9.2简谐振动的运动学
简谐振动最基本最重要的运动
当θ角很小时，有： M mgh —— 谐振
单摆：I mL2 h = L I
I
g
L
2 g
L
T 2 L
g
复摆：
2 mgh
I
T 2 I
mgh
振动周期均取决于系统本身。
七.谐振的能量
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin 2 (
2
t
)
1 kA2 sin 2 (
2
t
)
Ep
1k 2
02 2 A、φ由初始条件决定。
若：
2＞
2 0
则为过阻尼振动，物体将缓慢逼近平衡位置。
2 02
称为临界阻尼，物体回到平衡位置，并静止。
应用：电表中的电磁阻尼。临界阻尼。 二. 受迫振动
1.受迫振动 ： 振动系统在周期性外力的持续作用 下发生的振动。此外力称驱动力。若强迫力按简谐 振动规律变化，则受迫振动也是谐振，周期为外力 的周期，振幅保持不变。
阻尼越小，振幅越大。
定量分析：
dA d (
f
)0
d p
d p
(
2 0
2 p
)2
4
2
2 p
得： 02 2
A Amax
f
Amax
2
02 2
阻力越小，ωp越接近ω0。同时 Aτ也越大。
β
0
ωτ
ω0
Amax
∞
§6. 谐振的合成
一.两个同方向 同频率的合成
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
A = A1－ A2 为最小 二.同方向不同频率的合成 拍
合振动的振幅、频率均随时间变化，不是简谐振动。
简谐运动的动力学和运动学
2 简谐振动
简谐运动 最简单、最基本的振动
简谐运动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐运动的物体
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
二 简谐振动动力学特征
弹簧振子的振动
l0 k
m
A
o
x0 F 0
第九章 振 动
x
A
6
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
振动的成因
a 回复力 b 惯性
（2）简谐运动的动力学方程 d2 x 2 x
（3）简谐运动的运动学描述 dt 2
x A cos(t ) v A sin(t )
（4）加速度与位移成正比而方向相反
a 2 x
第九章 振 动
25
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
弹簧振子 k m
单摆 g l
复摆 mgl
16
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
2 周期、频率
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
x
注意
A
弹簧振子周期 o
A
T 2π m k
xt图
Tt
T 2
第九章 振 动
17
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
x Acos(t )
x x t图
A
T 2π 取 0
o
t
T
A
v A sin(t )
v
A
A cos(t π)
简谐运动及其描述(精品课件)
刻，质点位移大小相等、方向
相同
运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
3．基本特征 回复力F与位移x大小成正比，回复力的方向与位移方 向相反．此式一方面向我们描述了简谐运动的动力学特征， 另一方面也向我们提供了判断物体是否做简谐运动的依 据．
►疑难详析◄ 1．当物体振动经过平衡位置时，物体受到的合外力
不一定等于零，物体不一定处于平衡状态．例如单摆经过
个运动周期的时间内通过的路程是振幅的4倍，在半个周期 的时间内通过的路程是振幅的2倍，但是在四分之一周期时
间内通过的路程就不一定等于振幅．当物体从平衡位置和
最大位移之间的某一位置开始运动四分之一周期时间通过 的路程就不等于振幅了．
2．判断各时刻振子的速度方向 在简谐运动图象中，用做曲线上某点切线（斜率）的
出的①②③④四条振动图线，可用于表示振动的图象是 (
时t＝0，则图象为①
)
A．若规定状态a B．若规定状态b
时t＝0，则图象为②
C．若规定状态c 时t＝0，则图象为③
D．若规定状态d
时t＝0，则图象为④
图3
[答案] AD
一质点做简谐运 动的图象如图4所示，下列说法正确的 是 速度为负 ( ) A．在0.035 s时，速度为正，加
注意： A．简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．
B．简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的
重复性．简谐运动是一种复杂的非匀变速运动．但运动的 物点具有简单的周期性、重复性、对称性．所以用图象研
究要比用方程要直观、简便．
►疑难详析◄ 1．振幅与位移、路程的关系
位移的大小总小于等于振幅，做简谐运动的物体在一
发现树枝在10 s内上下振动了12次，将50 g的砝码换成500 g 砝码后，他发现树枝在15 s内上下振动了6次，你估计鸟的
简谐振动的动力学特征及运动学-PPT
• 动力学方程
d2 dt
x
2
2
x
0
9
§4-1 简谐振动的动力学特征
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
两振动位相之差
＝2－ 1
•当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
•当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
•0<<
2 超前于1 或 1滞后于2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
•谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x
A cos( t
A sin(
§4-2 简谐振动的运动学
例题 质点沿x轴作谐振动, 周期T=s, t=0时， xo 2m ,o 2 2m / s,求振动方程。
解： x =Acos( t+ )
2 2
T
A
xo2
o2 2
2
cos 2
2
sin 2
2
3
4
得x 2cos( 2t 3 )m
4 32
dt 2
x Acos(t 0 )
cos(t
0
)
sin(t
0
2
)
令
'
0
2
x Asin(t ' )
简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示.
简谐运动
05
实验技术与数据处理方法
实验设计原则及注意事项
确保实验环境稳定
避免外部干扰，如电磁场、振动等，对实验 结果的影响。
确定合适的实验参数
如振幅、频率等，确保实验数据具有代表性 和可比性。
选择合适的实验装置
根据实验需求，选用精度高、稳定性好的实 验装置。
信号调理和滤波处理
信号放大与衰减
根据实验需求，对信号进行适当的放大或衰减处理。
滤波处理
采用合适的滤波器，滤除信号中的高频噪声和低频干扰成分。
信号整形与变换
对信号进行整形和变换处理，以便于后续的数据分析和处理。
误差来源及减小误差方法
系统误差
随机误差
由于实验装置、测量方法等因素引起的误 差，可通过校准实验装置、优化测量方法 等方式减小。
研究电磁场与物质之间的相互作用机制，包括电磁感应、电磁辐射等现象，为材料科学、生物医学等领域提供技 术支持。
生物医学领域应用前景
生物力学研究
利用简谐振动原理研究生物体的 力学特性和运动规律，为生物医 学工程提供理论基础。
医疗诊断与治疗
将简谐振动技术应用于医疗诊断 与治疗领域，如超声波诊断、振 动按摩治疗等，为人类健康事业 做出贡献。
02
简谐振动动力学分析
动力学方程建立
牛顿第二定律应用
01
基于牛顿第二定律，分析简谐振动物体的受力与加速度关系，
建立动力学方程。
振动微分方程
02
通过简化模型，得到描述简谐振动的微分方程，如弹簧振子的
振动微分方程。
初始条件设定
03
确定简谐振动的初始位置、初速度等条件，以便求解振动方程
大学物理第九章振动学基础
处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
大学物理 第9章 简谐振动
9.2 简谐振动的规律 9.3 简谐振动的合成
9.1 简谐振动的定义
9.1.1 弹簧振子的振动
9.1.2 简谐振动的定义
9.1.3 单摆的运动规律
9.1.4 LC振荡回路中电容器 上电量的变化规律
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
下面我们重点对合振动的振幅进行讨论
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
t 2 t 1 2 1
讨论：两种特殊情况
(1) 21=2k (k=0,1,2,…) 两分振动同相
A A1 A 2
o
考虑方向 F mg 简谐振动！
mg
0
F ma mg
t 0
l
又 a
l d
2
dv dt
l
d
2
dt
2
T
F
O
dt
2
g
即
d 2 g 0 2 l dt
d （v l ） dt
mg
g l
2 T 2
2
x
A x A y cos t
2 2
（2）相位差 y x ，轨迹方程为
x Ax y Ay 0
x
2 2
y
2 2
2
xy Ax Ay
cos(
Ax
Ay
y
x ) sin (
2
y
简谐振动运动方程
简谐振动运动方程简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它在自然界和工程领域中都有广泛应用。
简谐振动的运动方程描述了振动物体在平衡位置附近的周期性运动规律，可以用于解释弹簧振子、摆钟、电路中的振荡电流等现象。
简谐振动的运动方程可以表示为x = A*cos(ωt+φ)，其中x表示振动物体距离平衡位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位差。
这个方程描述了振动物体随时间变化的位置情况。
简谐振动的周期是指振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
周期T与角频率ω之间有关系T = 2π/ω。
振动的频率则是指单位时间内完成的振动次数，可以表示为 f = 1/T = ω/2π。
振动的频率与角频率是相互关联的，它们描述了振动物体的快慢程度。
简谐振动的振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，振动物体的运动范围就越大。
振动物体的能量也与振幅有关，振幅越大，能量越高。
振幅与振动物体的势能和动能之间也存在着一定的关系。
简谐振动的初相位差是指振动物体在某一时刻与参考点的位移差。
初相位差决定了振动物体的起始位置，它与振动物体的初始条件有关。
初相位差的不同会导致振动物体的运动规律发生变化。
简谐振动的运动方程可以通过牛顿定律和胡克定律推导得到。
牛顿定律指出，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，胡克定律则描述了弹簧的弹性特性。
将这两个定律结合起来，可以得到简谐振动的运动方程。
简谐振动在自然界和工程中都有广泛的应用。
在自然界中，摆钟的摆动、弹簧振子的弹动、声波的传播等都是简谐振动。
在工程领域中，简谐振动的原理被应用于建筑物的抗震设计、机械振动的控制、电路中的振荡电流等。
简谐振动还有一些特殊的性质。
例如，简谐振动的位移、速度和加速度之间存在着一定的相位关系。
位移和速度的相位差是π/2，位移和加速度的相位差是π。
这些相位关系可以通过简谐振动的运动方程进行推导得到。
简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它可以用运动方程来描述振动物体的运动规律。
简谐振动的动力学特征
= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
22
2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
23
24
§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点简谐振动是一种重要的物理现象，它在自然界和人类生活中都有广泛的应用。
本文将详细介绍简谐振动的规律和特点，并从多个角度进行描述。
一、简谐振动的规律和特点1. 定义：简谐振动是指物体在一个平衡位置附近做往复振动的运动。
它的运动方式具有周期性和对称性，是一种非常规律的振动。
2. 弹簧振子的例子：弹簧振子是最常见的简谐振动的例子之一。
当弹簧振子受到外力拉伸或压缩后，当外力移除时，它会以平衡位置为中心作往复振动。
3. 动力学规律：简谐振动的运动规律可以由胡克定律和牛顿第二定律得出。
根据胡克定律，当弹性体受力时，其恢复力与位移成正比。
牛顿第二定律则表明物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。
结合这两个定律，可以推导出简谐振动的运动方程。
4. 运动方程：简谐振动的运动方程可以表示为x = A * sin(ωt + φ)，其中x是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
这个运动方程描述了物体在平衡位置两侧往复振动的过程。
5. 特点一：周期性。
简谐振动的最基本特点是其运动是周期性的，即物体在一个周期内重复完成相同的运动。
周期T是指物体完成一个完整振动所需的时间，与角频率ω的倒数成正比。
6. 特点二：振幅和频率。
简谐振动的振幅A表示物体在振动过程中最大的位移，频率f表示单位时间内完成的振动次数。
振幅和频率都是简谐振动的重要参数，它们与物体的质量、劲度系数、外力等因素有关。
7. 特点三：相位差和初相位。
相位差是指两个简谐振动之间的时间差，初相位是指物体在某一时刻的位移相对于平衡位置的位置。
相位差和初相位对于描述简谐振动的运动状态和相互作用非常重要。
8. 特点四：能量转化。
简谐振动是一种能量在不同形式之间转化的过程。
在振动过程中，物体的动能和势能会不断相互转化，当物体通过平衡位置时，动能最大，而位移最大时，势能最大。
9. 特点五：应用广泛。
简谐振动的规律和特点在物理学、工程学、生物学等领域都有广泛的应用。
简 谐 振 动
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹 （Hz）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k
m
故有：
T 2π m k
1 k
2π m
由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
v dx Asin（t ）
dt
a
d2x dt 2
2 Acos（t
）
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。 将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖 直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在 摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx
上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。
根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
a F k x mm
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
物理学
简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
第9章简谐振动
0
O
t
0t 0
t
0
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。
[例题4] 质点作简谐振动的曲线x t 如图所示，试根据图推
出该质点的振动式。
[解] 因 x Acos(t )，从图 得 A = 4，下面计算 和 。
x/cm 4
据图有 t 0 时，x 2 ，代 2
5.相位差：两振动相位之差 (1 2 ) 。
讨论下列几种情况：
（1）若(1 2 ) 是2k的整2数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2) (2是k 1)的 奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 ，2 )则 称0 超前1 ；2 （4）若2 (1 2，) 则称 落后1 ；2
x2 A2 cos(0t 2 )
A2 cos(0t 1 2nπ) A2 cos(0t 1 ) v2x 0 A2 cos(0t 2 ) 0 A2 cos(0t 1 )
二振动相位相同，即振动状态相同，同步调.
(2) 1 2 (2n 1)π (n 0,1,, n)
动，振动频率为
f 1 2 2
k1
m 2
k1k2 / (k1 k2 )m
讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产 生影响。
§9.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动方程
解方程
d2x dt 2
02 x
简谐运动动力学方程
设初始条件为: t 0 时，x x0 ，v=v0
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解：x Acos(0t )
大学物理振动和波动知识点总结
大学物理振动和波动 知识点总结1．简谐振动的基本特征（1）简谐振动的运动学方程: cos()x A t ϖϕ=+（2）简谐振动的动力学特征:F kx =-r r 或 2220d x x d t ϖ+= （3）能量特征： 222111222k p E E E mv kx KA =+=+=， k p E E = （4）旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A r 在x 轴上的投影点的运动可用来表示简谐振动。
旋转矢量的长度A r 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。
2．描述简谐振动的三个基本量（1）简谐振动的相位：t ωϕ+，它决定了t 时刻简谐振动的状态；其中：00arctan(/)v x ϕω=-（2）简谐振动的振幅：A ，它取决于振动的能量。
其中：A =（3）简谐振动的角频率：ω，它取决于振动系统本身的性质。
3．简谐振动的合成(1)两个同方向同频率简谐振动的合成:合振动的振幅：A =合振幅最大： 212,0,1,2....k k ϕϕπ-==；合振幅最小：21(21),0,1,2....k k ϕϕπ-=+=（2）不同频率同方向简谐振动的合成：当两个分振动的频率都很大，而两个频率差很小时，产生拍现象，拍频为21ννν∆=-；合振动不再是谐振动，其振动方程为21210(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+=（3）相互垂直的两个简谐振动的合成：若两个分振动的频率相同，则合成运动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单的整数比，则合成运动的轨迹为李萨如图形。
（4）与振动的合成相对应，有振动的分解。
4．阻尼振动与受迫振动、共振：阻尼振动： 220220d x dx x dt dt βϖ++=；受迫振动 220022cos d x dx x f t dt dtβϖϖ++= 共振: 当驱动力的频率为某一特定值时,受迫振动的振幅将达到极大值.5．波的描述（1）机械波产生条件:波源和弹性介质（2）描述机械波的物理量:波长λ、周期T （或频率ν）和波速u ，三者之间关系为：uT λ= u λν=（3）平面简谐波的数学描述：(,)cos[()]xy x t A t uωϕ=±+； 2(,)cos()x y x t A t πωϕλ=±+；(,)cos 2()t x y x t A T πϕλ=±+ 其中，x 前面的±号由波的传播方向决定，波沿x 轴的正(负)向传播，取负(正)号。
《力学》第九章振动ppt课件
3. 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
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二、简谐振动的几个例子 1. 弹簧振子
如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点 （即平衡位置），x 表示位移：
第九章 振动
f x kx
由牛顿第二定律：
d2x
直纸面向外， M z mgasin sin ，故：
I
d 2
dt 2
，
很小时：
因此，
d 2 mga 0
dt 2 I
d 2
dt 2
02
0，
0
mga I
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4. L-C振荡回路（详见《电磁学》） 总结：
第九章 振动
任何物理量 （x 例：长度，角度，电量等）的变化规律
满足方程⑴式，且常量 理量作简谐振动。
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第九章 振动
[例1] 一弹簧振子，t＝0 时，
x0
1 2
A, v0
0
.求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
3
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第九章 振动
[例2] 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解： x cos(0t )
决0定于系统本身的性质，则该物
判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
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第九章 振动 §9.2 简谐振动的运动学特征
本节主要研究：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动 的运动学特征。
一、简谐振动的运动学方程
简谐运动的运动方程
简谐运动的运动方程简谐运动是一种周期性的振动运动，它是自然界中最常见的运动形式之一，如弹簧振子、摆锤等都属于简谐运动。
本文将介绍简谐运动的运动方程，包括简谐振动的定义、简谐振动的特点、简谐振动的数学表达式等内容。
一、简谐振动的定义简谐振动是指物体在一个稳定平衡位置附近做周期性的往复运动。
这个稳定平衡位置叫做平衡位置或静止位置，物体在这个位置附近做往复运动时，它所受到合力为零。
例如一个弹簧上悬挂一个重物，在没有外力作用下，重物会处于弹簧的自然长度处，这个状态称为平衡状态。
如果将重物稍微向下拉一点使其失去平衡状态，则重物会因为受到弹簧力而向上回复到原来的位置，并且由于惯性作用而继续向上到达最高点后再次回落，如此反复进行。
二、简谐振动的特点1. 周期性：简谐振动是周期性的往复运动，即在相同时间内完成相同的运动过程。
2. 振幅相等：简谐振动的振幅大小是相等的，即在平衡位置附近做往复运动时，物体所到达的最大位移距离相等。
3. 频率相等：简谐振动的频率是相等的，即完成一个完整周期所需的时间相同。
4. 相位差：简谐振动中不同物体之间或同一物体在不同时刻之间具有不同的位置关系，这种位置关系称为相位差。
三、简谐振动的数学表达式简谐振动可以用一个正弦函数来描述：x = A sin(ωt + φ)其中，x表示物体离开平衡位置的距离，A表示振幅，ω表示角频率（单位为弧度/秒），t表示时间，φ表示初相位（即当t=0时x=A sinφ）。
根据上述公式可以得到简谐运动的运动方程：F = -kx其中F为合力大小，k为弹性系数（单位为牛顿/米），x为物体偏离平衡位置的距离。
这个公式告诉我们，在简谐振动中，物体所受到合力与其偏离平衡位置的距离成正比，且方向与偏离方向相反。
四、简谐振动的应用简谐振动在生活中有着广泛的应用，例如：1. 手表中的摆锤就是一种简谐振动，它的摆动频率决定了手表的计时精度。
2. 汽车悬架系统中的弹簧也是一种简谐振动，它可以减少车辆在行驶过程中的震动。
第9章《振动》习题解答
第9章《振动》习题解答9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.【解】刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，φ为与OC 铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对O 的转动定理；sin I M mgh βφ==-因φ很小故sin φφ=22222000d I mgh dt d mghdt Iφφφφω∴+=+==9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，轻弹簧的劲度系数为1k 和2k ，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率.【解】以物体m 为隔离体,水平方向受12,k k 的弹性力12,,F F以平衡位置为原点建立坐标系O x -，水平向右为x 轴正方向。
设m 处于O 点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。
m 发生一小位移x 之后，弹簧1k 的伸长量为x ，弹簧2k 被压缩长也为x 。
故物体受力为：1212---()x F k x k x k k x ==+ （线性恢复力） m 相当于受到刚度系数为12k k k =+的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律：21222122()()0d xm k k x dt d xm k k x dt=-+++=2120k k mω+=9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为1k .若在振子和弹簧1k 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数2k 应是1k 的多少倍？【解】未串时：平衡位置 1mg k =212212()0d xmg k x m dt d xm k x dt-+=+=0ω=串联另一刚度系数为2k 的弹簧：此时弹簧组的劲度系数为?k =112212121212121212;/()//()k l mg k l mg k k mgl l mg k k k k k k l mg k k k k k k =⎫⎬=⎭++==+=∴=+0ωω'==前已知：2ωω='02ωω'===前解得：2113k k =9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a (<g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为 .【解】（1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力W，摆线张力T ，惯性力f ma *=- 。
简谐运动的振动方程
简谐运动的振动方程
简谐运动是一种特殊的周期性运动，其振幅在一个固定的周期内按照
正弦或余弦函数进行变化。
简谐运动在物理学中有着广泛的应用，如
弹簧振子、单摆等都属于简谐运动。
因此，了解简谐运动的振动方程
是非常重要的。
简谐运动的振动方程可以表示为：
x = A * sin(ωt + φ)
其中，x表示物体距离平衡位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
角频率ω和周期T之间有以下关系：
ω = 2π/T
初相位φ是指物体在t=0时刻所处的相位。
如果物体在平衡位置右侧，则φ为正；如果物体在平衡位置左侧，则φ为负。
由于sin函数是周期性函数，在一个周期内它会不断地从0到1再到0
再到-1再回到0。
因此，在一段时间内完成若干个周期后，物体又回到了初始状态。
简谐运动还有另一种表达方式：x = A * cos(ωt + φ)。
这两种表达方式本质上是等价的，只是相位不同而已。
除了上述公式外，还有一些与简谐运动相关的公式。
例如，简谐运动的周期T和频率f之间有以下关系：
T = 1/f
简谐运动的角频率ω和频率f之间有以下关系：
ω = 2πf
简谐运动的周期T和振幅A之间有以下关系：
T = 2π√(m/k)
其中，m表示物体的质量，k表示弹簧的劲度系数。
总之，了解简谐运动的振动方程是非常重要的。
在物理学中，我们可以通过这个方程来计算物体在不同时间点处于什么位置、速度和加速
度等参数。
因此，掌握这个方程可以帮助我们更好地理解和应用简谐运动。
简谐振动的运动学
第九章 振 动
ω v = − A ω sin( ω t + ϕ ) π = Aω cos(ωt + ϕ + ) 2 2 a = − A ω cos( ω t + ϕ )
= Aω cos(ωt + ϕ + π )
2
x = A cos(ωt + ϕ ) 2π T= 取ϕ = 0
A −A
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x = Acos(ω0t + α )
第九章 振 动
讨论
0 = A cos α
已知 t = 0, x = 0, v0 < 0 求
π α =± 2
r v
α
x
Q v0 = − Aω0 sin α < 0
o
x
∴ sin α
π > 0取 α = 2
x −t图
T
T 2
π x = A cos(ω0t + ) 2
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第九章 振 动 [例题 某简谐振动规律为 x = A cos( 10 t + α ) 初始条件 例题3] 例题 求该振动的初相位. 为 t = 0, x0 = 1, v0 x = −10 3 ，求该振动的初相位 [解] 解
x = Acos(ω0t + α )
vx = − Aω0 sin(ω0t + α )
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第九章 振 动
ω
t =t
ωt + ϕ
v A
x
o
x = A cos(ωt + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
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曲线法
已知曲线
A、 T、
曲线
已知 A、T、
A
o
x T
= /2 t
-A
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第九章 振 动 2. 相轨迹(相图) vx
x2
v2 x
2 0
A2
O
x
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第九章 振 动
§9.2.3 简谐振动矢量表示 由图可得：
x A cos(0t )
0 t
2 t 0 x 12 v0 1 cos 2
x(t 1) 24 cos( ) 20.8 cm 2上 页 3 下页 返回
x 24 cos( t ) cm 2 3
3
结束
第九章 振 动
a A cos( ) 24 cos 0.512 m/s -2 2 3 6 2
o
5 1 , 3 3
1
t ( s)
x
t 1s
3.14 s
1
2 5 1 3 3
故振动方程为
2 x 10 cos(t )cm 3
第九章 振 动
例5. k=1.6N/m, m=0.4kg. 放在光滑的水平面上，求 下列几种情况下的谐振动方程：１. 将物体拉至0.2m处 释放；２. 把物体拉至0.1m处释放；３. 把物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ拉至 0.1m处给物体一向右的初速v0=0.2m/s。 解：
π 位移比速度相位落后 2
π 速度比加速度相位落后 2
0t π) 弹性力 Fx max kAcos(
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第九章 振 动
[例题3] 质点按 x A cos( 0t ) 作简谐振动.设于某时刻, π π 相位 0 t 0, π, , , 图示这些瞬时质点的运动状 2 2 态。
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k )] m0 m
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16
第九章 振 动
§9.2.2 简谐振动的 x-t 图线和相轨迹
1. x-t 图线 振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线 的“密集和疏散”. x O 初相位 = 0
x
t O t
t
0
0 t 0
0
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第九章 振 动
0T = 2 n
T 的最小值
T 2π 0
I T 2π c
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弹簧振子、单摆和扭摆周期分别为
m T 2π k
l T 2π g
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第九章 振 动 频率()—— 单位时间内物体所作完全振动的次数. 角频率()—— 2 秒内完成振动的次数.也称固有频率.
1 0 T 2π
x 0, v x 0 A
x 0, v x 0 A
v
● ● ０
返回
v
A
结束
A
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x
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第九章 振 动 [例4]一弹簧振子由劲度系数为k的弹簧和质量为m0的物块组成， 将弹簧的一端与顶板相连，如例图所示。开始时物块静止，一 颗质量为 m 、速度为 v0 的子弹由下而上射入物块，并停留在物 块中。 （1）求振子以后的振动振幅A与周期T； （2）求物块从初始位置运动到最高点所需的时间t。 以物块和子弹为研究对象，以系统碰撞后的平 解： 衡位置为坐标原点，向下为正方向。 设物块碰前，物块相对弹簧原长的平衡位置为 x0 ，碰后，物块和子弹构成系统的平衡位置相 对弹簧原长为x1，忽略碰撞期间子弹的重力。
Ff mg sin mac m( R r )
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第九章 振 动
绕质心转动：
接触点纯滚动： 小幅度振动条件： 联立得： 其中
2 2 Ff r I ' ' mr ' 5
( R r ) r ' 0
sin
02 0
5g 7( R r )
若 ( 2 - 1 ) = (2n+1), n为整数，称两简谐振动反相位.
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第九章 振 动 3.简谐振动的速度和加速度
x A cos( 0 t )
dx vx A 0 sin( 0 t ) dt
π 0 A cos( 0 t ) 2 dv x 2 ax 0 A cos( 0 t ) dt 2 0 Acos( 0t π)
2 0
k 整理得：x x 0，其中， ，系统做简谐振 (m0 m)
动。
振动周期为：
(m0 m) T 2π 0 k 2π
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15
第九章 振 动 系统的运动学方程为：
x A cos(0t ) ， v A0 sin(0t )
2
2
f ma 0.01 0.512 5.12 10
２、
3
N
x 24 cos( t ) 12 2 3 1 cos( t ) 2 3 2
t (2k 1) 2 3 3 t 2(2k 1) k 1,2...... t min 2 s
A(t )
旋转矢量法析 简谐振动直观、 简洁。
A
O
A( t 0)
A
x
x
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例4. 已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如 10 图所示，试求其振动方程。 5 0 解：用旋转方法 设振动方程为
x(cm)
5 10
1
t ( s)
t 0
2 3
x A cos(t )
设 t = 0, x = x0 ,v = v0
则 x0 A cos
A
v0 A0 sin
2 x0 2 0 2 v0
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第九章 振 动 (3) 相位和初相位 相位 =( t + )，决定振动系统在任意瞬时的运动状态. 初相() (t = 0 时的相位). 决定振动系统在t=0时的运动状态. v0 tan x x0 如图a、b两点运动状 t 态不同，相位亦不同. c和a运动状态同，相位 差2n .
2 0
7( R r ) 因此小球的振动周期： T 2π 0 5g 2π
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第九章 振 动 (2) 振幅 振幅A—— 物体离开平衡位置最大位移的绝对值. A由初始条件定.
x A cos( 0 t )
dx vx A 0 sin( 0 t ) dt
x
m
=0
O
x
其解
或
x(t ) A cos( 0t ) x(t ) Asin( 0 t )
动画演示1
A与 由初始条件定.
动画演示2
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第九章 振 动 2. 特征量物理意义 (1)周期、频率和圆频率 周期(T)—— 系统作一次完整振动所需时间. x( t ) = x( t +T ) Acos(0 t + ) = Acos[0(t + T )+ ]
初始条件： ( x1 x0 ) A cos ， v A sin 1 0
2 v0 k v0 mg 解得： A ， tan 1 2 g k (m0 m) g
k m0 m
物块达到最高点时： A A cos(0t )
则： t
(m0 m) v0 (π ) [ π arctan( 0 k g 1
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第九章 振 动 系统碰撞前后动量守恒：
mv0 (m0 m) v1
物块碰撞前振子的平衡位置：
kx0 m0 g
kx1 (m0 m) g
物块和子弹碰撞后的新平衡位置： 碰后系统动力学方程：
2 0
(m0 m) g k ( x1 x) (m0 m) x
由系统决定的，与初始条件无关。
k 1.6 2.0s 1 m 0.4 Ａ、 与与初始条件有关
v A x 0.2m １、
2 0
2 0 2
v0 tg 0 x0
1
x 0.2 cos(2t ) (m)
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第九章 振 动
２、
v A x 0.1m
[解]振动状态由x 、v 定
x A cos( 0 t )
dx vx A 0 sin( 0 t ) dt
● ●
0 t 0 0 t π
π 2 π 0t 2
x A, v x 0
x A, v x 0
0t
2 0
2 0 2
v0 tg 0 x0
1
x 0.1cos(2t ) (m)
３、
v 0.2 2 2 A x 0.1 ( ) 0.141m 2 1 v0 1 0.2 1 tg tg tg (1) 45 x0 2 0.1
由曲线知 A 10cm
1 x0 A cos 2
o 4
3
x
2 4 或 3 3
v0 A sin 0
取
2 3
2 x 10 cos( t ) 3
x(cm)