第一章力学

10
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例1
（1）太阳是圆的； （2）成都是一个旅游城市； （3）北京是中国的首都； （4）4是质数； （5）ｘ+y>０； （6）3能被2整除； （7）地球外的星球上也有人； （8）中国是世界上人口最多的国家； （9）今天是晴天；
1 1 1 0 非命题 0 1/0 1 1
研究内容：
（1）研究以命题为基本单位构成的前提和结论 之间的可推导关系 （2）研究什么是命题？ （3）研究如何表示命题？ （4）研究如何由一组前提推导一些结论？
2018/10/12
6
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第一章
命题逻辑的基本概念
命题逻辑的特征： 在研究逻辑的形式时，我们把一个命题只 分析到其中所含的命题成份为止，不再分析下 去。不把一个简单命题再分析为非命题的集合， 不把谓词和量词等非命题成份分析出来。
2018/10/12
28
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
命题联结词的应用
例 8 用复合命题表示如下图所示的开关电路：
P Q P Q P
图3.2.1
图3.2.2
图3.2.3
A∧B
2018/10/12
A∨B
A
29
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
1.2
命题公式及其赋值
一、命题常项（命题常元） 简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位，其真值是确定的。 相当于初等数学的常量。 二、命题变项（命题变元） 取值1（真）或0（假）的变元称作命题变项，称它为命题变量 (或命题变元)，无具体的真值，它的变域 {T，F}(或{0，1})， 注意 (1)命题变项不是命题，表示真值可以变化的陈述句； (2)常项与变项均用p,q,r…表示； （3)命题变项与命题常项的关系相当于初等数学中变量与变量 的关系。
2018/10/12
16
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
五、命题联结词
设命题P,Q表示任意两个命题,则最常见的命题联结词有： 联接词 记号 复合命题 1.否定 2.合取 3.析取 ┐ ∧
非P
读法 P的否定
记法
┐P
真值结果
┐P=1 P=0
P并且Q P与Q的合取 P∧Q P∧Q=1P=1且Q=1 P或者Q P与Q的析取 PQ P∨Q=0P=0且Q=0 若P,则Q
四、命题的分类
一般来说，命题可分两种类型：
1) 原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单
命题的命题。
2) 复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。
而且这些简单命题之间是通过如“或者”、 “并且”、“不”、“如果...则...”、“当 且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而构 成一个复合命题。
2018/10/12
2018/10/12
25
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例6
设命题P：你陪伴我；
Q：你代我叫车子；
R：我将出去。 符号化下述语句：
R→(P∨Q) 或 (P∧Q)→R ┐(P∨Q)→┐R (┐P∨┐Q)→┐R
⑴．除非你陪伴我或代我叫车子，否则我将不出去 ⑵．如果你陪伴我并且代我叫辆车子，则我将出去 ⑶．如果你不陪伴我或不代我叫辆车子，我将不出去
例7
设R:a能被4整除;S:a能被2整除。将下列命题符号化： （1）只要a能被4整除，则a一定能被2整除； R→S （2）a能被4整除，仅当a能被2整除； R→S （3）除非a能被2整除，a才能被4整除； R→S （4）除非a能被2整除，否则a不能被4整除； R→S （5）只有a能被2整除，a才能被4整除； R→S （6）只有a能被4整除，a才能被2整除； S→R
第一部分
重点掌握 1 1、五种基本 联结词 2、24个基本 的等价公式 3 掌握求命题 范式的方法
2018/10/12
数理逻辑
一般掌握
了解 3 联结词完备集
2
公式的代入规 则和替换规则
的理解和学习
5
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第一章
命题逻辑的基本概念
命题逻辑也称命题演算，或语句逻辑。
2018/10/12
11
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例1（续）
非命题 （10）把门关上； 非命题 （11）今天天气真好啊！ 非命题 （12）你要出去吗？ （13）我只给所有不理自己头发的人理发。 悖论、非命题
2018/10/12
12
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
结论：
命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、条件、实 际情况时间才能确定其真值，重要的是它有唯一的真值。 一切没有判断内容的句子都不能作为命题，如命令句、感叹句、 疑问句、祈使句的陈述句等。
则命题（2）可表示为Ｐ∧Ｑ∧R。
（3）设Ｐ：教室的灯不亮可能是灯管坏了
Ｑ：教室的灯不亮可能是停电了 则命题（3）可表示为Ｐ∨Ｑ。
2018/10/12
22
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例4 解(续)
（4）设Ｐ：周末天气晴朗；
Ｑ：学院将组织我们到石像湖春游。
则命题（4）可表示为Ｐ→Ｑ。 （5）设Ｐ：两个三角形全等； Ｑ：三角形的三条边全部相等。 则命题（5）可表示为ＰＱ。 （6）设P:4是素数；Q：6是素数。则命题（6）可表为：Ｐ∨Ｑ
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第一部分 数理逻辑
数理逻辑（Mathematical Logic）
——是研究演绎推理的一门学科，用数学的
方法来研究推理的规律统称为数理逻辑。
Байду номын сангаас
1
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第二篇 数理逻辑
主要研究内容：推理 ——着重于推理过程是否正确
——着重于语句之间的关系
（7）小园只能拿一个苹果或一个梨；
（8）张静只能挑选202或203房间。
2018/10/12
21
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例4 解
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
2018/10/12
26
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
说明：
1、P Q的逻辑关系：Q为P的必要条件； 2、如果P，则Q的不同表述方法较多: 1)若P,就Q; 2)只要P，就Q; 3）P仅当Q; 4）只有Q才P; 5）除非Q，才P或除非Q，否则非P...;
27
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
(7)设P:小园拿苹果；Q：小圆拿梨。则命题（7）可表为： (P Q) ( P Q).
(8)设P:张静挑选202房间；Q：张静挑选203房间。则命题（8）可表为：
(P Q) ( P Q).
2018/10/12
23
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
约
定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下： 1. 否定→合取→析取→蕴涵→等价 2. 同级的联结词，按其出现的先后次序 (从左 到右) 3. 若运算要求与优先次序不一致时，可使用 括号；同级符号相邻时，也可使用括号。 括号中的运算为最优先级。
2018/10/12
3
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第一部分
数理逻辑
主要研 究内容
推理理论
命题逻辑
命题的基本概念
命题联结词
命题公式 命题的范式
谓词逻辑
谓词的基本概念 谓词公式 公式的标准型
命题逻辑推理理论 谓词逻辑推理理论 数学归纳法 按定义证明法
2018/10/12
4
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
2018/10/12
13
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例2
下列语句是否是命题？并判断其真值结果？
（1）四川不是一个国家；
（2）3既是素数又是奇数；
（3）张谦是大学生或是运动员； （4）如果周末天气晴朗，则我们将到郊外旅游； （5）2+2=4当且仅当雪是白的。
2018/10/12
14
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程

→ ↔
4.蕴涵
5.等价
2018/10/12
P蕴涵Q
P→Q P→Q=0
P=1,Q=0
P当且仅当Q P等价于Q P↔Q
例如：命题P：2是素数；Q：北京是中国的首都
PQ=1P=1,Q=1 或P=0,Q=0
17
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
总结
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1
┐P
2018/10/12
24
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例5
设命题 P：明天上午七点下雨； Q：明天上午七点下雪；
R ：我将去学校。 可符号化为： 符号化下述语句： (P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨ 1) 如果明天上午七点不是雨夹雪，则我将去学校 (P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)。 2) 如果明天上午七点不下雨并且不下雪，则我将去 或 ((P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q) 可符号化为:(P∨Q)→┐R。 可符号化为：┐(P∧Q)→R。 学校 ∨(┐P∧┐Q))∧R。 3) 如果明天上午七点下雨或下雪，则我将不去学校 可符号化为:(┐P∧┐Q)→R。 4) 明天上午我将雨雪无阻一定去学校
20
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例4
符号化下列命题 （1）四川不是人口最多的省份；
（2）王超是一个德智体全面发展的好学生； （3）教室的灯不亮可能是灯管坏了或者是停电了； （4）如果周末天气晴朗，那么学院将组织我们到石像湖春 游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部相等； （6）4或6是素数；
主要研究方法：数学的方法 ——就是引进一套符号体系的方法，所以数 理逻辑又叫符号逻辑（Symbolic Logic）。
2018/10/12
2
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
总结
什么是数理逻辑 ？ 用数学的方法来研究推理的规律统称为数理逻 辑，是研究推理的数学分支，推理由一系列陈述句 组成。 为什么要研究数理逻辑？ 程序＝算法＋数据 算法＝逻辑＋控制
2018/10/12
7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第一章
1.1
1.2
命题逻辑的基本概念
命题与联结词
命题公式及其赋值
8
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
1.1 命题与联结词
一、 命题 非真即假的陈述句称为命题。 二、 命题的真值 作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值。
15
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例3
1) 今天天气很冷。
2) 今天天气很冷并且刮风。 3) 今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。
简单命题符号化：
1、通常用大写的带或不带下标的英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ、...P、 Q、R、... Ai、Bi 、Ci、...Pi、Qi、Ri、...等表示简单命 题 2、用”1“表示真，用”0“表示假。
（真值唯一）
三、真值的取值 只取“真”和“假”两个值，可用“Ｔ”(或“１”)和 “Ｆ”(或“０”)表示。 真命题：命题表达的判断正确
假命题：命题表达的判断错误。
2018/10/12
9
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
1.1 命题与联结词
注意： 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题； 陈述句中的悖论、判断结果不唯一的都不是命题。
2018/10/12
19
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
说明
3、联结词与自然语言之间的对应并非一一对应； 联结词 ∧ → ↔
2018/10/12
自然语言 既…又…、不仅…而且…、虽然…但 是…、并且、和、与，等等； 如P则Q、只要P就Q、P仅当Q、只有Q才P、 除非Q否则P，等等 等价、当且仅当、充分必要、等等； 相容（可兼）或和排斥或
2018/10/12
30
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
三、合式公式
1、合式公式：将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑 关系链接起来的符号串。 2、（合式）公式（命题公式或命题形式）递归定义： 1）单个命题变项和命题常项是合式公式，并称为原子命题 公式变元本身是一个公式； 2）如果A是合式公式，则(┐A)也是公式； 3)如A，B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB) 也是公式； 4)有限次地应用1）-3）形成的符号串是合式公式。 3、B是A的子公式：设A为合式公式，B为A中一部分,若B也是 合式公式,称B是A的子公式。
1 1 0 0
P∧Q 0 0 0 1
P∨Q 0 1 1 1
P→Q 1 1 0 1
P↔Q
1 0 0 1
2018/10/12
18
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
说明
1、联结词是句子与句子之间的联结，而非单纯的
名词、形容词、数词等地联结； 2、联结词是两个句子真值之间的联结，而非句子 的具体含义的联结，两个句子之间可以无任何 地内在联系；