理论力学第四章 转动参照系

z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg


解法二 在惯性系
向心加速度 科氏加速度
牵连运动改变了相对速度的方向, 因而产生横向加速度 ωv’, 同时,相对运动又改变了牵连速度ω×r的量值, 产生 横向加速度ωv’,因而科里奥利加速度为 2v '
两个原因形成科氏加速度的直观图像
u v
ac
u A
O
v B

a
r
P
O

F 0 r m r 2r R mr
2 r

m r m r 0 R 2mr
2
（2）
解：
y
ˆ ˆ i， r x i ，v 相 x ˆ j， ˆ v r x k
v r v' t cost v' sin t r r v' t v' t r 2v' t
vr 2 ar lim r t 0 t v a lim 2v' t 0 t
Sc mac
得： mar F Se Sc 质点的相对运动微分方程式
在研究质点相对非惯性系的运动时，在形式上仍可 使用牛顿第二定律，条件是在真实力之外再加上牵 连惯性力和科氏惯性力。
实例分析 1
慢速转动的大圆盘使盘上快速运动的皮带变形
实例分析 2
§4.1 平面转动参照系
定系
在S系中
di i dt
dk k dt
dj j dt
d G dGx dGy dGz i j k dt dt dt dt
*
* dG d G G dt dt
相对变化率
牵连变化率
* dr d r v r dt dt
2 a
2a
3 a x
2 2
2
3a x
绝对速度：
v v v
2 相
2 牵
3 a 4 a 7a
2 2 2 2


x
0
2 2 2 2 2 (x a ) xdx xdx x a
x
( x2 a2 ) x


a a'at ac
d r ac 2 2 v ' dt
*
d 2 at r r r dt

B
M

R
P
如果S’系以匀角速度转动,
r
2 a a ' R 2 v '
y

Ry
z
O
x
2mx
P
Rz
解法一, （1）用非惯性系
m 2 x
mg
x
运动微分方程 2 mx m x
0 Ry m g m y Rz 0 2mx m z
y

Ry
x Aet Bet
t t x Ae Be
例1
圆盘半径为R, 以匀角速度ω绕垂直于盘心O的轴线转动. 一质点沿径向槽自盘心以匀速度v’向外运动,试求质点 加速度各分量的量值.
解:

2
v'
2'
v'
v'
t
r v' t
o

1 1' t
r
o
当t 0时， cost 1, sin t t , (t ) 0
牵连速度 r k xi yj xj yi
dv 2 2 yi xj 2y x i 2x y j a x y dt
v v ' r
v r v' t cost v' sin t r r v' t v' t r 2v' t
vr v' cost r v' t sin t v' v' r v' t t v' 2 rt
m r 2 m v '
2

O
r
P m r 2 m v '
2
v'
实例分析 科里奥利力的方向
例 1 在一光滑水平直管中, 有一质量为m的小球. 此管 以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动.如果起 始时, 球距转动轴的距离为a,而的总长为 2a，球相对于 管子的速度为0, （1）求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反力. （2）求球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求 球从开始运动到离开管口时所需时间。
y
2 v
j
v

科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z

i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
dx (x a )
2 2
dt
2a
dx ( x2 a2 )
a
dt
0
t
2a ( 2a )2 a 2 ln a (a ) 2 a 2
t t 1 ln 2

3

（2）空间转动参照系
a a'at ac
2

2
v'
2'
v'
o

v'
t
r v' t
1 1' t
r
o
当t 0时， cost 1, sin t t , (t )2 0
vr v' cost r v' t sin t v' v' r v' t t v' 2 rt
和y 为P对转动诸轴的分速度， i y j 应为相对速度 x 其合速度v x y和x是由于平板带着 P点一同转动引起的，是 牵连速度在 坐标轴上的分量，其合 速度为ω r
dr y i y x j v x dt
第四章 转动参照系
知识回顾与引言
平面转动参照系
空间转动参照系 非惯性系动力学(二) 地球自转所产生的影响
2、4、6
惯性力
如果要在非惯性坐标系中应用牛顿第二定律，就必须引入惯
性力（牵连惯性力和科氏惯性力）。惯性力具有虚假的和真实 的两重性。

虚假性


既无施力体，也无相应的反作用力。牛顿第 三定律不成立。 惯性力随坐标系的不同而不同。 当观察者处于非惯性系中时就能感受到惯性 力的存在，并可测量。 惯性力具有与真实力一样的动力学和静力学 效应，在质点的相对运动中可以与实际力一 样对待。
O
y

S'
动系
O xyz

P r
j
x
r xi yj
dj di j , i dt dt
i
O

对定系的速度 dr di dj dk i y j z k x v x y z dt dt dt dt y i y x j x


v
v O
v


设想一以角速度 绕轴转动的圆盘。 质点以速度v 相对于圆盘半径向外运动，单位时间内由A 运动至B，质点增加的速度（加速度）是 v ，质点相对速 度 v 随圆盘转动而改变方向，这也就造成对加速度的贡献。科
里奥里加速度



yi xj r 百度文库 2 2 2 xi yj r
切向加速度 向心加速度
i 和 2x j 是怎样产生的？ 2y
i j a' x y
相对加速度
i 2x j 2k x i y j 2 v ' 2y
若S系和S’系的原点不重合
o
a a'a0 at ac
§4.3 非惯性系动力学(二) （1）平面转动参考系
2 a' a r r 2 v '
m r
2
2 ma' ma m r m r 2m v '
牵

o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2

x
0
dx xdx x
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡

真实性


质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
引入 Se mae
aa ae ar ac
（牵连惯性力） （科氏惯性力）
mar F mae mac
2*
* * dr d r d 2 r r 2 dt dt dt 2* d r a' 2 dt * * d d d dt dt dt
2 r r r
* dv d v a v dt dt
2*
* dr d r v r dt dt
* * * d r d d r d r a 2 r r dt dt dt dt

a ' a at ac ma ' F mat mac
d 2 at r r r dt * d r ac 2 2 v ' dt
如果S’系以恒定角速度转动
b
ac 正是上述两种加速度之和。
§4.2 空间转动参照系
静止坐标系 S 两坐标系原点重合 转动坐标系 S’ 任意矢量G 在S’系中 G Gx i Gy j Gz k
di dj dk dG dGx dGy dGz i j k Gx G y Gz dt dt dt dt dt dt dt
由变角速度引起的惯性力
惯性离心力 科里奥利力
m r 2 m v '
§4.3 非惯性系动力学(二)
2 ma' ma m r m r 2m v '
由变角速度引起的惯性力 惯性离心力 科里奥利力
m r