近世代数1

1：证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。 证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。 （5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。

2：证明：实数域R 上全体n 阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n 阶一般线形群。

证明：显然GLn(R)是个非空集合。

对于任何的A,B ∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C ∈GLn(R)。

⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A ∈GLn(R)，AE=EA ，所以E 是单位元。

⑶任意的A ∈GLn(R)，由于∣A ∣≠0,∴A 的逆矩阵1

-A ，满足

E A A AA ==--11且∴A 的逆元是 1-A .所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。

3：证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n

阶正交群.

证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。

(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1, ∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。 (3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。 （4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A ． ∴E 为On (R)的单位元。

（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)， 满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A ． ∴A T 为A 在On (R)中的逆元。

∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。

4：证明：所有行列式等于1的n 阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。 证明：∵En ∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。

对任意A,B ∈ SLn(Z),记C=AB,则C 是整数矩阵，且C=∣AB ∣=∣A ∣∣B ∣=1,∴C ∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。

（1） ∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。

（2） 对任意的A ∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E ∈SLn9Z),∴A 的单位元是单位矩阵E 。

（3） 对任意的A ∈ SLn(Z),因为A ∈Mn(Z),故*

A ∈Mn(Z),又

*11

A A

A A ==--且

1

1==-A A ,所以1-A ∈SLn(Z),又E A A AA

==--11

,故A 的逆元为1-A 。所

以 ，SLn （Z ）关于矩阵乘法构成群。

5:在整数集中,规定运算“∈”如下：a ⊕b=a+b-2, ∀a,b ∈Z.证明：（Z, ⊕）构成群。 证 （1）对于任意a ，b ⊕Z 有 a ⊕b=a+b-2∈Z ， 于是“⊕”在Z 上构成代数运算。 （2）对于任意a ，b ∈Z 有，（a ⊕b ）⊕c=a+b+c-4． a ⊕(b ⊕c)=a ⊕(b+c-2)=a+b+c-4， ∴(a ⊕b) ⊕c=a ⊕(b ⊕c)于是结合律成立．

（3）对于任意的a ，b ∈Z ， a ⊕b=a+b-2=b+a-2=b ⊕a ， 那么“⊕”在Z 上有交换律。

（4）对于任意的a ∈Z ， 有2⊕a=2+a-2=a ， ∴2为单位元． （5）对于任意的a ∈Z ， 有4-a ∈Z ．

(4-a) ⊕a=4-a+a-2=2， ∴4-a 为a 的逆元。 ∴（Z, ⊕）构成群。

6：分别写出下列各群的乘法表。 （1）例6中的群；

*；

7：设G=。⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧≠∈⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛0,a R a a a a a 证明：G 关于矩阵的乘法构成群。 证：记⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛a a a a =aI ，I=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111。 （1） G 非空，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1111∈G 。 （2）∀aI,bI ∈G ，则a,b ∈R,a,b ≠0，∴2ab ≠0,aIbI=2abI ∈G 。

（3）∀a,b,c ∈R,且a,b,c ≠0,有（aIbI ）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。 （4）单位元为

21I ∈G. ∀a ∈R,a ≠0,aI(21I)= 21

IaI=aI 。 （5）∀aI ∈G ，则a 41I ∈G 。aI(a 41I)=(a 41I)aI=2

1

I 。 ∴（G ，•）为群。

8：证明：所有形如n

m 32的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。

证明：记G={n

m 32| m ，n ∈Z} （1） G 是一个非空集合；

（2）

∀∈221132,32n m n m G ，有22113232n m n m ∙=212132n n m m ++∈G ，

∴∙是G 上的一个代数运算； （3） 结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）； （4）

1是单位元。

1=∈0

032G ，且1∙n

m

32=n

m

32；

（5）∀n m 32∈G ，有n m

--32

∈G ，且n m --32∙n m 32=1；

∴

G 关于数的乘法构成群。

9：证明：所有形如⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛100101c b a 的3*3实矩阵关于矩阵的乘法构成一个群。这个群以诺贝尔

物理学奖获得者海森伯（Heisenberg ）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberg group ）。 证：（1）显然非空。

（2）保持代数运算：G c c c a b b a a c b a c b a ∈⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10021102121211100210221100110111。

（3）结合律：