高中数学 §1.2.1几个常用函数的导数教案 新人教A版选修2-2

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2

y x =、1y x

=的导数公式；

2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2

y x =、1

y x =

的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2

y x =、1y x

=的导数公式

教学过程： 一．创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为

()()0y f x x f x c c x x x

∆+∆--===∆∆∆ 所以00

lim lim 00x x y

y ∆→∆→∆'===

0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程

关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数 因为

()()1y f x x f x x x x

x x x

∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00

lim

lim11x x y

y ∆→∆→∆'===

1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程

关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2

()y f x x ==的导数

因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222

2()2x x x x x x x x

+∆+∆-==+∆∆

所以00

lim

lim(2)2x x y

y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆

2y x '=表示函数2y x =图像

（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2

y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2

y x =增加得越来越快．若2

y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1

()y f x x

==

的导数 因为11

()()y f x x f x x x x x x x

-

∆+∆-+∆==

∆∆∆ 2()1

()x x x x x x x x x x

-+∆=

=-+∆∆+⋅∆

所以220011

lim

lim()x x y y x

∆→∆

→∆'==-=-∆

5．函数()y f x ==

因为

()()y f x x f x x x x

∆+∆-==∆∆∆

=

=

所以

0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆

（2）推广：若*

()()n y f x x n Q ==∈，则1

()n f x nx -'=

三．课堂练习 1．课本P 13探究1 2．课本P 13探究2

四．回顾总结

五．布置作业