直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角：一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线 的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．直线的倾斜角的范围为 [)π,0．2、直线的斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即该直线的斜率k ＝tan α；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．3．斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的 斜率公式为：()212121x x x x y y k ≠--= ． 若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．注意：直线的斜率tan k α=（2πα≠）关于倾斜角α的函数的图像练习1．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝ y ＝－3. 2、已知直线AB 的斜率为34，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率。
133．已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝15，则l 的斜率为 －434．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角θ的范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 解：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为α=π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴ 斜率k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4. 综上知，倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 5、设直线12=+my x 的倾斜角为α，若),2[)32,(+∞--∞∈ m ，则倾斜角α的取值范围是5. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x ≤1)，试求：23++x y 的最大值与最小值.解：由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3） 与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ，由已知可得：A （1，1），B （-1，5），∴34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为34. 5、若直线（m2－1）x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是 提示：－2m ＋1≤0且m 2－1＜0 或 m 2－1且－2m ＋1＜0 解得 1/2≤m ≤1x6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ()π6，π2解：直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6， 满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2. 作业1、若直线2:1++=k kx y l 与42:2+-=x y l 的交点在第一象限，则k 取值范围是2、直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围是 [π4，π3] 解：∵2x cos α－y －3＝0 ，∴y ＝2cos α·x －3. ∵π6≤α≤π3， ∴12≤cos α≤32， ∴1≤2cos α≤ 3. ∴k ∈[1，3]． ∴θ∈[π4，π3]． 3. 直线ax+y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a 的取值范围是 (][)+∞⋃-∞-,12,4、已知点A （－3，4）、B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点。
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1. 斜率的定义斜率是平面直角坐标系中一条直线倾斜程度的度量。
斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度以及方向。
在数学中，斜率通常用m表示，它表示一条直线在水平方向的单位偏移所对应的垂直方向的单位偏移的比值。
也可以理解为直线上两点之间的垂直高度差与水平距离的比率。
假设一条直线上有两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，那么这条直线的斜率就可以表示为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 直线的倾斜角度直线的倾斜角度也叫直线的斜率角，可以帮助我们更直观地理解一条直线的倾斜程度和方向。
与斜率相比，倾斜角度更易于理解和使用，尤其是在实际测量和应用中。
直线的倾斜角通常用θ表示，计算公式如下：tan(θ) = m其中tan(θ)表示正切函数，它可以是斜率m的反函数。
因此，直线的倾斜角通常可以表示为：θ = atan(m)而atan表示反正切函数，它可以将斜率转化为对应的弧度角，从而帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜程度。
3. 应用举例下面通过一个具体的应用举例来理解斜率和倾斜角度的概念。
假设我们需要计算一条直线的倾斜角度和斜率，该直线穿过两个点P(3, 4)和Q(5, 8)。
首先，我们需要计算该直线的斜率：m = (8 - 4) / (5 - 3) = 2然后，我们可以将该斜率转化为对应的倾斜角度：θ = atan(2) = 1.107 rad也就是说，该直线的倾斜角度是1.107弧度，约等于63.43度。
这意味着，在平面坐标系上，该直线与水平方向的夹角为63.43度。
可以看出，倾斜角度可以帮助我们更直观地理解直线的倾斜程度和方向，从而更方便地进行测量和计算。
4. 总结斜率和倾斜角度是描述一条直线倾斜程度和方向的重要概念。
它们可以帮助我们更直观地理解一条直线的特性，并且在测量和计算中有广泛的应用。
需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择使用斜率或倾斜角度，以获得更准确的结果。
直线的倾斜角和斜率
A. B. C.
D.
6.经过P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），
B（2,1）的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率的
范围.
y
解：如图所示：
kPA
2 (1) 1 0
1,
1 (1)
kPB 2 0 1,
P
由图可观察出：
A
直线l倾斜角的范围是00 450 和1350 <1800;
不适用,因为分母为零
问题2：当直线平行于y 轴，或与y 轴 重合时，上述斜率公式还适用吗？为什 么？
问题3：当直线 P2与P1x 轴平行或重合时，上述式子还成
立吗？为什么？
成立,此时为0
经过两点 P1(x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 )(x1 x2 )
斜率公式为：
tan y2 y1 . x2 x1
直线l的斜率k的范围是[-1,1].
B x
直线的倾斜角和斜率
倾斜角
斜率Βιβλιοθήκη 概念范围 概念存在
求解公式
20XX
HANKS
很少会纠缠有希望和信心的人。
| QP2 | P1Q
| |
y2 x2
y1 x1
.
两点的斜率公式
当 为钝角时，
在Rt 中 180 QP1P2 , x1 x2 ,
y1 y2 . tanl tan(180 ) tan .
P1
P1PP22Q
∟
tan
| QP2
|
y2
y1
y2
y1
.
| P1Q | x1 x2
2.图l1 中的直线l1, l2 , l3的l2斜率k1 , k2 , k3的大l小3 关系为_k_1 __k_3 __k2_.
直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念，在解决直线问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。
一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。
它通常用角度或弧度来度量。
倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势，以及直线的陡峭程度。
倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2]，其中正值表示线段向右上方倾斜，负值表示线段向右下方倾斜。
要计算直线的倾斜角，需要从直线上选择两个确定点。
假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则倾斜角可以通过求解以下公式得出：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中，arctan 表示反正切函数，计算结果可以用角度或弧度来表示。
二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。
斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。
通常情况下，斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。
对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示，分母表示直线上两个点之间的水平距离，分子表示两个点之间的垂直距离。
斜率也可以是整数、小数或无穷大。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，表示直线为水平线。
三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。
斜率可以通过直线的倾斜角计算得到，也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。
通过倾斜角计算斜率的公式如下：斜率 = tan(倾斜角)其中，tan 表示正切函数。
通过斜率计算倾斜角的公式如下：倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。
数学直线的倾斜角与斜率公式
数学直线的倾斜角与斜率公式数学直线是数学中一个重要的概念，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
其中直线的斜率与倾斜角也是数学中最基础的概念之一。
下面我们将介绍直线的斜率与倾斜角的基本概念及公式。
一、直线的斜率公式直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中的倾斜程度，用于表示其在平面直角坐标系中的方向。
直线的斜率公式如下：斜率 k = （y2 - y1）/ （x2 - x1）其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别为直线上的两个点。
在计算斜率时，需要注意的是需要判断两点横坐标是否相等，因为此时斜率是不存在的。
二、直线的倾斜角公式直线的倾斜角是指直线与平面直角坐标系的 x 轴正方向所成的角度。
直线的倾斜角公式如下：倾斜角θ = atan k其中 atan 表示反正切函数，k 为直线的斜率。
需要注意的是，计算倾斜角时需要注意角度的参考系，一般以平面直角坐标系的 x 轴正方向为参考系。
三、斜率与倾斜角的关系斜率与倾斜角是相互关联的。
当我们知道一条直线的斜率时，可以通过求取反正切函数得到该直线的倾斜角。
相反地，当已知一条直线的倾斜角时，可以通过求取正切函数得到对应的斜率。
斜率k = tan θ倾斜角θ = atan k四、直线的性质在数学中，直线有许多重要的性质，这些性质不仅在理论研究中得到应用，也在实践中得到广泛应用。
其中一些性质如下：1. 相互垂直的两条直线的斜率乘积为 -1。
2. 直线的截距是指该直线与 y 轴的交点坐标，可以用斜率和另一个已知点来求解。
3. 两条直线互相平行的斜率相等。
4. 两条直线的夹角公式可以用两条直线的斜率求解。
5. 直线的点斜式表示法可以用已知点和斜率求解。
综上所述，数学直线的斜率与倾斜角是数学中重要的概念，通过斜率和倾斜角可以描述直线的方向和倾斜程度，同时也可以用于求解直线的其他性质。
通过了解这些概念和公式，可以更好地理解和应用数学的基础知识。
直线倾斜角斜率
直线倾斜角斜率
（原创实用版）
目录
1.直线倾斜角与斜率的定义
2.直线倾斜角与斜率的关系
3.直线倾斜角斜率的计算方法
4.直线倾斜角斜率的实际应用
正文
1.直线倾斜角与斜率的定义
在数学中，直线倾斜角是指直线与水平方向的夹角，通常用α表示。
而斜率是指直线在平面坐标系中，沿水平方向每移动一个单位，垂直方向上移动的单位数，通常用 k 表示。
2.直线倾斜角与斜率的关系
直线倾斜角和斜率是直线的两个基本属性，它们之间有着密切的关系。
根据三角函数的定义，斜率 k 等于直线倾斜角α的正切值，即 k=tanα。
由此可知，直线的倾斜角和斜率是可以互相转换的。
3.直线倾斜角斜率的计算方法
计算直线倾斜角斜率的方法有多种，其中最常用的是使用三角函数。
假设直线上一点 P 的坐标为 (x1, y1)，另一点 Q 的坐标为 (x2, y2)，那么直线的斜率 k=(y2-y1)/(x2-x1)。
而直线倾斜角α可以通过反正切函数计算，即α=arctan(k)。
4.直线倾斜角斜率的实际应用
直线倾斜角斜率在实际生活中的应用非常广泛，例如在工程测量、地理信息系统、计算机图形学等领域都有重要的应用。
在工程测量中，通过
测量直线的倾斜角和斜率，可以精确地确定直线的位置和方向；在地理信息系统中，通过计算直线的倾斜角和斜率，可以准确地表示地理信息的空间关系；在计算机图形学中，通过计算直线的倾斜角和斜率，可以精确地绘制图形。
总的来说，直线倾斜角斜率是直线的基本属性，它们之间的关系密切，计算方法多样，应用广泛。
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率都是用来表示直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”这个侧面来刻 画直线倾斜程度的，是一个几何量；而斜率则是从“数”这个侧面来表示直线倾斜程度的， 是一个数量.它们之间既有联系又有区别.【倾斜角】当直线l 与x 轴相交时，x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l 的倾斜角. 规定.当直线l 与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围：α∈[0，π).【斜率】当直线l 的倾斜角α≠π2时，α的正切值叫做直线l 的斜率.记作k=tanα.特别地，当α=π2时，直线的斜率不存在.注意：任何直线都有一个确定的倾斜角α，且α∈[0，π)；但是并非任何直线都有斜率，如当α=π2时，其斜率就不存在.【斜率与倾斜角间的函数关系】k=tan α，α∈[0，π)且α≠π2.其对应的函数图像如图3.1—1所示.在处理已知斜率求倾斜角或已知倾斜角的关系寻求斜率的相应关系 时，要充分地利用图3.1—1来“看图说话”.k >0⇔α为锐角；k <0⇔α为钝角.【斜率的两种求法】1.当已知倾斜角α且α≠π2时，利用k=tanα求之.2.当已知两点的坐标A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，利用 k =y 2−y1x 2−x 1(x 1≠x 2)求之.例1.(1)已知直线的倾斜角为α，且sinα= 45，则此直线的斜率为( ).A.43. B.− 43. C.± 43. D ± 34.(2)若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是_ . 解:(1) ∵ 直线的倾斜角α∈[0，π)且sinα=45，∴ cos α=±35，∴ k=tanα=± 43. 应选C.(2)由已知有k PQ =a−12+a ，∵ 直线PQ 的倾斜角为钝角，∴ k PQ <0，解得a ∈(－2，1).例2.(1)若直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R)，求直线l 的倾斜角α的取值范围. (2)若直线l 的倾斜角α∈[π6，2π3)，求直线l 斜率的取值范围.解:(1)∵ 直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R), ∴ 直线l 斜率k≤1，结合图3.1—1知， 直线l 的倾斜角α的取值范围为α∈[0,π4]∪(π2,π).O xy。
直线的倾斜角和斜率
必修2 第二章直线的倾斜角与斜率1． 直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当 时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于( )A .–8B .10C .2D .4 3．直线6x +=的斜率是 ，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直215．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。
倾斜角与斜率
B.1
C.－1
D.－2
2－3 由题意知，tan 45°＝1－m，得 m＝2.
1234
3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝___3__，直线AB的倾 π
斜角为__4___.
因为A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线， 1＋2 2－1
所以 kAB＝kBC，即2＋1＝x－2， 解得 x＝3，设直线 AB 的倾斜角为 θ，由 tan θ＝1 得 θ＝π4， 所以直线 AB 的倾斜角为π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知点 A( 3，1)，B(3 3，3)，则直线 AB 的倾斜角 θ 是
A.60°
√B.30°
C.120°
D.150°
kAB＝3
3－1 3－
＝ 3
33，
∴tan θ＝ 33且 0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__0_°<__α_≤__9_0_°__. (其中m≥1)
当m＝1时，倾斜角α＝90°； 3－2
当 m>1 时，tan α＝m－1>0， ∴0°<α<90°. 故0°<α≤90°.
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五
课时对点练
基础巩固
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1)
反思感悟
倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率一、直线的倾斜角设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的倾斜角θ可由以下公式计算：θ = arctan((y2 - y1)/(x2 - x1))其中arctan为反正切函数，可以通过计算器或数学软件来求解。
二、直线的斜率直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。
设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的斜率k可由以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)直线的斜率可以表示为一个有理数或无理数。
当斜率为一个有理数时，可以表示为一个分数。
当斜率为无理数时，可以通过计算器或数学软件来求解其近似值。
在计算斜率时，需要注意以下几点：1.当直线为垂直于x轴的直线时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为90°。
2.当直线为水平于x轴的直线时，斜率为0。
此时直线的倾斜角为0°。
3.当直线为x轴时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为180°。
三、求直线方程知道直线的倾斜角和斜率后，我们可以求直线的方程。
1.已知倾斜角θ，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算斜率k：k = tan(θ)2.已知斜率k，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算倾斜角θ：θ = arctan(k)3.已知斜率k和直线上一点P(x1,y1)，直线的方程可以通过以下公式获得：y-y1=k(x-x1)或者y=k(x-x1)+y1其中y1和x1为直线上已知的一点的坐标。
需要注意的是，当直线为垂直于x轴的直线时，直线的方程可以表示为x=c的形式，其中c为一个常数。
四、例题分析1.已知直线过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线的倾斜角和斜率。
根据公式，直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan((4-2)/(3-1)) = arctan(2/2) = arctan(1) ≈ 45°直线的斜率可以通过以下公式计算：k=(4-2)/(3-1)=2/2=1所以，直线的倾斜角为45°，斜率为12.已知直线的倾斜角为60°，过点P(2,3)，求直线的斜率和方程。
直线的倾斜角与斜率)
直线的倾斜角与斜率【知识要点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．知识点二：直线的斜率倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．知识点三：斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式..斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由、点的坐标求的值；(2)已知及中的三个量可求第四个量；(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；(4)证明三点共线.知识点四：两直线平行设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.知识点五：两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【规律方法指导】1．由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．2．直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方程的求解等．3．我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；4．判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；5．平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.【经典例题透析】类型一：倾斜角与斜率的关系已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；类型二：斜率定义已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率类型三：斜率公式的应用求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．类型四：两直线平行与垂直四边形的顶点为，，，，试判断四边形【典例精析】例1．直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 ．1l2l3l例2．已知三点A(1，-1)，B(4，-2)，C (-2,0)，证明A 、B 、C 三点共线．例3．（1）若过原点O 的直线l 与连结P(2,2)，Q(6,23)的线段有公共点，求直线l 的倾斜角和斜率的取值范围．（2）已知实数x ，y 满足y=x 2-2x+2（-1≤x ≤1），求y+3x+2的最大值和最小值．【课堂练习】 （一）、判断正误：①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan . （ ） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β. （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率 （ ）④因为平行于y 轴的直线没有斜率，所以平行于y 轴的直线没有倾斜角（ ） （二）选择题1.直线l 经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是( ) A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4π2.过点P (－2,m )和Q(m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或43.斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a ,b 的值是( ) A.a =4,b =0 B.a =－4,b =－3 C.a =4,b =－3 D.a =－4,b =34.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) 王新敞A.k ≥43或k ≤－4B.－4≤k ≤43C. 43≤k ≤4D.－43≤k ≤4（三）填空题：5.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 .6.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .7.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 .8.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 9.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 11.已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________.12已知直线l 过A (－2,(t +t 1)2)、B (2,(t －t1)2)两点，则此直线斜率为 ,倾斜角为___13.已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21，则x =（四）解答题：14.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α＝32π； （2）α＝89°； （3）α＝2.15.已知两点A (－3,4)、B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.16.过P (－1,2)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线的斜率和倾斜角.。
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on tan P2 PQ 1 PQ x x 1 2 1
x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180
新课讲解 一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义： 当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾 斜角
y
0
x
注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。
练习巩固倾斜角的概念：
例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
y
a
C D
l
y
p x
x
x
p
o
l
x
l
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
0 180
想一想
你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。
对
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
错
新课讲解
3、直线倾斜角的意义 体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确 定的倾斜角。
10
二、直线的斜率
定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率
通常用k表示，即：
k tan
锐角
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )
k tan
能不能构造一 个直角三角形 如图，当α为锐角时， 去求？
P ( x1 , y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
y
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
o
Q( x2 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
Q( x2 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
(3) P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) 已知直线上两点 1 2 运用上述公式计算直线 AB 斜率时，与 P , P 两点坐标 1 2 的顺序有关吗？ 当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用 吗？为什么？
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
1.两个概念—直线的斜率、倾斜角； 2.两个问题—---（1）已知直线上两点如何求斜率； （2）已知一点和斜率如何画出直线。 3.平面解析几何的本质 用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结 合的重要数学思想。
直线的倾斜角与斜率
学习目标
1、理解倾斜角的概念；
2、理解斜率的概念； 3、会求解直线的斜率
1
课堂引入 确定直线的要素
两点 (1) _______确定一条直线. 无数条 (2) 过一个点有________条直线.
. .
y
o
y
.
x o x
2
确定直线位置的要素除了点之外,还有直线 的方向,也就是直线的倾斜程度.
倾斜程度 倾斜角
倾斜角相同能确定 一条直线吗？ 相同倾斜角可作无数 互相平行的直线
l3
y
l 2 l1
o
x
新课讲解
楼梯的倾斜程度用坡度来刻画
2m
1.2m
3m
高度 坡度= 宽度
3m 坡度越大，楼梯越陡．
9
直线倾斜程度的刻画
直线
级宽 级高
y Q
P
高度 宽度 M
类比思想
o
x
ＭＰ 直线的倾斜程度= ＱＭ
Q( x2 , y1 )
P ( x1 , y1 ) 1
o
x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
tan 在RtP2QP中 1 y2 y1 P2Q tan x1 x2 PQ 1
0
1、当 p1 p 2 的位置对调时， k值又如何呢？
17
x
o
(4)
x
问题5： 直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？ y y k>0
p
O
.
（1）
直线从左下 x 方向右上方 倾斜
.
p
O
（2）
k<0 直线从左上 方向右下方 x 倾斜
y
O
.
p
（3）
k=0 x
直线与x轴平 行或重合
y
.
（4）
k不存在 p 直线垂直于 x轴
15
O
x
练习 1.下列哪些说法是正确的（ ） E、F
x x o
x
o
o
a
B
y
a
o
x
a
例2.看看这三条直线 l 1
l 2 l3 ，它们倾斜角的大小 关系是什么？设倾斜角分别为 1 2 3
3 2 1
l1
o
y
l2
l3
x
新课讲解
2、直线的倾斜角范围的探索
规定：当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°
y o y p o
l
y p o