时域分析法

3. 单位斜坡信号
单位斜坡信号的数学表达式为：
f
t
t, 0,
t0 t0
为了表示考查起始时刻，有时写为：
f t t 1t
拉氏变换为：
L
t
1t
1 s2
Hale Waihona Puke Baidu
16:19
4. 单位加速度信号
单位匀加速信号又称为单位加 速度信号，数字表达式为：
f
t
1 2
t2
,
0,
t0 t0
拉氏变换为：
L
1 2
t2
1t
忽略S1近似一阶系统的传递函数是：
3.4.13
3.4.14
16:19
当 R(s) 1 时 由3.4.14
s
拉氏反变换即时间特性：
当统的 近 似2,解 ：n 1 时， 系
系统的准确解为：
16:19
16:19
二阶系统的单位阶跃响应
1. 无阻尼状态 2. 欠阻尼状态 3. 临界阻尼状态 4. 过阻尼状态
j
s1
s2 n
(b) 1
j
s1
s2
(c) > 1
s1 j n
s2
d) 0
当 > 1 时，具有两个不等的负实根，即 s1,2 n n 2 1
此时称为过阻尼状态。如图3.6(c)所示。
当 0 时，特征根为一对共轭纯虚根，即 s1,2 jn 。称为
无阻尼状态。如图3.6(c)所示。
16:19
第三章 时域分析法
是一种最直接最基本的分析方法，所谓时域分 析法就是以时间作为独立变量，对系统施加某一典 型输入信号，通过研究系统的输入输出时间响应来 分析和评价系统的性能，又称为时间响应法，它是 描述系统微分方程的解，因此不仅取决于系统本身 的参数和结构，同时还与系统的初始状态和输入信 号的形式有关。
kt ct
L1
1 Ts
1
1
t
eT
t 0 3.2 7
T
16:19
在t=0时，单位脉冲响应值为1/T，它与单位阶跃响应在t=0时的 变化率相等 单位脉冲响应g(t)是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是 单位脉冲响应的积分。
16:19
5. 线性定常系统的重要特性
因为 d t 1t, d 1t t
负的共轭复数。此时二阶
s1
系统传递函数极点是位于 复平面左半部的共轭复数 n
极点，其极点分布与单位
阶跃响应曲线如图3.6(a)所 示，此时称为欠阻尼状态。
s2
(a)
16:19
j n 1 2
n 1 2
0 1
当 1 时，具有两个相同的负实根，即 s1,2 n 。此时称
为临界阻尼状态。如图3.6(b)所示。
dt
dt
所以速度、阶跃、脉冲信号之间有如下关系：
r脉冲
t
d dt
r阶跃
t
d2 dt 2
r速度
t
过渡过程之间有如下关系：
c脉冲
t
d dt
c阶跃
t
d2 dt 2
c速度
t
16:19
3.3 二阶系统的暂态响应
二阶系统传递函数的标准形式 二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统的性能指标 二阶系统的单位脉冲响应 二阶系统的单位斜坡响应
/ TM
s2
n2 2ns
n2
3.4.4
其中 n为无阻尼自然振荡角频率(固有频率)； 称为阻尼比；
均为二阶系统的特征参数，是系统本身的固有特性。
16:19
二阶系统的特征方程
s2
2
ns
2 n
0
3.4.5
由上式解得二阶系统的二个特征根(即闭环极点)为：
s1,2 n jn 1 2 3.4.6
当0 1时，特征根为一对实部为
2. 一阶系统的单位阶跃响应
令r t 1t ，则有R s 1，于是
s
Cs sRs 1 1
Ts 1 s 1 1
s s 1/T
t
c(t) 1 e T
16:19
系统稳态值为1，在t=0处曲线的斜率最大。一阶系统的阶跃响 应不存在峰值时间和超调量。时间常数T反映了系统的响应速 度，T越小，响应速度越快。
i 1
j 1
i 1
或
16:19
n
n
l
y(t) Ciesit Aiesit Bjesjt
i 1
i 1
j 1
其中第一项称为零输入响应，是由系统初始状态引起的自 由响应；第二、三项称为零状态响应，第二项是由输入引 起的自由响应（由输入，如作用力引起的自由振动-此自由 振动为系统本身的固有频率所决定的自由振动）；第三项 是由输入引起的强迫响应（由作用力引起的强迫振动）。
i 1
j 1
式中：第一项中由于si是传递函数的极点，因此它是零状态响应 中的暂态分量或称暂态响应；而第二项中由于sj与外界输入有关， 因此，它是零状态响应中的稳态分量或称为稳态响应。
16:19
注：上式中只有系统稳定的情况下，才能称第一项自由响 应为暂态响应。
典型输入信号：
1. 单位脉冲信号
单位脉冲信号的数学表达式为：
dt 2
dc t
dt
Kc
t
K
r
t
系统的闭环传递函数为：
16:19
s
Cs Rs
s TM s
K
1
K
3.4.1 3.4.2
二阶系统闭环传递函数的标准形式
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
3.4.3
将上述随动系统的闭环传递函数化为标准形式：
C(s) R(s)
TM
s2
K s
K
s2
s
K / TM / TM K
16:19
当-1< <0 ，特征根是位于右半平面的共轭复根，呈发散振荡 状态。如图3 .6(e)所示。
当 < -1，呈单调发散状态。如图3 .6(f)所示 P53图3.7表明了极点分布与n、 的关系图。
16:19
二阶系统的单位阶跃响应 1. 欠阻尼状态
令r t 1t，则有Rs 1
s
二阶系统在单位阶跃函数作用下输出：
16:19
二阶系统单位阶跃响应的性能指标（欠阻尼）
峰值时间
调整时间
16:19 上升时间
单位阶跃响应
最大超调量 %
%
y(t p )
y() 100 %
y()
1. 上升时间 tr 的计算
16:19
3.4.8
16:19
2.
将式 ( 3.4.8 )
（3.3-18）
16:19
3. 最大超调量
当 t t p时，系统响应出现最大值，把 t p
3.4.7
16:19
对3.4.7 传递函数进行拉氏反变换得：
将 0 代入上式
16:19
3.4.8 3.4.9
2. 临界阻尼状态
临界阻尼状态二阶系统的输出：
对上式进行拉氏变换：
16:19
3.4.10 3.4.11
3. 过阻尼状态
过阻尼状态二阶系统的传递函数展开：
3.4.12
16:19
对3.4.12进行拉氏反变换得：
(bm s m
b s(m1) m1
L
b1s b0 )X (s) N0 (s)
16:19
可以写成
Y (s) N(s) X (s) N0(s)
D(s)
D(s)
展开可得
n
Y(s)
Ai
l
Bj
n
Ci
i1 s si j1 s s j i1 s si
拉氏反变换可得
n
l
n
y(t) Aiesit Bjesjt Ciesit
16:19
针对单调上升的情况定义系统的性能指标： 无超调量、峰值时间和振荡次数的概念。理论上t时，输 出才能达到稳态值，因此对上升时间的概念要做一些修正。 调整时间的定义不变。 上升时间tr：系统的单调上升曲线达到稳态值90%的时间 也有的书上将稳态值10%－ 90%之间的时间定义为上升时间。
16:19
带入3.4.8得：
n
1 2
c t p 1
1
e
1 2
1 2 sin
因为 sin sin 1 2
型函数，称之为微分方程所描述的模态，或称为振型。若 特征根存在重根 si 时，则在模态中将出现 tesit , t e2 sit ,... 的函 数。若特征根存在共轭复根 s = j时，则在模态中出现共 轭复数模态 e , e ( j)t ( j)t 。
由传递函数的定义可知
n
l
y(t) Aiesit Bjesjt
T s
T2 Ts 1
对上式进行拉氏反变换．得系统的过渡过程：
c
t
t
T
t
Te T
系统的输入信号 r ( t )与输出信号 C ( t )的差ε( t )，即：
t
r
t
ct
t
t
T
t
Te T
T
1
t
eT
16:19
16:19
4. 一阶系统的单位脉冲响应
令r t t，则有Rs 1
因此，一阶系统在理想单位 脉冲函数作用下的过渡过程 便等于系统闭环传递函数的 拉氏反变换，即：
阶跃响应的性能指标
峰值时间
稳态误差
调整时间
上升时间
16:19
单位阶跃响应
最大超调量 %
%
y(t p )
y() 100 %
y()
3.2 一阶系统的暂态响应
1. 一阶系统的模型 2. 一阶系统的单位阶跃响应 3. 一阶系统的单位斜坡响应 4. 一阶系统的单位脉冲响应 5. 线性定常系统的重要特性
16:19
1 s3
16:19
5. 单位正弦信号
单位正弦信号的数字表达式为：
f t sint
拉氏变换为：
Lsint
s2
2
16:19
暂态响应的性能指标
控制系统的暂态响应性能指标是在零初始条件下，通过 系统的阶跃响应的特征来定义的。当然，暂态响应的分 析只对稳定系统才有意义。 在单位阶跃信号作用下，稳定控制系统的阶跃响应有衰 减振荡和单调变化两种情况，如图所示
16:19
3.1 线性定常系统的时间响应及 暂态响应性能指标
一、时间响应
线性系统的动态方程
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1y&(t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) L b1x&(t) b0x(t)
经过拉氏变换得
(ansn an1sn1 L a1s a0 )Y (s)
上升时间的计算：
tr
1 e T 0.9 tr 2.3T
调节时间的计算：
c(ts ) c()
ts
3T 0.05
1 e
T
1
ts
4T
0.02
16:19
3. 一阶系统的单位斜坡响应
令r
t
t，则有R
s
1 s2
输出信号C( t )的拉氏变换为：
C s
1 Ts 1
1 s2
1 s2
时域分析主要包括暂态特性分析(快速性)及稳态 误差分析(准确性)。在分析系统的暂态特性(又称瞬 态特性、动态特性、过渡过程等)时，时域分析可以 给出系统输出的准确时间响应曲线和性能指标，具 有16明:19 显的物理含义。
基本内容
典型输入作用下时域性能指标，一阶系统的瞬态 响应；二阶系统的瞬态响应；高阶系统的闭环主导 极点及其分析方法；稳定性的概念及代数判据；稳 态误差、稳态偏差的概念及其计算。
对于实际的控制系统，在未加输入信号之前，假设初始状 态为零是完全合理的。因此控制工程中所研究的时间响应 一般是指零状态响应。
16:19
n
n
l
y(t) Ciesit Aiesit Bjesjt
i 1
i 1
j 1
当系统的特征根为互异时，其时间响应为 es1t , es2t ,..., esnt
16:19
首先对衰减振荡的情况定义系统的性能指标： 1 上升时间tr：系统的单位阶跃响应第一次达到稳态值的时 间
2 峰值时间tp: 响应第一次达到峰值的时间 3 最大超调量Mp: 响应的最大值与稳态值的差值与稳态值比值 的百分数
4 调整时间ts: 输出第一次衰减到给定误差带内，并不再超出 误差带的时间 5 振荡次数N: 在过渡过程时间内，输出穿越稳态值次数的一 半
1. 一阶系统的模型
右图所示电路的输出信号与输人信 号的关系可用下列微分方程表示：
或
RC
du2
dt
t
u2
t
u1
t
T
du2
dt
t
u2
t
u1
t
描述一阶系统动态特性的微分 方程的一般标准形式是：
T dc t c t r t
dt
求得一阶系统的闭环传递函数：
s
C s Rs
1 Ts 1
16:19
本章重点：二阶系统的阶跃响应及性能指标与参 数的关系，高阶系统闭环主导极点的概念及其分析 方法，Louth（劳斯）判据的应用，稳态误差及稳态 偏差的计算。
16:19
3.1 线性定常系统的时间响应及暂态响应性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性 3.6 代数稳定判据 3.7 代数系统的稳态误差 3.8 稳态误差分析与计算
t
,
0,
t0 t0
其拉氏变换为：
(t)dt 1
L t 1
16:19
2. 单位阶跃信号
a. 单位阶跃信号的数学表达式为：
r
t
1 0
t0 或 t0
f t 1t
其拉氏变换：
R
s
L
r
t
L
1
t
1 s
b. 非单位值情况下，它的数学表达式为：
f t A1t
其拉氏变换：
16:19
L
A
1
t
A s
16:19
一般的控制系统多数为高阶系统，但是它们有可 能在一定的条件下用二阶系统去近似。因此，对 于二阶系统的分析具有重要的实际意义。在系统 的分析与设计中，通常将二阶系统的响应特性作 为一种基准。
16:19
二阶系统传递函数的标准形式
某随动系统方块图
如图所示随动系统的微分方程式：
TM
d
2c t