§46不同力学量同时有确定值的条件测不准关系

§4.6不同力学量同时有确定值的条件测不准关系

重点：

算符的对易关系，测不准关系的物理意义

（一）不同力学量同?有确定的值的条件

定理：假若算符和有一组共同的本征函数、而且组成完全系，则算符和对易。

证明：因为

（n=,2,…）

依次是，的本征值；所以

（4.6-1）

由于组成完全系，则任一波函数可以按展开成

（4.6-2）

于是有

既然是任意的，所以

所以和是可对易的。

这个定理的逆定理也成立：如果和对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。

下面列举几个典型例子，说明上述定理的应用。

（1）坐标算符的三个分量之间是相互对易的，即

（4.6-3）

因而x，y，z可以同时有确定值，也就是说，它们有共同的本征函数。

（2）动量分量算符之间是相互对易的，即

（4.6-4）

证设任意波函数，有

对任意的上二式都成立，相减后得

同理可证明其它二式。

因此p x，p y，p z可同时有确定值，或者说，有共同的本征函数。

（3）动量分量算符和它对应的坐标算符不对易

（4.6-5）

因而动量分量和它对应的坐标不能同时有确定值。

（4）和，，都是可对易的

（4.6-6）

因而和，，中每一个对易，故分别和角动量每一个分量的算符有共同的本征函数。例如氢原子中电子的角动量平方算符与对易，它们有共同的本征函数，在这个态下同时测量和，必然得到相应的本征值。

（二）测不准关系