题目：主要研究希尔伯特矩阵的病态性

题目：主要研究希尔伯特矩阵的病态性

Hilbert 矩阵的定义为： H n =⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-++)1n 2/(1)1n /(1/1

）1n /(13/12/1

n

/12/11

n

该矩阵是一个对称正定矩阵，其条件数随n 的增加迅速增加。

画出ln （cond （H n ）2）~n 之间的曲线，观察他们的关系。其中cond （H n ）2表示矩阵在2范数下的条件数，它可按如下公式计算： （1） cond （H n ）2=

n

λλ1，1λ和n λ分别是H n 的最大特征值和最小特征值。

（2） 设D 是H n 对角元素开方构成的对角矩阵，令n

H

∧

=D 1- H n D 1-，不难看

出n

H

∧

依然还是对称矩阵，，并且对角元素都是1，画出ln （cond （H n ）

2

）~之间的曲线，观察他们之间的关系。

（3） 对于4≤n ≤12，给定不同的右端项b ，分别用x 1=H 1

-n ；x 2= D 1

-（

n

H ∧

1

-

D 1-b ）；x 3= H n \b ，求解H n x=b ，比较结果x 1 、x 2、 x 3。

程序如下：

首先，建立eiggg-M 文件，求解矩阵的最大特征值和最小特征值。 function [max,min]=eiggg(s) ss=size(s) if ss==1; max=s(1); min=s(1); else

max=s(1); min=s(1); for i=1:1:ss; if s(i)>=max max=s(i); end

if s(i)<=min min=s(i); end end

end

再建立Hilbert.m文件，给出Hilbert矩阵的定义：function H=Hilbert(n)

H=zeros(n,n);

for i=1:1:n;

for j=1:1:n;

H(i,j)=1/(i+j-1);

end

end

然后求出D的逆矩阵

function H=Hilbert2(n)

H=zeros(n,n);

for j=1:1:n;

H(j,j)=1/(2*j-1);

end

D=sqrt(H);

D1=inv(D);

H=D1*H*H;

编译主程序：

clear;

clc;

N=4;

mv2=zeros(N,1);

for i=1:1:N;

H=Hilbert2(i);

s=eig(H);

[max,min]=eiggg(s);

mv1=max/min;

mv2(i)=log(mv1);

end

n=1:1:N;

figure(1),subplot(221),plot(n,mv2(n));

title('ln(cond(Hn)2)与n之间的关系');

H1=Hilbert(N);

H2=Hilbert2(N);

b=[1;2;3;4;];;

x1=inv(H1)*b;

x2=H2*b;

x3=H1\b;

sss=size(x1)

i=1:1:sss(1);

subplot(222),plot(i,x1);

subplot(223),plot(i,x2);

subplot(224),plot(i,x3);

运行之后的结果：

ss =

1 1

ss =

2 1

ss =

3 1

ss =

4 1

sss =

4 1

得出图像：

由此可见，其条件数随n的增加而增加，则该矩阵不收敛，故则证得希尔伯特矩阵式的病态性。