上海交通大学研究生入学考试488基本电路理论基本电路答案习题本科试卷(无答案)1_2
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②
i3 g3
g4 g5
i4 ③ i5
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vS 1
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④
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①
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关联矩阵
由左图,根据KCL,对每个 节点列方程.
1 2 3 4 5 i1 ① 1 1 0 0 0 0 i2 0 ② 0 1 1 1 0 i3 = ③ 0 0 0 1 1 0 i4 ④ 1 0 1 0 1 0 i5
∴ VbT I b = 0 或
∑v i
k =1
k k
=0
Vb和Ib并不要求是同一时刻的值
V (t1 ) I b (t2 ) = 0
T b b k =1 k
∑ v (t ) i ( t ) = 0
1 k 2
Vb和Ib可以从不同网络中测量得到,只要两个网 络的结构相同,且不论各支路中的元件性质是 I 否相同,即对N有Vb,Ib;对 N 有 Vb ,b 则
在网络图中,将支 路用线段表示,支 路间的连接用点表 示.
3
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①
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④
④
网络图论中的一条标准支路:
iSk
iSk
rk
ik
+
vSk
+
vk
ik
vSk
+
vk
gk
+
vk vSk = rk (ik iSk ) vk = rk (ik iSk ) + vSk
ik iSk = g k (vk vSk ) ik = g k (vk vSk ) + iSk
因此,一个网络总共可以有2b个独立方程. 对每条支路来说,涉及两个网络变量,ik和 vk,共有2b个变量. 由于独立方程数和网络变量数相等,完全 可由2b个独立方程求出2b个未知变量.
§1.4
KCL,KVL的矩阵形式
① i2 i1 g1
g2
1,KCL的矩阵形式(系统分析方法)
右上图所示为一个直流电阻 网络N,可得其拓扑图,如 右下图所示. 从拓扑图中知,支路1与节点 ①和节点④关联,支路2与节 点①和节点②关联,…,由 此可以得到一个节点对支路 的关联矩阵Aa
同一个图G,可选择不同的树.设图G有n个 节点,如果任意两个节点之间都有一条支 路联接,则可选出nn-2个不同的树. 右图中有n= 4个节点,所以可 找到42=16种树(树数的一般计 算式子为detAAT,其中A为图 的降阶关联矩阵).
4
1
5 3
2
6
割集:割集是一组不包括节点的支路集 合.有一连通图G,存在一组支路集合, 如果留下任一支路不取掉,则剩下的图 仍然是连通的,换言之,割集是一极小 支路集.
2,图及其概念
图论是数学家欧拉创始的.1736年欧拉解 决了有名的难题,肯尼希堡城七桥问题. 该镇的普雷格尔河中有两个小岛,共有七 座桥与两岸彼此连通,问题:从陆地或岛 上任一地方开始,能否通过每座桥一次且 仅仅一次就能回到原地.
A
D
A
C
D
B
C
B
欧拉用顶点表示陆地区域,用联接相应顶点 的线段表示各座桥(如左图),于是七桥问 题就变为一道数学问题:在左图中是否可能 连续沿各线段,从某一始点出发只经过各线 段一次且仅仅一次又回到出发点,即是否存 在一条"单行曲线".
网络图:一组节点和一组支路的集合,且 每条支路的两端终止在两个节点上(排除 了"自环"情况) 3 有向图:若图中的一组支路 都标有方向,则这样的图称 有向图.
①
2 1
②
5
4
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③
④
子图:存在网络图G,若G1中的每个节点 和每条支路就是G中的节点和支路,则G1 是G的子图.也即若存在图G,则可从G中 删去某些支路或某些节点,得到子图G1.
欧拉得出了一般结论,即存在 单行曲线的必要,充分条件是 奇次顶点(联接于顶点的线段 数为奇数)的数目为0.显然 右图不满足此条件,因此,七 桥问题的答案是否定的.
A
D
C
B
在七桥问题中,欧拉用点表示陆地,用线段 表示桥.图论中,把一些事物及其之间的联 系用点和连接于点与点之间的线段来表示, 因此,图就是一些点与线段的集合.
1 2 3 4 5
3
1
① 1 1 1 1 0 ② 0 0 0 1 0 Aa = ③ 1 1 0 0 1 ④ 0 0 1 0 1
5
② ③ ④
①
4
2
如果已知降阶关联矩阵A,则先根据Aa中 每列有两个非零元素,且一个为1,另一 个为-1的性质,求得Aa,再求有向图.
2,KVL的矩阵形式(系统分析方法)
1
①
1
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2
3
4
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②
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4 5
③
④
i1 ① 1 1 0 0 0 0 i2 0 ② 0 1 1 1 0 i3 = ③ 0 0 0 1 1 0 i4 ④ 1 0 1 0 1 0 i5
AaIb=0
就每条支路而言,电流总是从一个节点流入,从 另一个节点流出,所以关联矩阵的每一列总有两 个非零元素,一个是正1,一个是负1.因此,把 Aa的全部行加起来将得到一行全为零,就是说, Aa的所有行不是线性独立的. 就电路方程组而言,只要把四个方程任意划去一 个,剩下的三个方程就是线性无关的.因此,就 Aa而言,只要划去任一行,所得矩阵就是线性独 立的.
有些图,某些割集不能用高斯面表示,如下左图 中的1,2,3,4号支路就不能用高斯面切割,这 时可改变一下图的画法. 1
1 2
4 3
2 4
3
有些图,与高斯面相交的支路集不是割集.如下 图中的支路1,2,3,4,当这些支路取走后,将出 现三个独立部分.一般来说,如果图G具有S个独 立部分,取走一组割集后,图所应具有S+1个独立 部分. 2 1
V I =0
T b b
∑ v i
∑v i
k =1
b
VbT I b = 0
V I = 0,
T b b b k =1 k k
k =1 b
k k
=0
=0
k k
∑ v i = 0 可理解为各支路吸收的瞬时功率之 和为0,即功率守恒,但它适用于结构相同的不 同网络,所以称似功率守恒定律.
�
右图网络的网络图中包含有两个独 立部分.虽然网络中存在互感,但 在网络图中并不反映出磁耦合M, 因为M属于网络中支路的特性,而 不属于网络图的性质. 一个网络图可以有多个独立部分.
M
左面两个图,上面的图中包含有一 个单独节点,下面的图中有一条支 路的两端终止在同一个节点上,称 "自环".这些情况都属于图,但对 "自环"图,将不作讨论.
取走割集将使连通图分成两个 独立部分,可以抽象地用高斯 面(闭合面)将某一独立部分 包围起来,由高斯面所切割的 一组支路,就是割集.
4
高斯面
1
3 5
2
6
左图所示高斯面切割的1,4,5号支路构成割集.
在网络图中,可以将闭合面看作一个广义 节点.根据KCL,流出或流入高斯面的支 路电流的代数和为零,即流经一组割集的 电流的代数和为零 ∑i=0 闭合面如何封闭是任意的(这主要是观察 位置不同,若在图内观察,则高斯面把圈 外部分闭合),封闭面一旦闭合,一般以 流出高斯面的电流为正,流入为负,因此 也可认为割集有方向,一般取由闭合面里 面指向外面为正方向.
①
1
2
②
3
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③
5
④
设e1,e2,e3,e4为节点电位,v1, v2,v3,v4,v5为支路电压,并选 择节点④为参考节点,即e4=0.根 据KVL可得支路电压与节点电位 间的关系.
① ② ③ v1 1 1 0 0 v2 2 1 1 0 e1 v3 = 3 0 1 0 e2 v4 4 0 1 1 e3 v 50 0 1 5
树:一个连通图G的一个子图,如果满足下 列条件就称为G的一棵树:①连通的,②没 有回路,③包括G的全部节点. 构成树的支路称树支,其余的 支路称连支.右图中1,2,3号 支路与所有节点构成树T,4, 5,6号支路为连支.
4 1 2
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左图中2,4,6号支路与全部节 点构成树T,1,3,5号支路为 连支.
∴对nt个节点,b条支路的拓扑图而言,可 得nt×b阶关联矩阵Aa,Aa的秩为nt-1 在关联矩阵Aa中,任意划去一行,得矩阵 A,其秩仍为nt-1,A称为降阶关联矩阵. 对电网络来说,总是把与参考节点对应的 行划去,同样可得矩阵方程:AIb=0
已知一网络图,可以求得Aa或A.同样, 如果知道了Aa或A,也一定可得网络图.
对于具有n个节点,b条支路的网络,假定 支路电压,支路电流取一致参考方向,网 络中的支路电压向量Vb=(v1,v2,…,vb)T,支 路电流向量Ib=(i1,i2,…,ib)T 分别满足KVL和 KCL,则 T Vb I b = 0
特勒根定理证明: 若电路降阶关联矩阵为A,则根据KVL有 Vb = AT En T 对上式两边转置 VbT = En A T VbT I b = En AI b 两边右乘Ib得 b 根据KCL有AIb=0
④
i1 + i2 = 0 i2 + i3 + i4 = 0 i4 + i5 = 0 i1 i3 i5 = 0
AaIb=0
Aa矩阵描述了图中节点对支路的关联关系,即Aa=(aik)
1 节点与支路bk 关联,参考电流流出 aik = -1 节点与支路bk 关联,参考电流流入 0 节点与支路b 无关联 k
3
4
3,图论的基本定理 若给定一个具有nt个节点,b条支路的连通 图G及G的一个树T, 在G的任何两个节点之间,总有由T的树支 组成的唯一路经. 若不考虑根节点(或起始节点),每条树 支都有一个终止节点,则树支数n=nt-1, 连支数l=b-( nt-1)=b-nt+1 每条连支都可以和一些树支构成一个唯一 的回路(∵树本身没有回路,增加一条连 支,就可得一个回路),即l= b-nt+1个回 路,并称单连支回路(也称基本回路).
每条树支都可和一些连支构成一个唯一的割 集,共有n=nt-1个单树支割集(基本割集) (∵树本身是连通的,当取走一条树支后, 树就分成两个独立部分,∴一条树支和一些 连支能构成一个割集) 一个网络的网络图有nt-1个基本割集,运用 KCL可得nt-1个独立的基本割集方程. 一个网络的网络图有b-nt+1个基本回路,由 KVL可得b-nt+1个独立的基本回路方程. 每条支路都有一个支路约束方程,b条支路 就有b个约束方程.
v1 = e1 v2 = e1 e2 v3 = e2 v4 = e2 e3 v5 = e3
Vb=ATEn
§1.5 特勒根定理
特勒根定理是网络中最普遍的定理,它的不 寻常之处在于,特勒根定理的导出只依据基 尔霍夫两条定律,因此,不论元件的性质如 何,激励的种类如何,特勒根定理总是成立 的. 特勒根定理是特勒根于1952年正式提出的. 特勒根定理是可以应用于非线性网络,时变 网络的少数几个定理中的一个.
连通图与非连通图:当图G的 任意两个节点之间至少存在着 一条由支路构成的通路,这样 的图就称连通图,如左上图, 否则就是非连通图,如左中图 和左下图所示. 一个连通图也可以说成是一 个独立部分,一个非连通图至 少有两个独立部分,而每个独 立部分又是一个连通的子图.
3
①
1
2
②
5
4
6
③
④
回路:回路是一条闭合的路 经.确切地说,有图G,存 在一个子图G1, ①G1是连通的, ②G1中与每个节点关联的支 路数恰好是2条. 对每个回路,可根据KVL, 写出∑v=0 的回路方程.
基本电路理论
上海交通大学本科学位课程
2003年7月
§1.3 从网络到图
1,网络图论概论 图论是数学领域中一个十分重要的分支,这 里所涉及的只是图论在网络中的应用,称网 络图论.网络图论也称网络拓扑. 为在计算机上系统地列出一个复杂网络的方 程以便分析,就要用到网络图论和线性代数 的一些概念. 随着计算机的发展,网络图论已成为计算机 辅助分析中很重要的基础知识,也是网络分 析,综合等方面不可缺少的工具.
i3 g3
g4 g5
i4 ③ i5
+
vS 1
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关联矩阵
由左图,根据KCL,对每个 节点列方程.
1 2 3 4 5 i1 ① 1 1 0 0 0 0 i2 0 ② 0 1 1 1 0 i3 = ③ 0 0 0 1 1 0 i4 ④ 1 0 1 0 1 0 i5
∴ VbT I b = 0 或
∑v i
k =1
k k
=0
Vb和Ib并不要求是同一时刻的值
V (t1 ) I b (t2 ) = 0
T b b k =1 k
∑ v (t ) i ( t ) = 0
1 k 2
Vb和Ib可以从不同网络中测量得到,只要两个网 络的结构相同,且不论各支路中的元件性质是 I 否相同,即对N有Vb,Ib;对 N 有 Vb ,b 则
在网络图中,将支 路用线段表示,支 路间的连接用点表 示.
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网络图论中的一条标准支路:
iSk
iSk
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ik
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vSk
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ik
vSk
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vk
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vk vSk = rk (ik iSk ) vk = rk (ik iSk ) + vSk
ik iSk = g k (vk vSk ) ik = g k (vk vSk ) + iSk
因此,一个网络总共可以有2b个独立方程. 对每条支路来说,涉及两个网络变量,ik和 vk,共有2b个变量. 由于独立方程数和网络变量数相等,完全 可由2b个独立方程求出2b个未知变量.
§1.4
KCL,KVL的矩阵形式
① i2 i1 g1
g2
1,KCL的矩阵形式(系统分析方法)
右上图所示为一个直流电阻 网络N,可得其拓扑图,如 右下图所示. 从拓扑图中知,支路1与节点 ①和节点④关联,支路2与节 点①和节点②关联,…,由 此可以得到一个节点对支路 的关联矩阵Aa
同一个图G,可选择不同的树.设图G有n个 节点,如果任意两个节点之间都有一条支 路联接,则可选出nn-2个不同的树. 右图中有n= 4个节点,所以可 找到42=16种树(树数的一般计 算式子为detAAT,其中A为图 的降阶关联矩阵).
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割集:割集是一组不包括节点的支路集 合.有一连通图G,存在一组支路集合, 如果留下任一支路不取掉,则剩下的图 仍然是连通的,换言之,割集是一极小 支路集.
2,图及其概念
图论是数学家欧拉创始的.1736年欧拉解 决了有名的难题,肯尼希堡城七桥问题. 该镇的普雷格尔河中有两个小岛,共有七 座桥与两岸彼此连通,问题:从陆地或岛 上任一地方开始,能否通过每座桥一次且 仅仅一次就能回到原地.
A
D
A
C
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C
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欧拉用顶点表示陆地区域,用联接相应顶点 的线段表示各座桥(如左图),于是七桥问 题就变为一道数学问题:在左图中是否可能 连续沿各线段,从某一始点出发只经过各线 段一次且仅仅一次又回到出发点,即是否存 在一条"单行曲线".
网络图:一组节点和一组支路的集合,且 每条支路的两端终止在两个节点上(排除 了"自环"情况) 3 有向图:若图中的一组支路 都标有方向,则这样的图称 有向图.
①
2 1
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5
4
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③
④
子图:存在网络图G,若G1中的每个节点 和每条支路就是G中的节点和支路,则G1 是G的子图.也即若存在图G,则可从G中 删去某些支路或某些节点,得到子图G1.
欧拉得出了一般结论,即存在 单行曲线的必要,充分条件是 奇次顶点(联接于顶点的线段 数为奇数)的数目为0.显然 右图不满足此条件,因此,七 桥问题的答案是否定的.
A
D
C
B
在七桥问题中,欧拉用点表示陆地,用线段 表示桥.图论中,把一些事物及其之间的联 系用点和连接于点与点之间的线段来表示, 因此,图就是一些点与线段的集合.
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① 1 1 1 1 0 ② 0 0 0 1 0 Aa = ③ 1 1 0 0 1 ④ 0 0 1 0 1
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② ③ ④
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如果已知降阶关联矩阵A,则先根据Aa中 每列有两个非零元素,且一个为1,另一 个为-1的性质,求得Aa,再求有向图.
2,KVL的矩阵形式(系统分析方法)
1
①
1
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4 5
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i1 ① 1 1 0 0 0 0 i2 0 ② 0 1 1 1 0 i3 = ③ 0 0 0 1 1 0 i4 ④ 1 0 1 0 1 0 i5
AaIb=0
就每条支路而言,电流总是从一个节点流入,从 另一个节点流出,所以关联矩阵的每一列总有两 个非零元素,一个是正1,一个是负1.因此,把 Aa的全部行加起来将得到一行全为零,就是说, Aa的所有行不是线性独立的. 就电路方程组而言,只要把四个方程任意划去一 个,剩下的三个方程就是线性无关的.因此,就 Aa而言,只要划去任一行,所得矩阵就是线性独 立的.
有些图,某些割集不能用高斯面表示,如下左图 中的1,2,3,4号支路就不能用高斯面切割,这 时可改变一下图的画法. 1
1 2
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有些图,与高斯面相交的支路集不是割集.如下 图中的支路1,2,3,4,当这些支路取走后,将出 现三个独立部分.一般来说,如果图G具有S个独 立部分,取走一组割集后,图所应具有S+1个独立 部分. 2 1
V I =0
T b b
∑ v i
∑v i
k =1
b
VbT I b = 0
V I = 0,
T b b b k =1 k k
k =1 b
k k
=0
=0
k k
∑ v i = 0 可理解为各支路吸收的瞬时功率之 和为0,即功率守恒,但它适用于结构相同的不 同网络,所以称似功率守恒定律.
�
右图网络的网络图中包含有两个独 立部分.虽然网络中存在互感,但 在网络图中并不反映出磁耦合M, 因为M属于网络中支路的特性,而 不属于网络图的性质. 一个网络图可以有多个独立部分.
M
左面两个图,上面的图中包含有一 个单独节点,下面的图中有一条支 路的两端终止在同一个节点上,称 "自环".这些情况都属于图,但对 "自环"图,将不作讨论.
取走割集将使连通图分成两个 独立部分,可以抽象地用高斯 面(闭合面)将某一独立部分 包围起来,由高斯面所切割的 一组支路,就是割集.
4
高斯面
1
3 5
2
6
左图所示高斯面切割的1,4,5号支路构成割集.
在网络图中,可以将闭合面看作一个广义 节点.根据KCL,流出或流入高斯面的支 路电流的代数和为零,即流经一组割集的 电流的代数和为零 ∑i=0 闭合面如何封闭是任意的(这主要是观察 位置不同,若在图内观察,则高斯面把圈 外部分闭合),封闭面一旦闭合,一般以 流出高斯面的电流为正,流入为负,因此 也可认为割集有方向,一般取由闭合面里 面指向外面为正方向.
①
1
2
②
3
4
③
5
④
设e1,e2,e3,e4为节点电位,v1, v2,v3,v4,v5为支路电压,并选 择节点④为参考节点,即e4=0.根 据KVL可得支路电压与节点电位 间的关系.
① ② ③ v1 1 1 0 0 v2 2 1 1 0 e1 v3 = 3 0 1 0 e2 v4 4 0 1 1 e3 v 50 0 1 5
树:一个连通图G的一个子图,如果满足下 列条件就称为G的一棵树:①连通的,②没 有回路,③包括G的全部节点. 构成树的支路称树支,其余的 支路称连支.右图中1,2,3号 支路与所有节点构成树T,4, 5,6号支路为连支.
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5
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6
5
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左图中2,4,6号支路与全部节 点构成树T,1,3,5号支路为 连支.
∴对nt个节点,b条支路的拓扑图而言,可 得nt×b阶关联矩阵Aa,Aa的秩为nt-1 在关联矩阵Aa中,任意划去一行,得矩阵 A,其秩仍为nt-1,A称为降阶关联矩阵. 对电网络来说,总是把与参考节点对应的 行划去,同样可得矩阵方程:AIb=0
已知一网络图,可以求得Aa或A.同样, 如果知道了Aa或A,也一定可得网络图.
对于具有n个节点,b条支路的网络,假定 支路电压,支路电流取一致参考方向,网 络中的支路电压向量Vb=(v1,v2,…,vb)T,支 路电流向量Ib=(i1,i2,…,ib)T 分别满足KVL和 KCL,则 T Vb I b = 0
特勒根定理证明: 若电路降阶关联矩阵为A,则根据KVL有 Vb = AT En T 对上式两边转置 VbT = En A T VbT I b = En AI b 两边右乘Ib得 b 根据KCL有AIb=0
④
i1 + i2 = 0 i2 + i3 + i4 = 0 i4 + i5 = 0 i1 i3 i5 = 0
AaIb=0
Aa矩阵描述了图中节点对支路的关联关系,即Aa=(aik)
1 节点与支路bk 关联,参考电流流出 aik = -1 节点与支路bk 关联,参考电流流入 0 节点与支路b 无关联 k
3
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3,图论的基本定理 若给定一个具有nt个节点,b条支路的连通 图G及G的一个树T, 在G的任何两个节点之间,总有由T的树支 组成的唯一路经. 若不考虑根节点(或起始节点),每条树 支都有一个终止节点,则树支数n=nt-1, 连支数l=b-( nt-1)=b-nt+1 每条连支都可以和一些树支构成一个唯一 的回路(∵树本身没有回路,增加一条连 支,就可得一个回路),即l= b-nt+1个回 路,并称单连支回路(也称基本回路).
每条树支都可和一些连支构成一个唯一的割 集,共有n=nt-1个单树支割集(基本割集) (∵树本身是连通的,当取走一条树支后, 树就分成两个独立部分,∴一条树支和一些 连支能构成一个割集) 一个网络的网络图有nt-1个基本割集,运用 KCL可得nt-1个独立的基本割集方程. 一个网络的网络图有b-nt+1个基本回路,由 KVL可得b-nt+1个独立的基本回路方程. 每条支路都有一个支路约束方程,b条支路 就有b个约束方程.
v1 = e1 v2 = e1 e2 v3 = e2 v4 = e2 e3 v5 = e3
Vb=ATEn
§1.5 特勒根定理
特勒根定理是网络中最普遍的定理,它的不 寻常之处在于,特勒根定理的导出只依据基 尔霍夫两条定律,因此,不论元件的性质如 何,激励的种类如何,特勒根定理总是成立 的. 特勒根定理是特勒根于1952年正式提出的. 特勒根定理是可以应用于非线性网络,时变 网络的少数几个定理中的一个.
连通图与非连通图:当图G的 任意两个节点之间至少存在着 一条由支路构成的通路,这样 的图就称连通图,如左上图, 否则就是非连通图,如左中图 和左下图所示. 一个连通图也可以说成是一 个独立部分,一个非连通图至 少有两个独立部分,而每个独 立部分又是一个连通的子图.
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回路:回路是一条闭合的路 经.确切地说,有图G,存 在一个子图G1, ①G1是连通的, ②G1中与每个节点关联的支 路数恰好是2条. 对每个回路,可根据KVL, 写出∑v=0 的回路方程.
基本电路理论
上海交通大学本科学位课程
2003年7月
§1.3 从网络到图
1,网络图论概论 图论是数学领域中一个十分重要的分支,这 里所涉及的只是图论在网络中的应用,称网 络图论.网络图论也称网络拓扑. 为在计算机上系统地列出一个复杂网络的方 程以便分析,就要用到网络图论和线性代数 的一些概念. 随着计算机的发展,网络图论已成为计算机 辅助分析中很重要的基础知识,也是网络分 析,综合等方面不可缺少的工具.