数字信号处理-双线性变换法

但N必须取整数，所以取N=6， 同时取
c=0.76622>c0 这与冲激不变法相反，由保证阻带指标，改善通带指 标。
ⅱ）求Ha (s)
N=6，为偶数，极点间隔为/N=/6=30，
起点/2N=15，实轴上无极点； H (s)的系数均为实数， H (s)的复极点都是共轭 成对的，且均在s左 半平面。 j
H(z)=
p =tan p/2=0.7265 0.7265 H(s)= = s+p s+0.7265 p
H(z)=H(s)
1 2 1 z s= T 1+ z1
=
0.7265
1 z1 1+ z 1
+0.7265
=
0.7265 (1+z1) (1z1)+ 0.7265 (1+z1)
去归一化后 H(s)=
0.2024 6 s 2.9604s 5 4.3821s 4 4.1123s 3 2.5727 s 2 1.0204s 0.2024
3）求H (z) H(z)=H(s)
1 1 z 2 s= T 1+ z1
=
0.00073794(1+ z1)6 (1 0.9042 z1 +0.2154 z2 ) (1 1.0108z1 +0.3585z2)
由巴特沃思滤波器的数学模型 得到
1+( /c)2N
|H(j)|2 =
1 1+(/c)2N
1 = |H(j)|2
(6.4-11a)
(6.4-11b)
由此可得： 1+ [2 tan(0.1)/c]2N=100.1 整理 1+ [2 tan(0.15)/c]2N=101.5
[2 tan(0.1)/c]2N=100.1 1 =1.25981=0.2598
这样模拟滤波器的设计指标为
通带截止频率p =0.65，通带最大衰减p ≤1dB； 阻带边缘频率s =1.019，阻带最小衰减s ≥15dB； 1 ）求 N 、 c 10lg|H (jp)|2 ≥ 1 ， lg|H (jp)|2 ≥ 0.1，
|H (j 2 tan(0.1))|2 ≥ 10-0.1 ； 10lg|H (js)|2 ≥ 15 ， |H (j 2 tan(0.15))|2 ≥10-1.5。 lg|H (js)| 2 ≥ 1.5，
2.双线性变换法设计数字滤波器四个步骤： 1)确定DF性能要求，确定数字滤波器各临界频率{k}。 2)由双线性变换关系将{k}变换为模拟域临界频率 {k}。
3)按{k} 、衰减指标求出模拟低通滤波器的(归一化) 传递函数H (s)。这个模拟低通滤波器也称为模拟 原型(归一化)滤波器。
(4)由双线性变换关系将H (s)转变为数字滤波器的系统
2 1 s= T 1+ z1
p
H(z)=H(s)
z 1
=
4000
2096
1 z1
1+
z 1
+2096
=
2096 (1+z1) 4000(1z1)+2096 (1+z1)
=
2096来自百度文库(1+z) 6096z 1094 0.421 (1+z) z 0.1584
一般H(z)系数≤1，则 (2) 令T = 2代入，得
§6.4 双线性变换法 脉冲响应不变法存在的缺点是频谱混叠。这是由于从 s平面到z平面的标准变换是多值对应关系。而双线性 变换正是克服这一缺陷的变换。 1、双线性变换映射关系 一阶微分方程的一般形式 y(t) +c0 y(t) = d0x(t)
(6.4-1)
系统函数
d0 H(s)= s+c0
(6.4-2)
/6
-c
c 15

s1,6 = c (cos75± jsin75)= 0.198±j0.742 s2,5 = c (cos45± jsin45)= 0.5415±j0.5415 s3,4 = c (cos15± jsin15)= 0.742±j0.198 由此得到： H(s)=
如图(6.4-1)所示对式(6.4-1)的时间变量量化，且时间 间隔T足够小，则有
y(n) y(n1) y( t ) y( t )
dy(t) y(n) y(n1) dt t=nT T y(t)
0
(n1)T nT
t
图(6.4-1)
1 [y(n)+y(n1)] t=nT 2
同理
d0 H(z)= 2 1 z 1 + c0 T 1+ z1 比较两式，可以直接由模拟滤波器的系统函数H(s) 得到数字滤波器的系统函数H(z) H(z)=H(s)
1 1 z 2 s= T 1+ z1
d0 H(s)= s+c0
(6.4-5)
得到将s平面映射到z平面的关系为
1 1 z 2 s= T 1+ z1
通带最大衰减p ≤1dB； 阻带边缘频率s =0.3， 阻带最小衰减s ≥15dB；
2
0.2 0.3

解：与例6.2-4相同，可用三种方法求解此题。
(1) 按照设计的一般步骤作 因为给出的频率条件已经是数字临界频率 {k} ，应从 第二步开始。为方便直接取T = 1 ，则由双线性频率变 换 =2 tan(/2)，得到预畸校正频率分别为 p =2 tan(0.2/2)= 2 tan(0.1) s =2 tan(0.3/2)= 2 tan(0.15)，
=
0.7265 (1+z) 1.7265 z 0.2735
一般H(z)系数≤1，则 H(z)=
0.421 (1+z) z 0.1584
(1)与(2)的结果相同。
例6.4-3 用双线性变换法设计一巴特沃思数字低通滤波 器，设计指标为 通带截止频率p =0.2， |Hd(e j) |
1 1
j j/2 j/2) (e e 2 2 j2 = 1 =j tan 2 T T j /2 j /2 +e ) 2 (e
2 + j = j tan 2 T
比较(6.4-8)等式两边，得到
(6.4-8)
=0
2 = tan 2 T
(6.4-9)
由(6.4-8)看到双线性变换法的映射关系使s平面的虚轴 映射为z平面的单位圆。 而(6.4-9)式频率正切变换关系 实现了频率压缩，使模拟域从~的变化，压缩为 数字域频率 从 ~ 变化。
函数H(z)。
与脉冲不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临 界频率{k}时，要用到取样间隔T或取样频率 fs 以外， 最后的结果与其它各步骤中T 或 f s的取值无关。所以为
了简化运算，在实际计算时，除了第一步，通常取T=1
或T=2。
例6.4-2：例6.4-1 H(s)的一阶原型低通系统函数为： H(s)= s+p ,用双线性变换关系求数字滤波器的系统 函数H(z)。 (1) 将T=1/2000代入，得p= 2906 rad/s H(s)= 2096 s+2096
(6.4-6)
2 1 z 1 s= T 1+ z1
由(6.4-6)式解出
(6.4-6)
T 1+ s 2 z= T 1 s 2
(6.4-7)
式(6.4-6)与(6.4-7)的变换都是单值对应的，其分子和分 母均为自变量的线性函数，双线性变换法也因此得名。 将 z=ej (单位圆) 代入 (6.4-6)式，并设 s = + j，有 2 + j = T 1+ej 1ej
(2)2 cosh1(s/c) 5.5338 0.50885

1
1 =
cosh1
1 101.51
cosh1(tan0.15 /tan.2)
=
3.016 = cosh1(1.0196/0.65) 1.0207
cosh1
3.0783
取 N=4，与脉冲不变法相同。
= 1 + 1+ 2 =1.9652+2.205=4.1702

1
(1 1.2687z1 +0.705z2)
数字滤波器振幅频响（dB）如图6.4.4所示。
双线性变换法
Magnitude Response 1 0.8913 0.1291 analog sigal ha(t)
ha(t)
|H|
0.1778 0 0.20.3 frequency in pi units Magntide in db 1
1 [x(n)+x(n1)] x ( t) t=nT 2
代入式(6.4-1)
d0 y(n) y(n1) c0 + [y(n)+y(n1)] = 2 [x(n)+x(n1)] 2 T 对式（6.4-3）两边取z变换
(6.4-3)
c0 d0 1 1 1 (1 z )Y(z) + (1+ z )Y(z) = (1+ z1)X(z) 2 T 2 d0 1) (1+ z d0 Y (z) 2 = H(z)= = 1) (1 z c X(z) 2 1 0 1 1 + c0 (1 z )+ (1+ z ) T (1+ z1) 2 T
解：令T=1，
则
p =2 tan(0.2/2)= 2 tan(0.1)=0.65
s =2 tan(0.3/2)= 2 tan(0.15)=1.019，
1）p =c=0.65 2） = 1 (11)2 1 = 1 10 0.1 1 =0.50885
cosh1 3）N
将s= + j代入 (6.4-7)，有 1+Ts/2 1+T /2 +jT/2 = z= 1Ts/2 1T /2 jT/2 |z| = (1+T /2)2+(T/2)2 (1T /2)2+(T/2)2
(6.4-10)
=0 |z|=1
<0
>0
(1+T /2)2 < (1T /2)2 (1+T /2)2 > (1T /2)2
|z|<1 |z|>1
稳定的模拟系统映射为稳定的数字系统。
由于双线性变换法映射关系是单值对应的，克服了脉
冲响应不变法频谱混叠现象。但是 由(6.4-6)表示的
与关系是非线性的，使得模拟滤波器与数字滤波器在
响应与频率的对应关系上会产生畸变，如图6.4-2所示。 即原来的 s /p=k 由双线性变换后 s /p≠ k
1 1/N 1 1/4 1 1/ N 1/4 a = ( ) = ( ) = (1.4290.7)=0.3645 2 2 2 1 1/N 1 1/4 1 1/ N 1/4 b = ( + ) = ( + ) = (1.429+0.7)=1.0645 2 2 2 s1,4= ac cos[(2k 1)/2N] ±jbc sin[(2k1)/2N] = 0.36450.65cos(/8)±j1.06450.65sin(/8) =0.2189±j0.2647
(6.4-11c)
(6.4-11d)
[2 tan(0.15)/c]2N=101.51 =31.62281=30.6228
2tan0.1 由 = (6.4-14d) 2tan0.15
(6.4-11c)
2N
=
0.2589 30.6228
=8.4547103
1 lg(8.4547103) 1 2.0729 N= = 5.304 2 lg(0.3249/0.5095) 2 0.1954 将这个N代入(6.4-11c)式，解出c0=0.738。
0 -0.0351 02 19 34.7628 time in seconds impluse respondse h(n)
-1
0.2
decibels
-15
h(n)
0 0.20.3 frequency in pi units 1
0.1 0
-30
-0.1
0
6
10
20
30
例6.4-4 指标同例6.4-3，用双线性变换法设计数字切比 雪夫滤波器。 通带截止频率p =0.2，通带最大衰减p ≤1dB； 阻带边缘频率s =0.3，阻带最小衰减s ≥15dB；
k=1
(sk)
6
6
k=1

(ssk)
也可以查表6.2得到N=6的归一化Ha (s)为 H(s)=
1 6 5 4 3 2 s 3.8637s 7.4641s 9.1416s 7.4641s 3.8637s 1