2002全国大学生数学建模竞赛题目
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A B C D E 每两场比赛间相隔场次数
A X 1 9 3 6 1, 2, 2
B 1 X
2 5 8 0, 2, 2
C 9 2 X 7 10 4, 1, 0
D 3 5 7 X 4 0, 0, 1
E 6 8
10
4
X
1, 1, 1
从上面的例子出发讨论以下问题: 1) 对于 5 支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程. 2) 当 n 支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少. 3) 在达到 2) 的上限的条件下, 给出 n=8, n=9 的赛程, 并说明它们的编制过程.
21 7/35 75% 10% 15% 1000 100 5Fra Baidu bibliotek 5
22 7/35 80% 10% 10% 200 50
20 5
23 7/35 100% 2000 20 4 2
无特别号
24 6+1/36 75% 10% 15% 500 100 10
5
25 6+1/36 80% 10% 10% 500 100 10
26 7/36 70% 10% 20% 500 50 10 5
27 7/37 70% 15% 15% 1500 100 50
28 6/40 82% 10% 8% 200 10 1
29 5/60 60% 20% 20% 300 30
C 题 车灯线光源的计算 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半 径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置 长度为 4 毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏， 屏与 FA 垂直。 请解决下列问题： 1. 计算直射光总功率与反射光总功率之比。 2. 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。 3. 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一次反射）。
表二 中奖 等级 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36）
基 本 号 码 特别号码 说明 基 本 号 码 特别号码 说明
一等奖 ●●●●●●● 选 7 中（7） ●●●●●● ★ 选 7 中（6+1）
二等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7 中（6+1） ●●●●●● 选 7 中（6）
16 7/33 75% 10%
15% 500 50 10 5
17 7/34 65% 15% 20% 500 30 6
18 7/34 68% 12% 20%
500 50 10 2
19 7/35 70% 15% 15% 300 50 5
20 7/35 70% 10% 20% 500
100 30 5
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏，屏与 FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过 A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点，使 AC=2AB=2.6 米。要求 C 点的光强度不小于某一额定值（可取 为 1 个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中（2）
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号码球中一个一个 地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从 01~33 个号码 中任选 7 个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中 奖等级，不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1”的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇 出 6 个基本号，再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个 组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不 考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
10
7/31 60% 15% 25% 500 50 20 10
11 7/31 75% 10% 15% 320 30 5
12 7/32
65% 15% 20% 500 50 10
13 7/32 70% 10% 20% 500 50 10
14 7/32 75%
10% 15% 500 50 10
15 7/33 70% 10% 20% 600 60 6
七等奖
●●●●○○○
选 7 中（4） ●●●○○○ ★
选 7 中（3+1）
注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单注若
已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表 三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配， 但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以 及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
序号
奖项 方案
一等奖 比例
二等奖 比例
三等奖 比例
四等奖 金额
五等奖 金额
六等奖 金额
七等奖 金额
备注
1
6+1/10
50%
20%
30%
50
表三
按序
2 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 5
按序
3 6+1/10 65% 15% 20% 300 20 5
按序
4 6+1/10 70% 15% 15% 300 20 5
表一 中奖 等级
10 选 6+1（6+1/10）
基本号码 说明
一等奖 abcdef 选 7 中（6+1）
二等奖 abcdef 选 7 中（6）
三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7 中（5）
四等奖
特别号码 g
abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7 中（4）
五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中（3）
请解决下列问题： （1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性。
B 题 彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前 流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案：先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码，每组摇出一个， 然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基 本号码（可重复），从 0~4 中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的 个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X 表 示未选中的号码）。
2002 全国大学生数学建模竞赛题目 A 题 车灯线光源的优化设计 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半 径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置 一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
D 题 赛程安排 你所在的年级有 5 个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行 10 场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢. 下面是随便安排的一个赛程: 记 5 支球队为 A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的 10 个空格中, 随手填上 1,2,(10, 就得到一个赛程, 即 第 1 场 A 对 B, 第 2 场 B 对 C, (, 第 10 场 C 对 E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入 左下三角. 这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等. 表的 右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对 A, E 有利, 对 D 则不公平.
三等奖 ●●●●●●○ 选 7 中（6） ●●●●●○ ★ 选 7 中（5+1）
四等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7 中（5+1） ●●●●●○ 选 7 中（5）
五等奖
●●●●●○○
选 7 中（5） ●●●●○○ ★
选 7 中（4+1）
六等奖
●●●●○○○ ★
选 7 中（4+1） ●●●●○○
选 7 中（4）
按序
5 7/29 60% 20% 20% 300 30 5
6 6+1/29 60% 25% 15% 200 20 5
7 7/30 65% 15% 20% 500 50 15 5
8 7/30 70% 10% 20% 200 50 10 5
9 7/30 75% 10% 15% 200 30 10 5
A X 1 9 3 6 1, 2, 2
B 1 X
2 5 8 0, 2, 2
C 9 2 X 7 10 4, 1, 0
D 3 5 7 X 4 0, 0, 1
E 6 8
10
4
X
1, 1, 1
从上面的例子出发讨论以下问题: 1) 对于 5 支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程. 2) 当 n 支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少. 3) 在达到 2) 的上限的条件下, 给出 n=8, n=9 的赛程, 并说明它们的编制过程.
21 7/35 75% 10% 15% 1000 100 5Fra Baidu bibliotek 5
22 7/35 80% 10% 10% 200 50
20 5
23 7/35 100% 2000 20 4 2
无特别号
24 6+1/36 75% 10% 15% 500 100 10
5
25 6+1/36 80% 10% 10% 500 100 10
26 7/36 70% 10% 20% 500 50 10 5
27 7/37 70% 15% 15% 1500 100 50
28 6/40 82% 10% 8% 200 10 1
29 5/60 60% 20% 20% 300 30
C 题 车灯线光源的计算 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半 径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置 长度为 4 毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏， 屏与 FA 垂直。 请解决下列问题： 1. 计算直射光总功率与反射光总功率之比。 2. 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。 3. 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一次反射）。
表二 中奖 等级 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36）
基 本 号 码 特别号码 说明 基 本 号 码 特别号码 说明
一等奖 ●●●●●●● 选 7 中（7） ●●●●●● ★ 选 7 中（6+1）
二等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7 中（6+1） ●●●●●● 选 7 中（6）
16 7/33 75% 10%
15% 500 50 10 5
17 7/34 65% 15% 20% 500 30 6
18 7/34 68% 12% 20%
500 50 10 2
19 7/35 70% 15% 15% 300 50 5
20 7/35 70% 10% 20% 500
100 30 5
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏，屏与 FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过 A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点，使 AC=2AB=2.6 米。要求 C 点的光强度不小于某一额定值（可取 为 1 个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中（2）
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号码球中一个一个 地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从 01~33 个号码 中任选 7 个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中 奖等级，不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1”的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇 出 6 个基本号，再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个 组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不 考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
10
7/31 60% 15% 25% 500 50 20 10
11 7/31 75% 10% 15% 320 30 5
12 7/32
65% 15% 20% 500 50 10
13 7/32 70% 10% 20% 500 50 10
14 7/32 75%
10% 15% 500 50 10
15 7/33 70% 10% 20% 600 60 6
七等奖
●●●●○○○
选 7 中（4） ●●●○○○ ★
选 7 中（3+1）
注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单注若
已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表 三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配， 但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以 及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
序号
奖项 方案
一等奖 比例
二等奖 比例
三等奖 比例
四等奖 金额
五等奖 金额
六等奖 金额
七等奖 金额
备注
1
6+1/10
50%
20%
30%
50
表三
按序
2 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 5
按序
3 6+1/10 65% 15% 20% 300 20 5
按序
4 6+1/10 70% 15% 15% 300 20 5
表一 中奖 等级
10 选 6+1（6+1/10）
基本号码 说明
一等奖 abcdef 选 7 中（6+1）
二等奖 abcdef 选 7 中（6）
三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7 中（5）
四等奖
特别号码 g
abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7 中（4）
五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中（3）
请解决下列问题： （1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性。
B 题 彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前 流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案：先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码，每组摇出一个， 然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基 本号码（可重复），从 0~4 中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的 个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X 表 示未选中的号码）。
2002 全国大学生数学建模竞赛题目 A 题 车灯线光源的优化设计 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半 径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置 一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
D 题 赛程安排 你所在的年级有 5 个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行 10 场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢. 下面是随便安排的一个赛程: 记 5 支球队为 A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的 10 个空格中, 随手填上 1,2,(10, 就得到一个赛程, 即 第 1 场 A 对 B, 第 2 场 B 对 C, (, 第 10 场 C 对 E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入 左下三角. 这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等. 表的 右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对 A, E 有利, 对 D 则不公平.
三等奖 ●●●●●●○ 选 7 中（6） ●●●●●○ ★ 选 7 中（5+1）
四等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7 中（5+1） ●●●●●○ 选 7 中（5）
五等奖
●●●●●○○
选 7 中（5） ●●●●○○ ★
选 7 中（4+1）
六等奖
●●●●○○○ ★
选 7 中（4+1） ●●●●○○
选 7 中（4）
按序
5 7/29 60% 20% 20% 300 30 5
6 6+1/29 60% 25% 15% 200 20 5
7 7/30 65% 15% 20% 500 50 15 5
8 7/30 70% 10% 20% 200 50 10 5
9 7/30 75% 10% 15% 200 30 10 5