数学实验综合实验报告

一、实验目的:

1、初步认识迭代,体会迭代思想的重要性。

2、通过在mathematica 环境下编写程序,利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。

3、了解分形的的基本特性及利用mathematica 编程生成分形图形的基本方法, 在欣赏由mathematica 生成的美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。从哲理的高度理解这门学科诞生的必然性,激发读者探寻科学真理的兴趣。

4、从一个简单的二次函数的迭代出发,利用mathematica 认识混沌现象及其所 蕴涵的规律。

5、、进一步熟悉Mathematic 软件的使用,复习总结Mathem atic 在数学作图中的应用,为便于研究数学图像问题提供方便,使我们从一个新的视角去理解数学问题以及问题的实际意义。

6、在学习与运用迭代法求解过程中,体会各种迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同点。

二、实验的环境:

学校机房,mathematica4环境

三、实验的基本理论与方法:

1、迭代(一)—方程求解

函数的迭代法思想:

给定实数域上光滑的实值函数)(x f 以及初值0x 定义数列

1()n n x f x +=,Λ,3,2,1,0=n , (1)

n x ,Λ,3,2,1,0=n ,称为)(x f 的一个迭代序列。

(1)方程求根

给定迭代函数)(x f 以及初值0x 利用(1)迭代得到数列n x ,Λ,3,2,1,0=n 、如果数列收敛到某个*x ,则有

)(**x f x =、 (2)

即*x 就是方程)(x f x =的解。由此启发我们用如下的方法求方程0)(=x g 的近似解。

将方程0)(=x g 改写为等价的方程

)(x f x =, (3) 然后选取一初值利用(1)做迭代。迭代数列n x 收敛的极限就就是方程0)(=x g 的解。

为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程0)(=x g 的某一解的条件就是迭代函数)(x f 在解的附近的导数将的绝对值尽量小,因此迭代方程修订成

x x f x h x )1()()(λλ-+== (4) 选取λ使得|)(|x h '在解的附近尽量小、 为此, 我们可以令

,01)()(=-+'='λλx f x h

得

)

(11x f '-=

λ、 于就是 1

)()()(-'--=x f x x f x x h 、 特别地,如果取x x g x f +=)()(, 则可得到迭代公式 .,1,0,)

()(1Λ='-=+n x g x g x x n n n n (5) (2)线性方程组的数值解的迭代求解理论与矩阵理论

给定一个n 元线性方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++,,1

111111n n nn n n n b x a x a b x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ (6)

或写成矩阵的形式

,b Ax = (7) 其中)(ij a A =就是n 阶方阵,T n x x x x ),,(21Λ=及T n b b b b ),,,(21Λ=均为n 维列向量、

熟知,当矩阵A 的行列式非零时,以上的方程组有唯一解、如何有效,快速地寻求大型的线性方程组的数值解释科学工程计算中非常重要的任务、而迭代法常常就是求解这些问题的有效方法之一。

用迭代法求解线性方程组的思想与上一小节介绍的方程求根的方法就是类似的。将方程组(7)改写成

,f Mx x += (8) 其中)(ij m M =就是n 阶矩阵,T n f f f ),,(1Λ=就是n 维列向量、 任意给定初试向量0x ,由迭代

f Mx x n n +=+1 (9) 确定向量序列.,1,0,Λ=n x n 如果n x 收敛到向量*x ,则有

,**f Mx x +=

则*x 为方程组(7)的解、

假设矩阵A 的对角元素0,1,2,ij a i n ≠=L 。令11(,,)nn D diag a a =L ,则我们可以将方程(7)改写成

()Dx D A x b =-+

或

11()x I D A x D b --=-+ (10) 由上式即可确定一种迭代格式。

如果即将矩阵1()I D A --分解为U L +,其中,L U 分别为下三角阵与上三角阵,则(10)可以进一步改成

1()I L x Ux D b --=+

或

111()()x I L Ux I L D b ---=-+- (11) 上式又可确定另一种迭代格式。

(3)非线性方程组的迭代求解理论

类似于单变量的方程组及线性方程组的求解,用迭代方法可以求更加复杂的非线性方程组的解,

给定非线性方程组

111

(,,)0,,(,,)0.n n n f x x f x x =⎧⎪⎨⎪=⎩L L L L L L L L L L (12)

将它改写为等价的方程组

1111(,,),,(,,).n n

n n x g x x x g x x =⎧⎪⎨⎪=⎩L L L L L L L L L L

或

()x g x = (13) 其中,x 为n 维列向量T

n x x x ),...,(1=,1((),())T n g g x g x =⋅⋅⋅ 为n 维列向量函数,由上式即确定了一种迭代格式

1(),0,1n n x g x n +==L 、

由于非线性方程组可能有许多解(甚至有无穷多个解),因此对它的求借比线性方程组的求解要面临更多的挑战。

2、迭代(二)—分形

分形几何—描述自然界的几何形态,把自然形态瞧作就是具有无限嵌套层次的精细结构,并且在不同尺度下保持某种相似的属性,于就是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。

（1） 生成元

早在19世纪末及20世纪初,一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形。这类图形的构造方式都有一个共同的特点,即最终图形F 都就是按照一定的规则R 通过对初始图形0F 不断修订得到的、 其中最有代表性的图形就是