工程力学第14章(复杂应力状态强度问题)

§14-3
关于屈服失效的强度理论
一、最大切应力理论（第三强度理论）
材料发生屈服是最大切应力引起，即最大切应力达 到某一与材料有关的极限值时材料就发生屈服。
第三强度理论的屈服准则
单向应力状态 s (材料屈服失效) s max 2 2 最大切应力(引起失效的因素)的极限值 s u 2 复杂应力状态 (材料屈服失效) 1 3 s max u 1 3 s 2 2
(
x
2
)
2
2 x
2 0 3
x
2
(
x
2
2 )2 x
2 2 r3 1 3 x 4 x
116.7 2 4 46.32 149.0MPa
r4
1 2 2 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] x 3 x 2

2
第四强度理论的强度条件 1 r4 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 3 2 剪切强度条件 按第三强度理论确定塑性材料的许用切应力 0.5 按第四强度理论确定塑性材料的许用切应力 3 0.6
2
y
(
y 2
2 ) x
10 20 10 20 2 ( ) (15)2 2 2 26.2MPa t
所以危险点的强度满足要求。
例：危险点的应力状态如图所示，其中σ = 116.7MPa ， τ= 46.7MPa 。材料为钢，许用正应力[σ] = 160MPa ，试校核 该点的强度是否安全。 解：平面应力状态，可判断钢发生塑性破坏，采用第三强 度理论或第四强度理论进行强度校核 x 116.7MPa
(材料断裂失效) t 1 ( 2 3 ) b
第二强度理论的断裂准则
t 1 ( 2 3 ) b
第二强度理论的强度条件
1 ( 2 3 )
第二强度理论的的应用与局限
t b
n
⑴ 应用：脆性材料的二向应力状态，且压应力很 大的情况。 ⑵ 局限：与极少数的脆性材料在某些受力形式下 的实验结果不吻合。
r 3 2 4 2
r 4 2 3 2
在圆轴表面处两点正应力和切应力同时有最大值，强 度条件的相当应力有最大值 3 T M d3 d T M (W WP ) WP W 32 16 按第三强度理论，强度条件 2 2 M T 2 2 r3 r3 M 4 T W 按第四强度理论，强度条件 2 2 M 0.75 T 2 2 r4 r4 M 3 T W
Mmax 56kN m
⑴ 最大弯曲正应力强度校核 Mmax 56 103 0.25 max 133.3MPa 5 Wz 2 5.25 10 ⑵ 最大弯曲切应力强度校核 根据第三强度理论 0.5 80MPa
0.5 80MPa
二、最大拉应变理论（第二强度理论）
材料发生断裂是最大拉应变引起，即最大拉应变达到 某一与材料有关的极限值时材料就发生断裂。 第二强度理论的断裂准则 单向应力状态
t b (材料断裂失效)
max
bt
E
最大拉应变(引起失效的因素)的极限值
u
bt
E
复杂应力状态 1 ( 2 3 ) bt max E E
断裂失效
材料失效的两种形式
屈服失效
·强度理论
与危险点的应 力状态无关
关于材料破坏规律的假说。一般假设材料不同应力 状态下同种失效方式由同种因素引起的。
同种失效方式引起的因素是相同的
单向应力状态的试验结果
建立复杂应力状 态下的强度条件
§14-2
关于断裂失效的强度理论
一、最大拉应力理论（第一强度理论）
危险截面的确定→危险点的确定→危险点应力状态→ 根据失效形式选择合适的强度理论。
2.强度理论的统一
ri
σri：第 i 强度理论对应的相当应力
r1 1
r2 1 ( 2 3 )
r3 1 3
r4
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2
max
FSmax [bh2 (b t )(h 2 )2 ] 8I z t
140 103 8 5.25 105 0.01
[0.113 0.252 (0.113 0.01) (0.25 2 0.013)2 ]
63.1MPa<[ ]
1 2 1 2 d s 3E 3E
s (材料屈服失效)
最大畸变能密度(引起失效的因素)的极限值
d
1 Fra Baidu bibliotek2 s 3E
最大畸变能密度(引起失效的因素)的极限值 1 2 d s 3E
复杂应力状态 1 d [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E 1 2 d s 3E
一、弯扭组合
1.内力与应力的计算
弯扭组合与弯拉（压） 扭组合
不考虑
横向力
FSy FSz M y Mz
My z Iy Mz y Iz
T IP
M
力偶矩
T
危险截面为A截面
M y Mz
T
M
My z Iy
Mz y Iz
T IP
2.强度条件 弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用 第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面A 上危险点D1的应力状态，求得 1 1 ( 2 4 2 ) 2 2 0 1 3 ( 2 4 2 ) 2
a 119.5MPa
a 46.4MPa
作点的应力状态图
x 119.5MPa
y 0
x 46.4MPa
2 2 r3 x 4 x 119.52 3 46.42 151.3MPa
所以梁的强度满足要求。
§14-4
第十四章
复杂应力状态强度问题 引言
此时危险点的应力状 态为简单应力状态
§14-1
max
杆件轴向拉压时的强度条件为：
FN u ( ) max [ ] A n
塑材 脆材
u s u b
此强度条件是建立在实验基础上的，因为极限应力是由 实验测定的。 当危险点为复杂应力状态时，也由实验来测定极限应力， 在理论上可行，但实际不可操作。因为三个主应力有无数种 数值组合或比例。
例：灰口铸铁构件危险点处的应力状态如图所，若铸铁的许 用拉应力[σt]=30MPa，试校核其强度。 解：平面应力状态，可判断铸铁发生脆性断裂，采用第一 强度理论进行强度校核
x 10MPa
y 20MPa
x
2
x 15MPa
r1 1 max


x
第一强度理论的断裂准则 t 1 b 第一强度理论的强度条件
1
bt
n
第一强度理论的的应用与局限 ⑴ 应用：材料无裂纹脆性断裂失效形式（脆性材料 二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力 值或超过不多），如铸铁圆轴的扭转破坏。 ⑵ 局限：没考虑σ2、σ3 对材料破坏的影响，对无 拉应力的应力状态无法应用。
危险截面的判定：
( M 2 T 2 )max
强度条件：
或
( M 2 0.75T 2 )max 的截面
r3
( M 2 T 2 )max W

r4
( M 2 0.75T 2 )max W

例：图所示传动轴AB 由电动机带动。已知电动机通过联 轴器作用在截面A 上的扭力偶矩为M1 = 1kN· m ，皮带紧边与 ，且 FN 2FN ，轴承C 、B 间的距 松边的张力分别为FN 与 FN 离l = 200mm ，皮带轮的直径D = 300mm ，轴用钢制成，许用 应力[σ] = 160MPa 。试按第四强度理论确定轴 AB 的直径。
y 0
x 46.3MPa
x y 2 2 max x y ( ) x min 2 2

x
2
(
x
2
2 )2 x
max x x 2 2 ( ) x min 2 2
1
x
2
材料发生断裂是最大拉应力引起，即最大拉应力达 到某一与材料有关的极限值时材料就发生断裂。
第一强度理论的断裂准则
单向应力状态 max 1 b (材料断裂失效) 最大拉应力(引起失效的因素)的极限值 u b 复杂应力状态 t max 1 u b
(材料断裂失效)
3
例：图示钢梁，承受载荷F = 210kN，许用应力为[σ]=160MPa ，截面高度h = 250mm ，宽度b = 113mm ，腹板与翼缘的厚度分别 为t =10mm ，δ = 13mm ，截面的惯性矩Iz = 5.25×10-5m4，试按第 三强度理论校核梁的强度。
解：计算支座约束力，作剪力图、弯矩图 FSmax 140kN
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] s 2 (材料屈服失效)
第四强度理论的屈服准则
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] s 2
第四强度理论的强度条件
s 1 2 2 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 2 n
第三强度理论的屈服准则 1 3 s
第三强度理论的强度条件 1 3 s n
第三强度理论的的应用与局限
⑴ 应用：材料的屈服失效形式。 ⑵ 局限：没考虑σ2 对材料的破坏影响，计算结 果偏于安全。
二、畸变能理论（第四强度理论）
材料发生屈服是畸变能密度引起，即畸变能密度达到某 一与材料有关的极限值时材料发生屈服。 第四强度理论的计算准则 单向应力状态
第四强度理论的的应用与局限
⑴ 应用：材料的屈服失效形式。
⑵ 局限：与第三强度理论相比更符合实际，但 公式过于复杂。
三、强度理论的应用
1.各强度理论的适用范围 ·断裂失效 第一、二强度理论（脆性材料的单、二向应力状 态，塑性材料的三向均匀拉应力状态）。
·屈服失效
第三、四强度度理论（塑性材料的单、二向应力 状态，脆性材料的三向均匀压应力状态）。
116.7 2 3 46.32 141.6MPa
所以无论采用第三强度理论或第四强度理论进行强度校核 ，危险点的强度满足要求。
例：试按强度理论确定塑性材料的许用切应力。 解：纯剪切应力状态的主应力 1 2 0 3 第三强度理论的强度条件 r3 1 3 2
⑶ 腹板与翼缘交界处强度校核 危险点在载荷作用右边截面(C右截面）腹板与翼缘交界处（a点）
M y 56 103 (0.125 0.013) a 119.5MPa 5 Iz 5.25 10 FS max b 2 a [h ( h 2 )2 ] 8I z t 140 103 0.113 2 2 [0.25 (0.25 2 0.013) ] 46.4MPa 5 8 5.25 10 0.01