向量积数量积混合积-高等数学

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1. 定义
定义 设 a , b 的夹角为 ， 向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作
b
c ab
引例中的力矩
(叉积)
a c ab a

思考: 右图三角形面积
S＝
b
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a x bx ( i i )
a y by ( j j )
a z bz ( k k )
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
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k
i
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j
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向量积的行列式计算法
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
i j ax a y k az
a ax i a y j az k b bx i by j bz k
ax bx az bz
bx
b y bz

,
2 2 ax a 2 az y
例2. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , 求
AMB . 解: MA ( 1, 1, 0 ) , MB ( 1, 0 , 1 ) 则
A B M
cos AMB MA MB MA MB 1 0 0 2 2 AMB
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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4. 向量积的坐标表示式
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第七章
*三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体பைடு நூலகம்常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Pr jc a Pr jc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有
a b 0
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a ( b)
b
(a b)
( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b )
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
cos
a b

a b cos , 得 a x bx a y by a z bz
2 2 2 bx b y bz
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( 行列式计算见 P339～P342 )
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例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
F
O
OP F M 符合右手规则 M OP
P
Q

L
F
M F
o
M
P
OQ OP sin
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2 2
a a ,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2ab cos
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4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
记作

M1
s
W Fs
M2
a b
为a 与b 的数量积 (点积) .
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b 在a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
Pr ja b
b

a 0, b 0
则 a b 0

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例1. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b

a
C
c
2
( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos
2. 性质
(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0
证明: 当 a 0 , b 0 时,
a∥ b
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0， 0 或 即
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
故
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例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 为).
的夹角为
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
解:
P
v
为单位向量
A vn

A
单位时间内流过的体积
v
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二、两向量的向量积