暂态稳定约束下的最优潮流
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关键词：电力工程；电力系统；暂态稳定性； 最优潮流； 最 优控制； 灵敏度
1 引言
自 20 世纪 60 年代法国学者 J. Carpentier 首次 提出最优潮流(OPF-optimal power flow)模型以来， 学术界对 OPF 问题进行了大量的研究[1-10]。常规的 OPF 模型中不考虑暂态稳定性约束[1]，考虑暂态稳 定性约束下的 OPF 称作 OTS (OPF with transient stability constraints)。鉴于现代电力系统的暂态稳定 性问题日益突出，OTS 问题的研究已经引起了电力 工程界广泛的重视[2-6]。
(1.School of Electrical Engineering & Automation, Tianjin University, Nankai District, Tianjin 300072, China; 2.Department of Electrical Engineering, The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, China)
第 25 卷 第 12 期 2005 年 6 月
文章编号：0258-8013 (2005) 12-0012-06
中国电机工程学报 Proceedings of the CSEE
中图分类号：TM74 文献标识码：A
Vol.25 No.12 Jun. 2005 ©2005 Chin.Soc.for Elec.Eng.
基金项目：国家自然科学基金项目(50377028)；香港RGC项目PolyU 5204/03E号。
Project Supported by National Natural Science Foundation of China (50377028).
常规 OPF 相同。文章通过 10 机典型新英格兰系统上的算例 说明了 OTS 新算法的有效性和合理性。
2 OTS 模型
2.1 目标函数
如式(1)所示，本文 OTS 算法采用系统发电燃料
总费用最小目标函数，为
∑ min F = fi (Pgi )
(1)
i∈SG
式中 fi (Pgi ) = ai + bi Pgi + ci Pg2i ，为机组的燃料特性
采用二次函数表示的发电费用； ai ， bi ， ci 分别为
(13)
亦即:
gi ( x(t),φi ( x(t), u), u) = 0, (i = 0,1, 2)
(12)
假设 1 的合理性是显然的，而假设 2 对式(8)~(10)
中的函数 gi (⋅) 提出了连续可微分的要求。基于假设
14
中国电机工程学报
第 25 卷
1 和假设 2，由隐函数定理，在点 ( x(t), y(t), u) 的某
一邻域内必存在唯一的映射φi ，使得
y(t) = φi ( x(t), u), (i = 0,1, 2)
2.3 不等式约束
2.3.1 运行约束
Pgmi in < Pgi < Pgmi ax , i ∈ SG
(4)
Qrmi in < Qri < Qrmi ax , i ∈ SR
(5)
Vimin < Vi < Vimax , i ∈ SN
(6)
Sij < Simj ax , (i, j) ∈ SCL
(7)
假设 1 故障切除时间 tcl 和研究时段长度 t f 是固定 的，与系统的运行方式、参数 u 等无关。
假设 2 函数 gi ( x(t), y(t), u) (i=0、1 或 2)关于 y 的 雅克比矩阵非奇异[5,12-13]，即式(12)存在。
giy = ∂gi ( x(t), y(t), u) ∂y
统的动态方程分别由式(9)和(10)表示如下
⎧0 ⎨⎩0
= =
f0 ( x, g0 ( x,
y, u) y, u)
,
t=0
(8)
⎧ ⎨ ⎩
x& (t 0
) = f1 = g1(
(x, y, u) x, y, u)
,
t ∈ (0,tcl ]
(9)
⎧ ⎨ ⎩
x&
(t 0
)= f = g2
2
(
(x, y, u) x, y, u)
式(4)~(7)分别表示有功电源出力的上、下限约束、
可调无功电源出力的上、下限约束、节电电压模值
的上、下限约束、Hale Waihona Puke Baidu路热稳定约束。式中，SR 为可
调无功电源集合；SN 为节点集合；SCL 为线路集合。 2.3.2 暂态稳定约束
假定故障前系统处于稳态，0 s 时系统发生故
障，tcl 时刻切除故障；t f 为研究时段长度；于是故 障前的系统方程可由式(8)表示；故障中和故障后系
第 i 台发电机的费用系数，SG 为考虑的可调发电机
的集合。
2.2 等式约束
本文采用极坐标形式的潮流方程作为等式约
束，其表达式为
Pg − PL − P(V ,θ) = 0
(2)
Qr − QL − Q(V ,θ) = 0
(3)
式中 Pg 和 Qr 分别为母线有功和无功注入功率向
量；PL 和 QL 分别为母线有功和无功负荷向量。
ABSTRACT: This paper proposes a new method for solutions of optimal power flow with transient stability constraints (OTS). Instead of directly tackling the difficult problem, the OTS is equivalently converted into two optimal sub-problems. One is conventional OPF and another is optimal control. And then, the two optimal sub-problems are solved by an alternate iteration approach. The outstanding advantage of the method is that the computation burden can be significantly reduced with better convergence. The method converts the constraints represented by the differential-algebraic equation into inequality constraints of control variables. And the number of the inequality constraints is the same as that of contingencies considered. Therefore, the method can deal with multi-contingencies simultaneously. The optimal power flow can be solved by other nonlinear programming methods with the same order of computation complexity. Test results on the 10-generator New England test system are given to verify efficiency, effectiveness and reliability of the method.
KEY WORDS: Electric power engineering; Power system; Transient stability; Optimal power flow; Optimal control; Sensitivity
摘要：提出了求解暂态稳定性约束下最优潮流(OTS)的新方 法。该方法把 OTS 分解为最优潮流(OPF)和最优控制 2 个子 问题。最优控制在迭代中 OPF 运行点上求取相关机组在暂 态稳定约束下的有功输出极限，并以此作为 OPF 计算的附 加约束条件。如此交替求解上述 2 个子问题即可得出 OTS 的解。该算法将微分方程表示的约束等值成控制变量的不等 式约束，即增补了与故障数目相关的不等式约束，因此，该 求解 OTS 算法的实现相对简单，可处理多个预想故障，并 要可采用其它有效的 OPF 非线性规划方法求解，复杂度与
学科分类号：470⋅40
暂态稳定约束下的最优潮流
孙景强 1， 房大中 1， 锺德成 2
(1. 天津大学电气与自动化工程学院，天津市 南开区 300072；2.香港理工大学电机系，香港)
OPTIMAL POWER FLOW WITH TRANSIENT STABILITY CONSTRAINTS
SUN Jing-qiang1, FANG Da-zhong1 , T.S.CHUNG2
,
t ∈ (tcl ,t f ]
(10)
式中 x 为由各发电机及其调节系统的状态变量所
组成的向量； y 为由有关代数变量所组成的向量；
u 为控制向量。
t f 的选择与所考虑的稳定性的要求有关，一般 根据工程经验和实际需要选定，例如，当只考虑一
摆稳定性时，可以选择 t f =1.5s。 对某一严重扰动，系统的暂态稳定性通常由发
第 12 期
孙景强等： 暂态稳定约束下的最优潮流
13
分代数方程(DAE)，一般只能采用数值积分方法求 解，因而这种方法计算量较大。目前 OTS 还处于研 究阶段，范围基本还局限于单一故障情况[2,5]。显然 完备的 OTS 算法仅考虑一个预想故障是不够的。
针对 OTS 的复杂性，本文通过把 OTS 问题分 解为 2 个子问题：OPF 问题和最优控制问题，通过 在迭代中 OPF 运行点上的最优控制求取相关机组 的有功输出极限，把微分方程约束转化为控制变量 的不等式约束，然后进行 OPF 求解。如此交替优化 2 个子问题，最终得到 OTS 解。本文提出的方法较 好地解决了考虑暂态稳定性约束后，计算负担过重， 问题规模过于庞大的困难，同时克服了由于引入暂 态稳定约束后，雅克比矩阵及海赛矩阵的计算困难， 使得 OTS 的求解不再局限于一阶梯度算法。文章最 后通过 10 机典型新英格兰系统上的算例说明了新 算法的有效性和合理性。
显然 J ≤ 0 保证 t f 时刻所有发电机彼此摆开角 度不大于 ρ ，反映了系统保持暂态稳定性的要求。
J 为暂态稳定性能指标函数。 令 Ju = ∂J ∂u 、 J x0 = ∂J ∂x0 ，文献[5]将 Ju 与
J x0 并列地研究。以下基于假设 1 和假设 2，分析说 明 J 的变化最终仅依赖于系统参数 u 。
电机转子间的最大相对角 δmax 判断[11]。本文暂态稳 定性判别准则为
∑ J ≡
βij [δi (t f ) − δ j (t f )]2 − ρ 2 ≤ 0 (11)
i =1Ln −1 j =i +1Ln
式中 δi (t f ) 为 t f 时刻发电机 i 的转子角度，属于 状态变量 x ； βij 为非线性乘子，当 t f 时刻 i ， j 发 电机的相对转子角度大于规定的值 ρ(> 0) 时，βij 取 1，否则取 0。
与 OPF 问题相比，OTS 的难点在于如何处理常 微分方程表示的暂态稳定性约束。文献[2]将常微分 方程差分化作一系列代数方程，将暂态稳定性约束 离散化为对应时间序列上的一系列不等式约束，使 得 OTS 问题可以用常规的优化方法求解。但是这种 方法在离散化时会带来一定的误差，更有甚者，其 变量数和方程数较常规 OPF 问题显著增加，造成计 算时间过长和收敛困难的问题。文献[3-4]采用类似 的方法处理微分方程。文献[5]将微分方程约束等值 成相应的状态变量的初值约束，即通过 EuclZdean 空间变换，把 OTS 问题转化相同规模的 OPF 问题， 文献[6]亦采用类似的方法处理 OTS 问题。上述方 法有效地避免了问题规模的扩大，但是这种方法在 优化过程的每一次迭代，需求解大量的动态灵敏度 方程以计算暂态稳定约束函数的雅克比矩阵[5-6]，动 态灵敏度方程是一组与系统动态方程规模相同的微
1 引言
自 20 世纪 60 年代法国学者 J. Carpentier 首次 提出最优潮流(OPF-optimal power flow)模型以来， 学术界对 OPF 问题进行了大量的研究[1-10]。常规的 OPF 模型中不考虑暂态稳定性约束[1]，考虑暂态稳 定性约束下的 OPF 称作 OTS (OPF with transient stability constraints)。鉴于现代电力系统的暂态稳定 性问题日益突出，OTS 问题的研究已经引起了电力 工程界广泛的重视[2-6]。
(1.School of Electrical Engineering & Automation, Tianjin University, Nankai District, Tianjin 300072, China; 2.Department of Electrical Engineering, The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, China)
第 25 卷 第 12 期 2005 年 6 月
文章编号：0258-8013 (2005) 12-0012-06
中国电机工程学报 Proceedings of the CSEE
中图分类号：TM74 文献标识码：A
Vol.25 No.12 Jun. 2005 ©2005 Chin.Soc.for Elec.Eng.
基金项目：国家自然科学基金项目(50377028)；香港RGC项目PolyU 5204/03E号。
Project Supported by National Natural Science Foundation of China (50377028).
常规 OPF 相同。文章通过 10 机典型新英格兰系统上的算例 说明了 OTS 新算法的有效性和合理性。
2 OTS 模型
2.1 目标函数
如式(1)所示，本文 OTS 算法采用系统发电燃料
总费用最小目标函数，为
∑ min F = fi (Pgi )
(1)
i∈SG
式中 fi (Pgi ) = ai + bi Pgi + ci Pg2i ，为机组的燃料特性
采用二次函数表示的发电费用； ai ， bi ， ci 分别为
(13)
亦即:
gi ( x(t),φi ( x(t), u), u) = 0, (i = 0,1, 2)
(12)
假设 1 的合理性是显然的，而假设 2 对式(8)~(10)
中的函数 gi (⋅) 提出了连续可微分的要求。基于假设
14
中国电机工程学报
第 25 卷
1 和假设 2，由隐函数定理，在点 ( x(t), y(t), u) 的某
一邻域内必存在唯一的映射φi ，使得
y(t) = φi ( x(t), u), (i = 0,1, 2)
2.3 不等式约束
2.3.1 运行约束
Pgmi in < Pgi < Pgmi ax , i ∈ SG
(4)
Qrmi in < Qri < Qrmi ax , i ∈ SR
(5)
Vimin < Vi < Vimax , i ∈ SN
(6)
Sij < Simj ax , (i, j) ∈ SCL
(7)
假设 1 故障切除时间 tcl 和研究时段长度 t f 是固定 的，与系统的运行方式、参数 u 等无关。
假设 2 函数 gi ( x(t), y(t), u) (i=0、1 或 2)关于 y 的 雅克比矩阵非奇异[5,12-13]，即式(12)存在。
giy = ∂gi ( x(t), y(t), u) ∂y
统的动态方程分别由式(9)和(10)表示如下
⎧0 ⎨⎩0
= =
f0 ( x, g0 ( x,
y, u) y, u)
,
t=0
(8)
⎧ ⎨ ⎩
x& (t 0
) = f1 = g1(
(x, y, u) x, y, u)
,
t ∈ (0,tcl ]
(9)
⎧ ⎨ ⎩
x&
(t 0
)= f = g2
2
(
(x, y, u) x, y, u)
式(4)~(7)分别表示有功电源出力的上、下限约束、
可调无功电源出力的上、下限约束、节电电压模值
的上、下限约束、Hale Waihona Puke Baidu路热稳定约束。式中，SR 为可
调无功电源集合；SN 为节点集合；SCL 为线路集合。 2.3.2 暂态稳定约束
假定故障前系统处于稳态，0 s 时系统发生故
障，tcl 时刻切除故障；t f 为研究时段长度；于是故 障前的系统方程可由式(8)表示；故障中和故障后系
第 i 台发电机的费用系数，SG 为考虑的可调发电机
的集合。
2.2 等式约束
本文采用极坐标形式的潮流方程作为等式约
束，其表达式为
Pg − PL − P(V ,θ) = 0
(2)
Qr − QL − Q(V ,θ) = 0
(3)
式中 Pg 和 Qr 分别为母线有功和无功注入功率向
量；PL 和 QL 分别为母线有功和无功负荷向量。
ABSTRACT: This paper proposes a new method for solutions of optimal power flow with transient stability constraints (OTS). Instead of directly tackling the difficult problem, the OTS is equivalently converted into two optimal sub-problems. One is conventional OPF and another is optimal control. And then, the two optimal sub-problems are solved by an alternate iteration approach. The outstanding advantage of the method is that the computation burden can be significantly reduced with better convergence. The method converts the constraints represented by the differential-algebraic equation into inequality constraints of control variables. And the number of the inequality constraints is the same as that of contingencies considered. Therefore, the method can deal with multi-contingencies simultaneously. The optimal power flow can be solved by other nonlinear programming methods with the same order of computation complexity. Test results on the 10-generator New England test system are given to verify efficiency, effectiveness and reliability of the method.
KEY WORDS: Electric power engineering; Power system; Transient stability; Optimal power flow; Optimal control; Sensitivity
摘要：提出了求解暂态稳定性约束下最优潮流(OTS)的新方 法。该方法把 OTS 分解为最优潮流(OPF)和最优控制 2 个子 问题。最优控制在迭代中 OPF 运行点上求取相关机组在暂 态稳定约束下的有功输出极限，并以此作为 OPF 计算的附 加约束条件。如此交替求解上述 2 个子问题即可得出 OTS 的解。该算法将微分方程表示的约束等值成控制变量的不等 式约束，即增补了与故障数目相关的不等式约束，因此，该 求解 OTS 算法的实现相对简单，可处理多个预想故障，并 要可采用其它有效的 OPF 非线性规划方法求解，复杂度与
学科分类号：470⋅40
暂态稳定约束下的最优潮流
孙景强 1， 房大中 1， 锺德成 2
(1. 天津大学电气与自动化工程学院，天津市 南开区 300072；2.香港理工大学电机系，香港)
OPTIMAL POWER FLOW WITH TRANSIENT STABILITY CONSTRAINTS
SUN Jing-qiang1, FANG Da-zhong1 , T.S.CHUNG2
,
t ∈ (tcl ,t f ]
(10)
式中 x 为由各发电机及其调节系统的状态变量所
组成的向量； y 为由有关代数变量所组成的向量；
u 为控制向量。
t f 的选择与所考虑的稳定性的要求有关，一般 根据工程经验和实际需要选定，例如，当只考虑一
摆稳定性时，可以选择 t f =1.5s。 对某一严重扰动，系统的暂态稳定性通常由发
第 12 期
孙景强等： 暂态稳定约束下的最优潮流
13
分代数方程(DAE)，一般只能采用数值积分方法求 解，因而这种方法计算量较大。目前 OTS 还处于研 究阶段，范围基本还局限于单一故障情况[2,5]。显然 完备的 OTS 算法仅考虑一个预想故障是不够的。
针对 OTS 的复杂性，本文通过把 OTS 问题分 解为 2 个子问题：OPF 问题和最优控制问题，通过 在迭代中 OPF 运行点上的最优控制求取相关机组 的有功输出极限，把微分方程约束转化为控制变量 的不等式约束，然后进行 OPF 求解。如此交替优化 2 个子问题，最终得到 OTS 解。本文提出的方法较 好地解决了考虑暂态稳定性约束后，计算负担过重， 问题规模过于庞大的困难，同时克服了由于引入暂 态稳定约束后，雅克比矩阵及海赛矩阵的计算困难， 使得 OTS 的求解不再局限于一阶梯度算法。文章最 后通过 10 机典型新英格兰系统上的算例说明了新 算法的有效性和合理性。
显然 J ≤ 0 保证 t f 时刻所有发电机彼此摆开角 度不大于 ρ ，反映了系统保持暂态稳定性的要求。
J 为暂态稳定性能指标函数。 令 Ju = ∂J ∂u 、 J x0 = ∂J ∂x0 ，文献[5]将 Ju 与
J x0 并列地研究。以下基于假设 1 和假设 2，分析说 明 J 的变化最终仅依赖于系统参数 u 。
电机转子间的最大相对角 δmax 判断[11]。本文暂态稳 定性判别准则为
∑ J ≡
βij [δi (t f ) − δ j (t f )]2 − ρ 2 ≤ 0 (11)
i =1Ln −1 j =i +1Ln
式中 δi (t f ) 为 t f 时刻发电机 i 的转子角度，属于 状态变量 x ； βij 为非线性乘子，当 t f 时刻 i ， j 发 电机的相对转子角度大于规定的值 ρ(> 0) 时，βij 取 1，否则取 0。
与 OPF 问题相比，OTS 的难点在于如何处理常 微分方程表示的暂态稳定性约束。文献[2]将常微分 方程差分化作一系列代数方程，将暂态稳定性约束 离散化为对应时间序列上的一系列不等式约束，使 得 OTS 问题可以用常规的优化方法求解。但是这种 方法在离散化时会带来一定的误差，更有甚者，其 变量数和方程数较常规 OPF 问题显著增加，造成计 算时间过长和收敛困难的问题。文献[3-4]采用类似 的方法处理微分方程。文献[5]将微分方程约束等值 成相应的状态变量的初值约束，即通过 EuclZdean 空间变换，把 OTS 问题转化相同规模的 OPF 问题， 文献[6]亦采用类似的方法处理 OTS 问题。上述方 法有效地避免了问题规模的扩大，但是这种方法在 优化过程的每一次迭代，需求解大量的动态灵敏度 方程以计算暂态稳定约束函数的雅克比矩阵[5-6]，动 态灵敏度方程是一组与系统动态方程规模相同的微