3D数学知识简介

3D数学知识简介

三维坐标系（3D Coordinate System）

三维坐标是把二维的平面坐标推广到三维空间中，在三维坐标中，点（x,y,z）的齐次坐标为（nx,ny,nz,n），其中n为任意不为0的数，规范化的齐次坐标为（x,y,z,1），与之相对应，三维变换的变换矩阵为4×4矩阵。

在三维空间中，我们通常使用右手坐标系（Right-Handed Coordinate System），因为它符合数学上的习惯，而在计算机图形学中，我们会使用左手坐标系（Left-Handed Coordinate System），因为它比较符合日常习惯。其实，我们可以任意的旋转这些坐标系，而图形仍然保持不变。常见的坐标系如下：

屏幕坐标系：相对于显示器的原点的2D坐标系

本地坐标系：相对于对象的原点的3D坐标系

世界坐标系：相对于3D世界的原点三维坐标系

对齐(视点)坐标系：世界坐标系的变换，观察者的位置在世界坐标系的原点。

点（Point）

点是在某一个坐标系中使用坐标值指定的位置。因此，点到坐标原点之间的距离与坐标系的选择有关。点P在坐标系A中的坐标为（0,0,0），而在坐标系B中的坐标则为（x,y,z）。

向量（Vector）

向量是指两点的差值，具有大小和方向，即给定两点，就能唯一确定一个向量，向量的大小和方向与坐标系的选择无关。向量V=（Vx,Vy,Vz）=P1P2=（x2-x1,y2-y1,z2-z1）其中，Vx，Vy和Vz分别为向量V在x，y和z轴上的投影，称为向量V的x分量（x component），y分量（y component）和z分量（z component）。该向量的大小为：

向量V与x，y和z轴形成的方向角（Direction Angle）：α，β和γ，其中cosα，cosβ和cosγ称为方向余弦（Direction Cosine）。

向量加法：V1+V2=（V1x+V2x,V1y+V2y,V1z+V2z）

向量标量乘：aA=（aVx,aVy,aVz）

向量标量积：V1·V2= V1x+V2x,V1y+V2y,V1z+V2z

向量积（叉积）：V1×V2=（V1yV2z-V1zV1y,V1zV2x-V1xV2z,V1xV2y-V1yV2z）

=|Ux Uy Uz|

|V1x V1y V1z|

|V2x V2y V2z|

注：其中Ux,Uy,Uz分别表示沿x轴，y轴和z轴的单位向量。在以后的编程中，我们经常会用到向量积。

矩阵（Matrix）

矩阵是由若干个数值构成的矩形阵列，这些数值通常为实数，称为矩阵的元素。如果一个矩阵的行和列数相同，我们则称该矩阵为方阵（Square Matrix），而只有一行或者一列的矩阵用常用向量表示，例如：[x,y,z]称为行向量（Row Vector），

|x|

|y| 则称为列向量（Colume Vector）。

|z|

矩阵加法：|A11 A12 A13| |B11 B12 B13| | A11+ B11 A12+ B12 A13+ B13|

|A21 A22 A23| + |B21 B22 B23| = | A21+ B21 A22+ B22 A23+ B23|

|A31 A32 A33| |B31 B32 B33| | A31+ B31 A32+ B32 A33+ B33|

矩阵标量乘： |A11 A12 A13| |nA11 nA12 nA13|

n|A21 A22 A23| = |nA21 nA22 nA23|

|A31 A32 A33| |nA31 nA32 nA33|

矩阵的乘：

矩阵变换（Matrix Transform）

三维平移的矩阵表示为：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| tx ty tz 1 |

三维缩放的矩阵表示为：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | sz 0 0 0 |

| 0 sy 0 0 |

| 0 0 sx 0 |

| 0 0 0 1 |

绕x轴旋转的矩阵表示为：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1 0 0 0 | | 0 cosα sinα 0 |

| 0 -sinα cosα 0 |

| 0 0 0 1 |

绕y轴旋转的矩阵表示为：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα 0 -sinα 0 |

| 0 1 0 0 |

| sinα 0 cosα 0 |

| 0 0 0 1 |

绕z轴旋转的矩阵表示为：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα sinα 0 0 |

| -sinα cosα 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

反射（Reflection）

反射变换也称为对称（Symmetric）变换或镜像（Mirror Image）变换，三维反射变换可以相对于反射轴（Reflection Axis）进行，也可以相对于反射平面进行。相对于反射轴的三维反射变换是通过将图形绕反射轴旋转180°来实现的。

相对于xy平面的反射变换矩阵为：

| 1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

相对于yz平面的反射变换矩阵为：

|-1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

相对于zx平面的反射变换矩阵为： | 1 0 0 0 |

| 0 -1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

错切（Shear）

错切变换会改变图形的形状。

相对于x轴的错切变换矩阵为：

| 1 0 0 0 |

| shY 1 0 0 |

| shz 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

相对于y轴的错切变换矩阵为：

| 1 shX 0 0 |

| 0 1 0 0 |