。 后来当他得悉美国的原子弹轰炸了人口稠密的日本城 市时，他大为震惊，并为自己曾给罗斯福写过信这件 事感到无比懊悔。
光电效应(photoelectric effect)
氢原子光谱(line spectra of hydrogen atom)
1.1.1 黑体辐射与能量量子化
黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。 黑体辐射：随温度升高，辐射能量增大，且极大值向高频移动。 经典理论与实验事实间的矛盾： ①维恩 经典的热力学和麦克斯韦分布 ②瑞利-金斯 经典电磁学和能量均分定理
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t）描 述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
定态波函数
不含时间的波函数(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率
密度与能量不随时间改变的状态） 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形
1.1.5
不确定关系（测不准原理）
1927年, W. K. Heisenberg提出了微观领域的不确定 关系（certainty principle）:
有这样一些成对的可测量, 要同时测定它们的任意精
确值是不可能的. 其中一个量被测得越精确, 另一个量就 变得越不确定. 例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等. 不确定关系可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
1.1.3
氢原子光谱与轨道角动量量子化
Hδ 410 7.31
Hγ 434 6.91
Hβ 486 6.07
Hα 656 4.57
1.1.3
氢原子光谱与轨道角动量量子化
早在1884年，Balmer已将当时已知的可见区氢谱线总结成经
验公式（后被J.R.Rydberg表示成如下的波数形式）,并正确 地推断该式可推广之(式中n1、n2均为正整数):
经典物理无法解释的另一个现象来自 H.R.赫兹1887
年的著名实验. 这一实验极为有趣和重要, 因为它既证实 了Maxwell的电磁波理论——该理论认为光也是电磁波, 又发现了光电效应(photoelectric effect), 后来导致了光 的粒子学说.
1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下
式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。
例如氢原子的1s态的波函数为：
1s
r exp( ) a0 a 3 0
1
(x,y,z)?
合格波函数（品优波函数）
由于||2 描述的是概率密度，所以合格（或品优）波函数
必须满足三个条件： ①单值的，即在空间每一点只能有一个值；
不是必然性推理，因而有局限性，其结论的正确与否必须由实践
来检验.
实物微粒波的物理意义：
de Broglie波可以在真空中传播，因而不是机械波（声波、水 波）；它产生于所有带电或不带电物体的运动，因而也不是电
磁波.
1926年，M. Born提出实物微粒波的统计解释。他认为，在空 间任何一点上波的强度和粒子出现的概率成正比，即实物微粒 波称为概率波。
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
Bohr的轨道角动量量子化
E h E E2 E1
h h
1.1.3
氢原子光谱与轨道角动量量子化
由Bohr模型, 结合经典力学运动定律, 可解出Rydberg
1.1.1 黑体辐射与能量量子化
Planck能量量子化假设
黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动， 振动频率为的振子能量为h 只能发射h的整数倍的电磁能 0 h，1 h，2 h，3 h„„ h称为Planck常数，h＝6.626×10－34 J•s 单位时间、单位表面积上辐射的能量：
常数的理论值，进而计算各已知线系波数.
结果与实验值相当符合.
氢原子能级示意图与氢光谱
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3
氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更 不必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件—— 称为旧量子论
图G为电流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1.1.2 光电效应与光量子化
1898年，P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902
年指出: 入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子;光电 子的动能与光强度无关而与光的频率成正比. 光电子的动能显然来自光能. 按照经典波动理论, 光
能取决于光强度即振幅平方,与频率无关. 显然, 经典波动
金晶体的电子衍射图
de Broglie波的提出是类比法的成功典范
从科学方法论的角度讲, 由光的波粒二象性到实物微粒的波
粒二象性是一种类比推理. 类比是由两个对象之间在某些方面的
相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的思想方法， 是一种由特殊到特殊、由此类及彼类的过程. 类比可以提供重要 线索，启迪思想，是发展科学知识的一种有效的试探方法.我们在 研究工作中需要重视这种方法. 然而，它是一种或然性推理，而
事情。”
能量-时间不确定关系式： Δt· ΔE≥h /4π
粒子在某能级上存在的时间Δt
越短，该能级的不确定程度ΔE就越 大，能级就越宽；只有粒子在某能 级上存在的时间无限长，该能级才 是完全确定的。 能级加宽导致了谱线加宽:
1.2 量子力学的基本假设
量子力学的基本假设，象几何学中的公理一样，是不能被 证明的。
而损失能量, 从而沿螺旋线坠落到核上并发射连续光谱,
与原子稳定性和光谱分立性相矛盾:
1.1.3
氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分
立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有
不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
1.1.2 光电效应与光量子化
产生光电效应时的能量守恒：
h=w+Ek=h0+mv2/2
（脱出功：电子逸出金属所需的最低能量，w=h0）
用Einstein光子说，可圆满解释光电效应： 当0，光子没有足够能量使电子逸出金属，不发生光电效应； 当=0，这时的频率就是产生光电效应的临阈频率( 0)； 当0，逸出金属的电子具有一定动能，
*
k
k 此过程称为波函数的归一化， k 为归一化因子。
推论：c和描写同一状态（c为常数），虽然c2||2给出 的概率比||2处大了c2倍，但其在空间各点的比值并没有变化。
例1. 已知一个在一维势箱中运动的粒子，其波函数为：
E
2 h c3
3
e
h / kt
1
1
M.Planck
1918年诺贝尔物理学奖
黑体只能辐射频率为，数值为h的整数倍的能量—能量量子化
普朗克（1858～1947年）是德国物理学家，1858年生于德国的基尔， 普朗克少年时就表现出很有天分。他对数学和音乐有特殊的爱好。据说， 中学毕业选择专业时，他曾在音乐和自然科学之间犹豫不决。1874年普朗 克考入慕尼黑大学，初主攻数学，随后又爱上物理。他的老师约里曾劝阻 他不要这样做。在约里的眼里，当时的物理学已是一门高度发展的、几乎 是尽善尽美的科学，似乎在这个领域已无事可做。约里的观点实际是反映 了当时物理学家的普遍想法。 普朗克一生在科学上提出了许多创见，贡献最大的就是1900年提出的
1.1.3
氢原子光谱与轨道角动量量子化
原子光谱是原子结构的信使. 那么, 在此之前, 人们对
原子结构认识如何呢?
1903年，J．J．汤姆逊提出“葡萄干蛋糕”原子模型.
1911年, 卢瑟福在α粒子散射实验基础上提出原子的有
核模型. 但问题是: 原子是一个电力系统, 电子如果像行星
绕太阳那样绕核运转, 就会在这种加速运动中发射电磁波
理论不能解释光电效应的实验事实.
1905年, Einstein提出光子学说, 解释了光
电效应.
光子学说的内容如下：
（1） 光是一束光子流，能量也是不连续的，
每一个光子携带的能量E与光的频率ν成正比, 而与光的强度无关. 光子能量: E=hν （2）光子不但有能量，而且有质量m。 （3）光子具有一定的动量p，p=h/λ。 （4）光子的密度才与光强度成正比.
②连续的，即的值不能出现突跃；(x,y,z) 对x,y,z的一
级微商也应是连续的； ③平方可积的（有限），即在整个空间的积分∫*d应为
一有限值。通常要求波函数归一化，即∫*d＝1。
波函数的归一化：
1 d c(c ) 令 ' k 1 '* ' d k * d k 1