浙教版八年级三角形中几种模型

一、手拉手模型：

1手的判别：

判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义

两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论

①△ABC ≌△AB'C'(SAS) \

②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC'

二、例题

例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） > （3） AE=DC

（4） AE 与DC 的夹角为60。

（5） △AGB ≌△DFB （6） △EGB ≌△CFB （7） BH 平分∠AHC

:

》

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

^

~

变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

/

变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立

（2）AE 是否与CD 相等

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分∠AHC

*

例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立

（2）AG 是否与CE 相等

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE

—

\

例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立

（2）AG 是否与CE 相等

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE

\

二、半角模型

1、条件：

2、思路：①截长补短 #

②旋转

例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，

求证：①.∠MAN=

②.

③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.

:

例2拓展：在正方形ABCD 中，已知∠MAN=，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， ①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.

例3.在四边形ABCD 中，∠B+∠D=，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.

求证：

.

1802

10=+=γθβα且 45AB

C CMN 2=

∆

45 180.

21

BAD EAF ∠=∠

】

练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上

的点，且∠EAF=

2

1

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AE F绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，

如图

3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明..

!

练习巩固2：已知：正方形ABCD中，45

MAN

∠=，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当MAN

∠绕点A旋转到BM DN

=时，有BM DN MN

+=．当MAN

∠绕点A旋转到BM DN

≠

时，如图2，请问图1中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN

∠绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN

，和MN之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明．

N

M

D

C

B

A

N

M

C

D

B

A

N

M

D

C

B

A

;

练习巩固3：在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，

120BDC ∠=︒，BD CD =，

探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．

（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时Q

L

=

__________

（2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；

（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示)

$

练习巩固4：如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

求证：（1）MN=MB+DN ； ~

（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍；

（4）

=

ABCD CMN S 2AB

S MN

； （5）若∠MAB =20°，求∠AMN ； (

)

∠=ααMAB 0

45∠AMN 图①

M N

D C

B

A 图②

M

N

D C

B

A

N

图③

M

D C

B A