理论力学第四章 转动参照系
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转动参照系
例：一光滑直管中有一质量为 m 的 一光滑直管中有一质量为 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 初始条件： 初始条件：小球距转轴为 a, 球相对 于管子的速度为零。分析小球的运 于管子的速度为零。 动规律和受到的约束反作用力。 动规律和受到的约束反作用力。 z
y
ω
N F离 x
& x = Aωeωt − Bωe−ωt
[ 例 ]( 续)
& 初始条件： 当 t = 0 时，x = a, x = 0 初始条件：
A= B = a/ 2
a ω t −ω t 于是得到小球的运动规律： 于是得到小球的运动规律： x = (e + e ) 2 & Nz = −2mωx = −maω2 (eωt − e−ωt )
F科
v v v v & F = −2mω ×v' = 2mω x k 科 v v v v v && = mg + F + F + N mr C 科 离
m&& = mω2 x x m&& = 0 = Ny − mg y & m&& = 0 = 2mω x + Nz z
v v 2v 2 F = mω r = mω x i 离
特殊情况：定轴转动，恒定角速度
v dω ≡0 dt
M
三、 相对 平衡
v v v v v 2 ma' = F + mω R − 2mω × v'
三、相对平衡 质点相对于转动参照系静止不动的问题，
ω R
P
θ
O
v v 即 v' = 0, a' = 0 v v v v v v v v v v & × r − m(ω⋅ r )ω + mω2r − 2mω × v' = 0 ma' = F − mω
四章转动参考系-PPT精选文档
牵连加速度vt是动参考系（刚体）上与点P重合的点（牵连点
）的瞬时加速度。
牵连加速度vt也可以看成是在该瞬时将P点固结在动参考刚体
上，跟随动参考刚体一起运动时所具有的加速度，即受动参考
刚2体0s‘s的系系拖中中带的的或观观牵察察连者者而只只产能能生观观的测测加到到速v度v和 观和 。无a测a法不区到分 中v 的v 、 v e 、 va 和 、 a vt和 ea c
v
a ( x y y ) i ( y x x ) j ( x y ) d i ( y x ) d j
牵
3、 (y ix j)由 于 平r 板作变角速度转动所引起
连 加
的加速度，切向加速度
速
度
第四章
？ 4、2 ( y i x j ) 2 k 称v 为 科2 里 奥v 利加速度
方向垂直于与 v构成的平面，在平板平面内。
第四章
OP ＝R 时的速度
动点－P
定系－地面OXY
动系－直管oxy
绝对速度 va＝？
相对速度 vr ＝u＝ui 牵连速度 ve ＝(Rω) j
yY
va x
vr P
X
O
P
v a v e v r v e j v r i R j u i
第四章
二、加速度合成公式
牵连速度ve是动参考系（平面转动参考系）上与点P重
合的点(称为牵连点）的瞬时速度。
牵连速度ve也可以看成是在该瞬时将P点固结在
动参考刚体上，跟随动参考刚体一起运动时所具 有的速度，即受动参考刚体的拖带或牵连而产生 的速度。
）的瞬时加速度。
牵连加速度vt也可以看成是在该瞬时将P点固结在动参考刚体
上，跟随动参考刚体一起运动时所具有的加速度，即受动参考
刚2体0s‘s的系系拖中中带的的或观观牵察察连者者而只只产能能生观观的测测加到到速v度v和 观和 。无a测a法不区到分 中v 的v 、 v e 、 va 和 、 a vt和 ea c
v
a ( x y y ) i ( y x x ) j ( x y ) d i ( y x ) d j
牵
3、 (y ix j)由 于 平r 板作变角速度转动所引起
连 加
的加速度，切向加速度
速
度
第四章
？ 4、2 ( y i x j ) 2 k 称v 为 科2 里 奥v 利加速度
方向垂直于与 v构成的平面，在平板平面内。
第四章
OP ＝R 时的速度
动点－P
定系－地面OXY
动系－直管oxy
绝对速度 va＝？
相对速度 vr ＝u＝ui 牵连速度 ve ＝(Rω) j
yY
va x
vr P
X
O
P
v a v e v r v e j v r i R j u i
第四章
二、加速度合成公式
牵连速度ve是动参考系（平面转动参考系）上与点P重
合的点(称为牵连点）的瞬时速度。
牵连速度ve也可以看成是在该瞬时将P点固结在
动参考刚体上，跟随动参考刚体一起运动时所具 有的速度，即受动参考刚体的拖带或牵连而产生 的速度。
转动参考系
第四章转动参照系本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度1、v和a的计算公式速度：（为牵连速度）加速度：其中，牵连加速度a l为：（转动加速度+向心加速度）科里奥利加速度：2、科里奥利加速度a c①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）解：（1）相对动系（直角三角形）的速度v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）A点的牵连速度（方向垂直）由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速牵连加速度，大小，方向沿科氏加速度注意到，所以其大小方向与AB边垂直（见图4.1.1）由，利用矢量合成法则则得到：与斜边的夹角第二节空间转动参照系本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
第四章转动参照系
(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)
d G dGx dGy dGz i j k ,是 i , j , k 固定不动时的 G 变化率. 式中 dt dt dt dt
*
* dG dG 故 包含两部分:一为观测者在 S 系所观测出来的 G 的变化率 dt dt
(4.2.10)
式中
d 2 at r ( r ) r dt * d r ac 2 2 v dt
(4.2.11)
如质点 P 固着在 S 系上不动,则 v 0 ,故 a 0， ac 0 ,而 a 与 at
其中 又
vM vA AM vr vA R r j , AM r j
rr R
故
R r r
R vr r AM AM R j r
dt dt di dj dk dr yj zk x y z v xi dt dt dt dt y)i ( y x) j (x
（4.1.3）
及y 为 P 对转动参照系 上式中的 x （平板） 诸轴的分速度，
2
2 处可仍按原先 O12 的径向及横向进行投影,因此
vr [v cos t (r vt )sin t ] v [v (r vt )t ] v 2rt
(1)
v [(r vt )cos t v sin t ] r
相等.所以 a t 只和 S 系的转动有关,故称为牵连加速度.它又包括
第四章转动参考系
r ac
2r vr
——科里奥利加速度
是由于质点P对转动的 S 系有一相对速度，从而 与 v 相互 影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。
对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加 速度与科里奥利加速度三者的矢量和。
注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一 个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照 系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。
2 x&
r j
2ωr
(
r x&i
r y&j )
2ωr
vr
其方向则垂直于 与 v所决定的平面，在平
面问题中， 恒沿k方向，故 2 v为位于
x、y平面内的矢量，其指向由右手螺旋法则
决定（如图所示）。这个加速度叫科里奥利 加速度，简称科氏加速度。
科氏加速度是由于在S系中的观察者看来，牵连运动 （即 ）可使相对速度 v 发生变化，而相对运动（即v ）又同 时使牵连速度 ω r 中的 r 发生改变，即科氏加速度是由牵连
本章重点
质点在转动参照系中相对运动微分方程的 建立和求解。
Chapter 4 转动参考系内容
4.1 平面转动参考系 4.2 空间转动参考系 4.3 非惯性系动力学(二) 4.4 地球自转产生的影响
4.1 平面转动参考系
设平面转动参照系S 以角速度 绕垂直 于自身的轴转动，如图所示，在动系 S上
Chapter 4 转动参考系
质点在非惯性系中的运动规律。也就是 研究参照系具有加速度时，如何描述质点的 运动规律。
非惯性系转 平动 动参 参照 照系 系
基本要求
深刻理解转动参照系中相对运动、牵连 运动、牵连加速度、科里奥利加速度、牵连 惯性力、科里奥利力等基本概念，特别是科 里奥利力产生的原因及实质；熟练掌握绝对 速度、绝对加速度和相对运动微分方程及其 应用 。
第四章 转动参照系
由动系角速度变化引起 m r mat 2 惯性离心力 m r mac 2m v 科里奥利力
d a a r r 2 v 2、定点转动参照系 dt d 2 ac 2 v at r r r dt m r 由动系角速度变化引起 2 mat m r m r 2 或 m r ＝m R “惯性离轴力” mac 2m v 科里奥利力 d note特例： 若 常矢， 0 dt
二、平面上任一点的速度 P点的绝对速度：
y
p
P点的位矢r ，在动系中表示为： r xi yj
* d r d d r v xi yj r dt dt dt
O
/z
r
x
k
i y j yi xj v r v x
dt
a v
三、平面上任一点的加速度：
dv d a v r dt dt d v d dr r dt dt dt a r 2 v r
解：如图建立固定在三角形上的坐标系。
y
A P
平面转动参照系问题，满足：
v v r 2 a a r r 2 v
b b v j k bi j 2i 1 2 j 2 2
设任意p点的位矢在动系中表示为： r xi yj zk dr d *r 1、速度 v r dt dt * d v d v 2、加速度 a v dt dt * * d* d r d r r r dt dt dt
转动参考系
x 0, y 2gt cos , z g
两次积分, 并考虑初始条件, 得
x 0, y 1 gt3 cos , z h 1 gt 2
3
2
消去时间, 得到轨道方程
y2 8 2 cos2 z h3
9g
到达地面
y 1 8h3 cos
力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭.
而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者
冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题
假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
t 0, x y z 0, x y 0, z h
2 科里奥利力
当物体 (质点) 相对地球运动时, 应同时考虑惯性 离心力和科里奥利力的作用. 由于质点离地轴的距离 的变化不太大, 惯性离心力可以用重力代替. 研究质点 运动只要考虑科里奥利力.
例一质 点在北半球的某点P上以 速度 v' 相对于地球运动, P点的纬
度的 角为 速. 度图中就S沿N是着地该轴轴,.
也可以简写a为
a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
其中
aa'tddd2td**2rt
r
r
d *
dt
r
r
2
r
ac
2
d*r dt
2
v'
两次积分, 并考虑初始条件, 得
x 0, y 1 gt3 cos , z h 1 gt 2
3
2
消去时间, 得到轨道方程
y2 8 2 cos2 z h3
9g
到达地面
y 1 8h3 cos
力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭.
而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者
冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题
假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
t 0, x y z 0, x y 0, z h
2 科里奥利力
当物体 (质点) 相对地球运动时, 应同时考虑惯性 离心力和科里奥利力的作用. 由于质点离地轴的距离 的变化不太大, 惯性离心力可以用重力代替. 研究质点 运动只要考虑科里奥利力.
例一质 点在北半球的某点P上以 速度 v' 相对于地球运动, P点的纬
度的 角为 速. 度图中就S沿N是着地该轴轴,.
也可以简写a为
a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
其中
aa'tddd2td**2rt
r
r
d *
dt
r
r
2
r
ac
2
d*r dt
2
v'
理论力学第四章 转动参照系
y
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
真实性
质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
引入 Se mae
aa ae ar ac
（牵连惯性力） （科氏惯性力）
mar F mae mac
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
真实性
质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
引入 Se mae
aa ae ar ac
（牵连惯性力） （科氏惯性力）
mar F mae mac
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
理论力学第4章转动参考系
v v r
相对速度 牵连速度
▪ 对于刚体来说，上一章的 公式显然没有第一项 v 。
▪ P 点对静止系的加速度
▪ 科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
▪ 在静止系中的观察者看来, 牵连运动(即 ) 可使相对速度 v 发生改变, 而相对运动 ( 即 v ) 又同时使牵连速度 r 中的 r 发生 改变, 即科里奥利加速度 2 v 是由牵连 运动与相对运动相互影响所产生的. ▪ 其方向垂直于 及 v 所决定的平面并且依右
手螺旋法则定其指向. ▪ 如 与v 者中有一为零, 则此项加速度即为零.
§4.2 空间转动参考系
G Gx i G y j Gz k
di dj dk i , j, k dt dt dt
§4.1 平面转动参考系
▪ 在平板参考系上取坐标系 O xy, 它的原点 和静止坐标系原点 O 重合, O xy绕着通过
O点并垂直于平板的直线(即z轴)以角速度
转动.令单位矢量 i , j 固着在平板上的
x轴
和 y 轴上. P 为平板上运动着的一质点
▪ 因 P 和坐标轴都以 转动 所以有 di dj j , i dt dt
为 a0
2 ma F ma0 m r m( r ) m r 2m v
§4.4 地球自转所产生的影响
第24讲结束
r xi yj
▪ 则 P 点相对静止坐标系的速度（不是对平板， 因为对平板， i , j 都是常矢量）为
dr di dj dk i y j z k x v x y z dt dt dt dt y )i ( y x) j (x
第四章转动参照系
ma F Ft Fc A ( B C ) B( A C ) C ( A B) d F [m r m ( r )] 2m dt
r xi yj zk(空间关系) k
d dr d 0 ( xi yj zk ) dt dt dt d ( xi yj zk ) ( xi yj zk ) dt
第四章 转动参照系
一、空间转动参照系
S 固定参照系
r
P
z
强调： r 具有双重身份！！！
S 运动参照系（绕定点O转动）
o
y
dr dt
*
x
r
d r dt dr d = xi yj zk dt dt * dr = r dt
特例2：角速度为常矢量的空间转动参照系
y
r
x
o
y )i ( y x ) j zk ( x
*
z S系 S 系
P o
o xyz
R
d d 2 a r r r 2 dt dt * d 2 a 0 R 2 dt
* d d a a dt dt * d d r a dt dt * * * d d d d * r r r dt dt dt dt r d * d * d *r r 2 r r dt dt dt * d d r dt dt * d d 2 a r r r dt dt d 2 a a at ac a r r r t dt ac 2
r xi yj zk(空间关系) k
d dr d 0 ( xi yj zk ) dt dt dt d ( xi yj zk ) ( xi yj zk ) dt
第四章 转动参照系
一、空间转动参照系
S 固定参照系
r
P
z
强调： r 具有双重身份！！！
S 运动参照系（绕定点O转动）
o
y
dr dt
*
x
r
d r dt dr d = xi yj zk dt dt * dr = r dt
特例2：角速度为常矢量的空间转动参照系
y
r
x
o
y )i ( y x ) j zk ( x
*
z S系 S 系
P o
o xyz
R
d d 2 a r r r 2 dt dt * d 2 a 0 R 2 dt
* d d a a dt dt * d d r a dt dt * * * d d d d * r r r dt dt dt dt r d * d * d *r r 2 r r dt dt dt * d d r dt dt * d d 2 a r r r dt dt d 2 a a at ac a r r r t dt ac 2
第4章 转动参照系
第四章 转动参照系 §4.1 平面转动参照系考虑一旋转的平面参照系oxy ，记为S ′（如平板），其角速度ω沿轴，其原点与静止坐标系(z S ξηo )的原点重合。
令单位矢量、固着在平板上的o i j x 轴和轴上，ω可表为y k ωω=。
再考虑平板上的运动质点P (想象为一小虫)，其位矢为j i r y x += 严格应为：)()()()()(t t y t t x t j i r +=d d d x y x y dt dt dt ==+++r i j v i j ) ()(xy y x ωω=++−+i j i j 其中v j i ′=+y x 应为相对速度（即对转动参照系而言）；0v r ωj i =×=+−x y ωω应为点所在处的牵连速度 P 于是，点的速度为：P r ωv v ×+′=与刚体力学中定轴转动公式r ωv ×=比较可见此处多出了相对速度这一项，原因是刚体上的质点相对刚体是没有相对运动的。
v ′ya j i ′=+yx 为相对加速度； r j i 222ωωω−=−−y x 为平板转动引起的向心加速度；(方向由点指向o 点)P r ωj i ×=+− x y ωω为平板作变角速转动引起的切向加速度（方向与r 垂直，在平板上。
匀速转动时为0）；向心加速度 + 切向加速度 = 牵连加速度；(用表示)t a v ωj i ′×=+−222x yωω为科里奥利加速度。
(用表示)c a 故上式又可写成v ωr r ωa a ′×+−×+′=22ω 或简写为t c ′=++a a a a与平动情况相比，不仅牵连加速度项不同，这里还多了一项，这是转动参照系所特有的。
c a 必须明确两点：1. 平面转动参照系是非惯性系。
这是因为对固结在平面上的点来说，0,0′′≡=v a 。
这时，质点的加速度就等于牵连加速度，所以是非惯性系。
第四章 转动参照系
η
P x v • r θ
(
)
o
ξ
v v & 2 i + r θ& + 2 r θ& v & & j a = && − r θ r
(
)
(
)
§4.2 平面转动参照系
y
η
v r
P • x
一、建立平面转动参照系
S系 S ′系 o − ξηζ o − xyz
ζ
ω
z
v
o
ξ
v ′系绕oζ轴以角速度ω转动。 使原点o重合，oζ轴与oz轴重合，S
平动牵连加速度 转动牵连加速度
v
v
3.当 S ′作任意运动（平动+转动）时，而P点相对 S ′ 系运动时，P点的速度及加速度
v v v *v v v dr dro′ dr ′ v d r ′ 速度： υ = +ω ×r′ = + =υo′ + dt dt dt dt *v v v d r′ = υ o′ + ω × r ′ + dt v v = υt + υ ′ 牵连速度 加速度： v v v dυ ′ v dυ dυo′ d v v a= = + (ω × r ′) + dt dt dt dt v v v dω v v dr ′ dυ ′ v = ao ′ + ×r′+ω × + dt dt dt v v *v dω v v d r ′ dυ ′ v v = ao ′ + ×r′+ω ×( + ω × r ′) + dt dt dt
v
v
v
2.当 S ′作任意运动（平动+转动）时，而P点相对 S ′ 系静止时，P点的速度及加速度(如刚体)
平面转动参考系
第四章 转动参考系
第一节 平面转动参考系
设平面参考系 S′ 以角速度 ω 转动， 在平面参考系上建立坐标系 O-xy ， 原点与静止坐标系 S 原点 O 重合。 则转动矢量 ω = ωk 沿 z 轴方向。 设该平面参考系为一平板，P 为平板 上运动着的一点，则其位矢为
r = xi + yj ( 4.1.1)
2
这一项叫做科里奥利加速度，简称科氏加速度。是牵连运动 与相对运动相互影响所产生。方向垂直角速度和相对速度， 但角速度恒沿 k 方向，所以科氏加速度在 xy 平面内。
3
根据上述分析可以将加速度简写成
& a = a ′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v ′
( 4 .1 .6 )
若令
& at = ω × r − ω 2 r a c = 2ω × v ′
考虑到 (4.1.2) 式，求 (4.1.1) 式对时间的微商后得质点 P 对 静止坐标系的速度
v= dj dk di dr & & & = xi + yj + z k + x + y + z dt dt dt dt & & = ( x − ωy ) i + ( y + ωx ) j
现在求 P 点对静止坐标系的加速度 dv & & & & a= = ( && − 2ωy − ω 2 x ) i + ( && + 2ωx − ω 2 y ) j − ωyi + ωxj x y dt 对 (4.1.5) 的讨论 相对加速度 向心加速度 切向加速度 另外还有
第一节 平面转动参考系
设平面参考系 S′ 以角速度 ω 转动， 在平面参考系上建立坐标系 O-xy ， 原点与静止坐标系 S 原点 O 重合。 则转动矢量 ω = ωk 沿 z 轴方向。 设该平面参考系为一平板，P 为平板 上运动着的一点，则其位矢为
r = xi + yj ( 4.1.1)
2
这一项叫做科里奥利加速度，简称科氏加速度。是牵连运动 与相对运动相互影响所产生。方向垂直角速度和相对速度， 但角速度恒沿 k 方向，所以科氏加速度在 xy 平面内。
3
根据上述分析可以将加速度简写成
& a = a ′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v ′
( 4 .1 .6 )
若令
& at = ω × r − ω 2 r a c = 2ω × v ′
考虑到 (4.1.2) 式，求 (4.1.1) 式对时间的微商后得质点 P 对 静止坐标系的速度
v= dj dk di dr & & & = xi + yj + z k + x + y + z dt dt dt dt & & = ( x − ωy ) i + ( y + ωx ) j
现在求 P 点对静止坐标系的加速度 dv & & & & a= = ( && − 2ωy − ω 2 x ) i + ( && + 2ωx − ω 2 y ) j − ωyi + ωxj x y dt 对 (4.1.5) 的讨论 相对加速度 向心加速度 切向加速度 另外还有
第4章 转动参考系
⎧ x = −4ω 2 y sin λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ y = 2 gtω cos λ − 4ω 2 y ⎨ ⎪ z = − g − 4ω 2 cos λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩
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14
§4.4 地球自转所产生的影响
一 惯性离心力
考虑地球自转时，可以认为其角速度是沿着地轴的一个恒 矢量，即 ω = 0. 因此，只需考虑惯性离心力和科里奥利力 即可；若质点相对于地球静止，则只需考虑惯性离心力 . 惯性离心力产生的影响： a) 重力与引力大小不相等（两极除外）. b) 重力与引力方向不一致（两极除外）. 注 惯性离心力所产生的影响一般都比较小，当研究 质点相对于地球的运动时，惯性离心力的效应只要用重 力来代替引力即可 .
a ωt x = ( e + e −ωt ) = achωt 2
管对小球的竖直反作用力和水平反作用力分别为
Ry = mg
a ωt −ωt Rz = 2mω x = 2mω ( e − e ) = 2maω 2shωt 2
2
惯性系
⎧m r − rθ 2 = Fr = 0 ⎪ ⎨ ⎪m rθ + 2rθ = Rθ ⎩
所以质点 P 的绝对加速度可简写为
dω ⎧ at = × r + ω (ω ⋅ r ) − ω 2 r ⎪ ⎪ dt ⎨ d *r ⎪a = 2ω × = 2ω × v′ c ⎪ dt ⎩
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a = a′ + at + ac
8
若 S ′系以匀角速度转动，则
转动参照系
r
C
B A
S'
S ''
r 与 均发生变化
ae
牵连速度变化引起的加速度（ a ） v ' 0
16
理论力学
第四章 转动参照系
许杰制作
科里奥利加速度产生的原因：
由 ac 2 v ' 2v 'sin 可知:
① 0 ② v'0 ③ v ' ( 0, v ' 0)
z
r
x
z'
P
r'
O'
y'
即 v vt r ' v ' ve v '
rt
O
x'
y
为静系观察者看到质点P的总角速度
绝对速度=相对速度 + 牵连速度
8
理论力学
第四章 转动参照系
许杰制作
质点速度合成原理 v vt r ' v ' ve v ' 各项物理含义：
质点的速度合成原理 v vt r ' v ' ve v '
13
理论力学
第四章 转动参照系
许杰制作
d dr ' dv ' 于是 a at r ' dt dt dt
d at r ' (v ' r ') (a ' v ') dt
O
15
为静系观察者看到质点P的总角速度
C
B A
S'
S ''
r 与 均发生变化
ae
牵连速度变化引起的加速度（ a ） v ' 0
16
理论力学
第四章 转动参照系
许杰制作
科里奥利加速度产生的原因：
由 ac 2 v ' 2v 'sin 可知:
① 0 ② v'0 ③ v ' ( 0, v ' 0)
z
r
x
z'
P
r'
O'
y'
即 v vt r ' v ' ve v '
rt
O
x'
y
为静系观察者看到质点P的总角速度
绝对速度=相对速度 + 牵连速度
8
理论力学
第四章 转动参照系
许杰制作
质点速度合成原理 v vt r ' v ' ve v ' 各项物理含义：
质点的速度合成原理 v vt r ' v ' ve v '
13
理论力学
第四章 转动参照系
许杰制作
d dr ' dv ' 于是 a at r ' dt dt dt
d at r ' (v ' r ') (a ' v ') dt
O
15
为静系观察者看到质点P的总角速度
理论力学-转动参考系
′ i 、j 、k 随S 系以同一角速度ω 转动 ∴ 在静止参照系S上所看到的G的变化率为：
di dj dk dG dGx dGy dGz = + Gy + Gz k + Gx i+ j+ dt dt dt dt dt dt dt
i 以ω 绕O转动，即i 是距离O为单位长的动点对O的位矢
则
v = v′ + ω × r
即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
2. P点对静止坐标系S的加速度： dv d − ωy )i + ( y + ωx ) j (x a= = dt dt 2 2 yi + ω xj − 2ωy − ω x )i + ( − 2ωx − ω y) j − ω x y = ( 2 ( yi − xj ) i + j ) − ω ( xi + yj ) − 2ω (− x j + y i ) − ω x y = ( 2 = a ′ − ω r + ω × r + 2ω × v ′
、y 为P对转动参照系诸轴的分速度， 其中x 合成为v ′ − 相对速度
y
j
P
S′
r i
O
x
ξ
若P在平板上不动，则此项速度为零。
ω k
z
又-ωy及 ωx 为由于平板转动而带着P一同转动所引起， 故为牵连速度在坐标轴上的分量，即轴向分量。
∴ 两者的合成即牵连速度：
ω × r = ωk × ( xi + yj ) = ωxj − ωyi
理论力学chapt
y
2y sin 2x sin
g l g l
x y
0 0
令 则
02
g l
,
sin
x
2
y
2 0
x
0
y 2x 02 y 0
令
x iy
将两式合并，有
2i 02 0
上式的通解为
Ae n1t Be n2t
其中 n1 , n2 是特征根方程
n 2 2in 02 0
风，南半球上的西北贸易风。（２）轨道磨损和河岸冲
刷：北半球铁轨右轨，河流右岸磨损冲刷严重；南半球
铁轨左轨，河流做岸磨损冲刷严重。
以下讨论另外科氏力的两种效应：落体偏东和傅科摆 １、落体偏东
考虑仅在重力作用下的落体。初始条件为
t 0 x y z 0, x y 0, z h
对动力学方程积分一次，得
x 2y sin
y 2x sin (z h) cos
z gt 2y cos
将以上结果代回并略去 2 项，得
x 0
y 2gt cos
z g
对上式积分两次后，得
可见落体的轨迹在 yz平面内，
x y
0 1 3
gt 3
cos
并有偏东的趋势。 轨迹方程
z
h
1 2
gt
2
y 2 8 2 cos2 (z h)3
x s in
t
y c os t
x x1 (A B) cos0t
y
y1
(A
B)sin 0t
上式表明在旋转系中，又恢复了单摆的椭圆轨道运动
1851年傅科在巴黎( 49,sin 0.75)
采用67m摆长，28kg的摆锤进行实验，摆的振动周期 为16s，椭圆旋转周期为32小时， 与理论计算相吻合。
第四章 转动参照系
式中 r ′ 为质点相对 o′ 的位矢。
P197例 秒后p P197例4.3 求t秒后p点的速度和加速 度 建立坐标系o 解：建立坐标系o-xyz
ω α R P v’ y
v v v v = v′ + vt v v v v vt = ω × r = −ωv′t sinαi v v v v ∴v = v′sinα j − v′cosαk −ωv′t sinαi
解 建 动 o− xy ： 立 系
v v dv′ a′ = =0 dt
x ω v’ ac
r v & ω ×r = 0 v 2r 2 −ω r = −ω xi v v v v v 2ω × v′ = 2ωk × v′i = 2ωv′j
r r r 2 a = −ω xi + 2ωv′j
•
4.2 空间转动参考系
任一矢量： 2. 任一矢量： G = G x i + G y j + G z k
dG y dG z dG dG x di dj dk = i+ j+ k + Gx + G y + Gz dt dt dt dt dt dt dt
由泊松公式：
di =ω ×i dt
dj =ω × j dt
dk = ω × k 代入上式得： dt
a= dv di dj & & & & = ( && − yω − yω )i + ( && + xω + xω ) j + ( x − yω ) + ( y + xω ) x & y & dt dt dt
& & & & = ( && − yω − xω 2 − 2 yω )i + ( && + xω − yω 2 + 2 xω ) j x y
理论力学课件：第四章_转动参照系
为r 的圆柱上作纯滚动，圆管中心的速度 v0 u 。试求小球在图示
位置时的绝对速度和绝对加速度
解：运动分析： 小球相对圆管运动：圆周运动
C
o1h
u
j
牵连运动：平面平行运动（纯滚动）
v小tv球的uv绝j0 对u速i度：3vrorMj
v' vt
3r
ui 2uj
u
u 3r
ho
3
r
v0
a v sin 4 2t2 7
§4.2非惯性系动力学
一、相对运动微分方程
在惯性系下：
ma
F
m{a
'
a0
d0 dt
r
20
v
'
0
(0
r
)}
F
牵m连a惯' 性 力FF：tm{maa00dmdtd0dt0
r
0 (0
r
m0
(0
r )}
r)
2m0
v
'
平动惯性力 转动惯性力 惯性离心力
科里奥利力：
第四章 转动参考系
§4.1(2)转动参照系 §4.3 非惯性系动力学 §4.4 地球自转的影响
1
§4.1转动参照系
z
复习平动参考 系、相对运动：
r
ro'
r ',
v
vo'
v',
r'
o'
ro '
r
x'
a
ao'
a'
O x
y z
ma' F (mao' )
**********************************
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y
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
例1
圆盘半径为R, 以匀角速度ω绕垂直于盘心O的轴线转动. 一质点沿径向槽自盘心以匀速度v’向外运动,试求质点 加速度各分量的量值.
解:
2
v'
2'
v'
v'
t
r v' t
o
1 1' t
r
o
当t 0时， cost 1, sin t t , (t ) 0
v
v O
v
设想一以角速度 绕轴转动的圆盘。 质点以速度v 相对于圆盘半径向外运动，单位时间内由A 运动至B，质点增加的速度（加速度）是 v ，质点相对速 度 v 随圆盘转动而改变方向，这也就造成对加速度的贡献。科
里奥里加速度
v r v' t cost v' sin t r r v' t v' t r 2v' t
vr 2 ar lim r t 0 t v a lim 2v' t 0 t
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
解法二 在惯性系
在S系中
di i dt
dk k dt
dj j dt
d G dGx dGy dGz i j k dt dt dt dt
*
* dG d G G dt dt
相对变化率
牵连变化率
* dr d r v r dt dt
r
P
O
F 0 r m r 2r R mr
2 r
m r m r 0 R 2mr
2
（2）
解：
y
ˆ ˆ i， r x i ，v 相 x ˆ j， ˆ v r x k
若S系和S’系的原点不重合
o
a a'a0 at ac
§4.3 非惯性系动力学(二) （1）平面转动参考系
2 a' a r r 2 v '
m r
2
2 ma' ma m r m r 2m v '
* dv d v a v dt dt
2*
* dr d r v r dt dt
* * * d r d d r d r a 2 r r dt dt dt dt
y
Ry
z
O
x
2mx
P
Rz
解法一, （1）用非惯性系
m 2 x
mg
x
运动微分方程 2 mx m x
0 Ry m g m y Rz 0 2mx m z
y
Ry
x Aet Bet
t t x Ae Be
dx (x a )
2 2
dt
2a
dx ( x2 a2 )
a
Байду номын сангаас dt
0
t
2a ( 2a )2 a 2 ln a (a ) 2 a 2
t t 1 ln 2
3
（2）空间转动参照系
a a'at ac
2*
* * dr d r d 2 r r 2 dt dt dt 2* d r a' 2 dt * * d d d dt dt dt
2 r r r
m r 2 m v '
2
O
r
P m r 2 m v '
2
v'
实例分析 科里奥利力的方向
例 1 在一光滑水平直管中, 有一质量为m的小球. 此管 以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动.如果起 始时, 球距转动轴的距离为a,而的总长为 2a，球相对于 管子的速度为0, （1）求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反力. （2）求球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求 球从开始运动到离开管口时所需时间。
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
第四章 转动参照系
知识回顾与引言
平面转动参照系
空间转动参照系 非惯性系动力学(二) 地球自转所产生的影响
2、4、6
惯性力
如果要在非惯性坐标系中应用牛顿第二定律，就必须引入惯
性力（牵连惯性力和科氏惯性力）。惯性力具有虚假的和真实 的两重性。
虚假性
既无施力体，也无相应的反作用力。牛顿第 三定律不成立。 惯性力随坐标系的不同而不同。 当观察者处于非惯性系中时就能感受到惯性 力的存在，并可测量。 惯性力具有与真实力一样的动力学和静力学 效应，在质点的相对运动中可以与实际力一 样对待。
v r v' t cost v' sin t r r v' t v' t r 2v' t
vr v' cost r v' t sin t v' v' r v' t t v' 2 rt
牵连速度 r k xi yj xj yi
dv 2 2 yi xj 2y x i 2x y j a x y dt
v v ' r
yi xj r 2 2 2 xi yj r
切向加速度 向心加速度
i 和 2x j 是怎样产生的？ 2y
i j a' x y
相对加速度
i 2x j 2k x i y j 2 v ' 2y
a ' a at ac ma ' F mat mac
d 2 at r r r dt * d r ac 2 2 v ' dt
如果S’系以恒定角速度转动
2 a
2a
3 a x
2 2
2
3a x
绝对速度：
v v v
2 相
2 牵
3 a 4 a 7a
2 2 2 2
x
0
2 2 2 2 2 (x a ) xdx xdx x a
x
( x2 a2 ) x
a a'at ac
d r ac 2 2 v ' dt
*
d 2 at r r r dt
B
M
R
P
如果S’系以匀角速度转动,
r
2 a a ' R 2 v '
b
ac 正是上述两种加速度之和。
§4.2 空间转动参照系
静止坐标系 S 两坐标系原点重合 转动坐标系 S’ 任意矢量G 在S’系中 G Gx i Gy j Gz k
di dj dk dG dGx dGy dGz i j k Gx G y Gz dt dt dt dt dt dt dt
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
向心加速度 科氏加速度
牵连运动改变了相对速度的方向, 因而产生横向加速度 ωv’, 同时,相对运动又改变了牵连速度ω×r的量值, 产生 横向加速度ωv’,因而科里奥利加速度为 2v '
两个原因形成科氏加速度的直观图像
u v
ac
u A
O
v B
a
Sc mac
得： mar F Se Sc 质点的相对运动微分方程式
在研究质点相对非惯性系的运动时，在形式上仍可 使用牛顿第二定律，条件是在真实力之外再加上牵 连惯性力和科氏惯性力。
实例分析 1
慢速转动的大圆盘使盘上快速运动的皮带变形
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
例1
圆盘半径为R, 以匀角速度ω绕垂直于盘心O的轴线转动. 一质点沿径向槽自盘心以匀速度v’向外运动,试求质点 加速度各分量的量值.
解:
2
v'
2'
v'
v'
t
r v' t
o
1 1' t
r
o
当t 0时， cost 1, sin t t , (t ) 0
v
v O
v
设想一以角速度 绕轴转动的圆盘。 质点以速度v 相对于圆盘半径向外运动，单位时间内由A 运动至B，质点增加的速度（加速度）是 v ，质点相对速 度 v 随圆盘转动而改变方向，这也就造成对加速度的贡献。科
里奥里加速度
v r v' t cost v' sin t r r v' t v' t r 2v' t
vr 2 ar lim r t 0 t v a lim 2v' t 0 t
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
解法二 在惯性系
在S系中
di i dt
dk k dt
dj j dt
d G dGx dGy dGz i j k dt dt dt dt
*
* dG d G G dt dt
相对变化率
牵连变化率
* dr d r v r dt dt
r
P
O
F 0 r m r 2r R mr
2 r
m r m r 0 R 2mr
2
（2）
解：
y
ˆ ˆ i， r x i ，v 相 x ˆ j， ˆ v r x k
若S系和S’系的原点不重合
o
a a'a0 at ac
§4.3 非惯性系动力学(二) （1）平面转动参考系
2 a' a r r 2 v '
m r
2
2 ma' ma m r m r 2m v '
* dv d v a v dt dt
2*
* dr d r v r dt dt
* * * d r d d r d r a 2 r r dt dt dt dt
y
Ry
z
O
x
2mx
P
Rz
解法一, （1）用非惯性系
m 2 x
mg
x
运动微分方程 2 mx m x
0 Ry m g m y Rz 0 2mx m z
y
Ry
x Aet Bet
t t x Ae Be
dx (x a )
2 2
dt
2a
dx ( x2 a2 )
a
Байду номын сангаас dt
0
t
2a ( 2a )2 a 2 ln a (a ) 2 a 2
t t 1 ln 2
3
（2）空间转动参照系
a a'at ac
2*
* * dr d r d 2 r r 2 dt dt dt 2* d r a' 2 dt * * d d d dt dt dt
2 r r r
m r 2 m v '
2
O
r
P m r 2 m v '
2
v'
实例分析 科里奥利力的方向
例 1 在一光滑水平直管中, 有一质量为m的小球. 此管 以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动.如果起 始时, 球距转动轴的距离为a,而的总长为 2a，球相对于 管子的速度为0, （1）求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反力. （2）求球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求 球从开始运动到离开管口时所需时间。
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
第四章 转动参照系
知识回顾与引言
平面转动参照系
空间转动参照系 非惯性系动力学(二) 地球自转所产生的影响
2、4、6
惯性力
如果要在非惯性坐标系中应用牛顿第二定律，就必须引入惯
性力（牵连惯性力和科氏惯性力）。惯性力具有虚假的和真实 的两重性。
虚假性
既无施力体，也无相应的反作用力。牛顿第 三定律不成立。 惯性力随坐标系的不同而不同。 当观察者处于非惯性系中时就能感受到惯性 力的存在，并可测量。 惯性力具有与真实力一样的动力学和静力学 效应，在质点的相对运动中可以与实际力一 样对待。
v r v' t cost v' sin t r r v' t v' t r 2v' t
vr v' cost r v' t sin t v' v' r v' t t v' 2 rt
牵连速度 r k xi yj xj yi
dv 2 2 yi xj 2y x i 2x y j a x y dt
v v ' r
yi xj r 2 2 2 xi yj r
切向加速度 向心加速度
i 和 2x j 是怎样产生的？ 2y
i j a' x y
相对加速度
i 2x j 2k x i y j 2 v ' 2y
a ' a at ac ma ' F mat mac
d 2 at r r r dt * d r ac 2 2 v ' dt
如果S’系以恒定角速度转动
2 a
2a
3 a x
2 2
2
3a x
绝对速度：
v v v
2 相
2 牵
3 a 4 a 7a
2 2 2 2
x
0
2 2 2 2 2 (x a ) xdx xdx x a
x
( x2 a2 ) x
a a'at ac
d r ac 2 2 v ' dt
*
d 2 at r r r dt
B
M
R
P
如果S’系以匀角速度转动,
r
2 a a ' R 2 v '
b
ac 正是上述两种加速度之和。
§4.2 空间转动参照系
静止坐标系 S 两坐标系原点重合 转动坐标系 S’ 任意矢量G 在S’系中 G Gx i Gy j Gz k
di dj dk dG dGx dGy dGz i j k Gx G y Gz dt dt dt dt dt dt dt
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
向心加速度 科氏加速度
牵连运动改变了相对速度的方向, 因而产生横向加速度 ωv’, 同时,相对运动又改变了牵连速度ω×r的量值, 产生 横向加速度ωv’,因而科里奥利加速度为 2v '
两个原因形成科氏加速度的直观图像
u v
ac
u A
O
v B
a
Sc mac
得： mar F Se Sc 质点的相对运动微分方程式
在研究质点相对非惯性系的运动时，在形式上仍可 使用牛顿第二定律，条件是在真实力之外再加上牵 连惯性力和科氏惯性力。
实例分析 1
慢速转动的大圆盘使盘上快速运动的皮带变形