高等数学7-7常系数齐次线性微分方程+特征根方程+解的情况的讨论

特征根为 r1
p
p 4q p p 4q , r2 , 2 2
2 2
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
(2) 有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
解
特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为
r1 1, r2 r3 i , r4 r5 i ,
故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
x 2 5 t 2
作业
P310:1（偶），2（奇），5
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x
1 2 2
y ex (C1 cos x C 2 sin x )
思考题
yy y y 2 ln y 的通解. 求微分方程
2
思考题解答
y 2 y 2 ln y 求 yy
§7. 常系数齐次线性微分方程
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
设另一特解为 y2 u( x )e ,
r1 x
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0, u
知 u 0,
取 u( x ) x , 则 y2 xe ,
r1 x
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
rx
-----特征方程法
设 y e , 将其代入上方程, 得 ( r pr q )e 0
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
p
p 4q , 2
2
(1) 有两个不相等的实根 ( 0)
小 结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)
y py qy 0
特征根的情况
1 r2 实根r1 r2
r pr q 0
2
通解的表达式
实根r 复根r
1, 2
i
2
的通解.
yy y ln y , y 0, 2 y y y ln y , ln y x , ln y ln y , y y
令 z ln y
x
则 z z 0,
x
特征根 1
x x
通解 z C1e C 2e
ln y C1e C 2 e .
练 习 题
一、求下列微分方程的通解:
d2x dx 1、 y 4 y 0 ； 2、4 2 20 25 x 0 ； dt dt 3、 y 6 y 13 y 0 ； 4、 y ( 4 ) 5 y 36 y 0 .
若是k重根r
若是k重共轭 复根 i
若是单根 r
Ce rx ,
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一Biblioteka Baidu各一个 任意常数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程
y
(5)
y
(4)
2y
( 3)
2 y y y 0 的通解.
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y
( n)
P1 y
( n 1 )
Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
得齐次方程的通解为
y e (C1 cos x C 2 sin x ).
x
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程为 解得
r 4r 4 0 ,
2
r1 r2 2 ,
练习题答案
一、1、 y C1 C 2 e 4 x ； 2、 x (C1 C 2 t )e ； 3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x ) ； 4、 y C1e 2 x C 2 e 2 x C 3 cos 3 x C 4 sin 3 x . 二、1、 y e ( 2 x ) ； 2、 y e 2 x sin 3 x . 三、 y y 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解) 四、 M 195kg.
r1 x
;
(3) 有一对共轭复根
( 0)
r2 i ,
( i ) x
特征根为 r1 i ,
y1 e
( i ) x
,
y2 e
,
1 y1 ( y1 y2 ) ex cos x, 重新组合 2
1 ex sin x, y2 ( y1 y2 ) 2i
y (C1 C2 x )e 2 x . 故所求通解为
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1， 1 2i , 2 故所求通解为
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
二、下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、4 y 4 y y 0 , y x 0 2 , y x 0 0 ； 2、 y 4 y 13 y 0 , y x 0 0 , y x 0 3 . 三、求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使 1 , e x , 2e x , e x 3 都是它的解 . 四、设圆柱形浮筒,直径为0.5m ,铅直放在水中,当稍 向下压后突 然放开, 浮筒 在水中上 下振动的 周期为 2 s ,求浮筒的质量 .