第二讲圆锥曲线的概念及性质.ppt

2020-11-9
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题型二 圆锥曲线的方程
(1)求椭圆 C 的离心率； (2)如果|AB|＝145，求椭圆 C 的方程． 解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y1<0，y2>0. (1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)，其中 c＝ a2－b2.
y＝ 3x－c， 联立xa22＋by22＝1
A.0， 22
B.0，12
C．[ 2－1,1)
解析：依题意，|PF|＝|FA|，而|FA|＝ac2－c，
|PF|≤a＋c，
∴ac2－c≤a＋c，∴a2≤ac＋2c2.
D.12，1
2020-11-9
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又 e＝ac，∴2e2＋e≥1，∴2e2＋e－1≥0，
即(2e－1)(e＋1)≥0，又 0<e<1，
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3．双曲线中的最值 F1，F2 为双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线 上的任一点，O 为坐标原点，则有 (1)|OP|≥a. (2)|PF1|≥c－a. (3)S△F1PF2＝ b2θ(θ＝∠F1PF2)． tan2
4．抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p>0)上的任一点，F 为焦点，则有： (1)|PF|≥p2. (2)焦点弦 AB 以通径为最值，即|AB|≥2p. (3)A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值．
∴12≤e<1，故选 D.
答案：D
拓展提升——开阔思路 提炼方法
圆锥曲线的性质是高考的必考内容，常以选择、填空形式考查，也
在大题中考查，重点考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线．
2020-11-9
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1．已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关． 解：(1)设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)， |PF1|＝m，|PF2|＝n. 在△PF1F2 中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°. ∵m＋n＝2a， ∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn， ∴4c2＝4a2－3mn，即 3mn＝4a2－4c2.
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2．如图所示，椭圆xa22＋by22＝1 上的点 M 与椭圆右焦点 F1 的连线
MF1 与 x 轴垂直，且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端 点的连线 AB 平行．
(1)求椭圆的离心率；
(2)F2 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤π2；
(3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、Q，若△PF2Q 的面积是
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5．双曲线的渐近线 (1)求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得． (2)用法：①可得ba或ab的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
2020-11-9
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题型一 圆锥曲线的概念及性质
【例 1】 (2010·四川)椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F，其 右准线与 x 轴的交点为 A.在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( )
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又 mn≤m＋2 n2＝a2(当且仅当 m＝n 时取等号)，
∴4a2－4c2≤3a2，∴ac22≥14，即 e≥12，
∴e 的取值范围是12，1.
(2)证明：由(1wk.baidu.com知 mn＝43b2，
∴S△PF1F2＝12mnsin 60°＝ 33b2， 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关．
20 3，求此时椭圆的方程． (1)解：设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
则 Mc，ba2，kOM＝abc2，kAB＝ba，
∴abc2＝ba⇒b＝c⇒a＝
得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0.
－ 解得 y1＝
33ab22＋ c＋ b2 2a，
－ y2＝
2020-11-9
3b2c－2a 3a2＋b2 .
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因为F→A＝2F→B，所以－y1＝2y2.
即
33ba22＋c＋b22a＝2·－
3b2c－2a 3a2＋b2
得离心率 e＝ac＝23.
第二讲 圆锥曲线的概念及性质
2020-11-9
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1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
定义
标准 方程 图象
|PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|)
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
||PF1|－|PF2||＝ 2a(2a<|F1F2|)
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
抛物线 |PF|＝|PM|点 F 不在 直线 l 上，PM⊥l 于
M
y2＝2px (p>0)
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范围 顶点 对称
性 焦点
几 轴
何 性 质 离心
率
准线 渐近
线
2020-11-9
|x|≤a，|y|≤b (±a,0)，(0，±b)
|x|≥a (±a,0)
关于 x 轴，y 轴和原点对称
(±c,0)
长轴长 2a，
实轴长 2a，
短轴长 2b
虚轴长 2b
e＝ac
e＝ac
＝
1－ba22
＝ 1＋ba22
(0<e<1)
x＝±ac2
(e>1)
y＝±bax
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x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称
p2，0
e＝1 x＝－p2
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2．椭圆中的最值 F1，F2 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆的任意 一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 (1)|OP|∈[b，a]． (2)|PF1|∈[a－c，a＋c]． (3)|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]． (4)∠F1PF2≤∠F1BF2. (5)S△F1PF2＝b2tanθ2(θ＝∠F1PF2)． (6)焦点弦以通径为最短．
(2)因为|AB|＝
1＋31|y2－y1|，
所以 23·34a23＋abb22＝145.
由ac＝23得 b＝ 35a，所以54a＝145，
得 a＝3，b＝ 5.
椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1.
拓展提升——开阔思路 提炼方法
求圆锥曲线的方程常利用圆锥曲线的定义或待定系数法求解，但要注意焦
点所在坐标轴，避免漏解． 2020-11-9