经典专题：带电粒子在复合场和叠加场中运动

一、基本知识 磁偏转→匀速圆周运动→圆轨迹→找半径→定圆心⎩⎪⎨⎪⎧ 半径公式周期公式

电偏转→类平抛运动⎩⎪⎨⎪⎧ 初速度方向→匀速直线运动电场方向→匀变速直线运动

【例1】如图所示，在xOy 平面内的第Ⅲ象限中有沿－y 方向的匀强电场，场强大小为E ．在第I 和第II 象限有匀强磁场，方向垂直于坐标平面向里．有一个质量为m ，电荷量为e 的电子，从y 轴的P 点以初速度v0垂直于电场方向进入电场（不计电子所受重力），经电场偏转后，沿着与x 轴负方向成450角进入磁场，并能返回到原

出发点P.

(1)简要说明电子的运动情况，并画出电子运动轨迹的示意图；

(2)求P 点距坐标原点的距离；

(3)电子从P 点出发经多长时间再次返回P 点？

【例2】x 轴下方有两个关于直线x ＝－0.5a 对称的沿x 轴的匀强电场(大小相等，方向相反)．如图6甲所示，一质量为m 、带电荷量为－q 的粒子(不计重力)，以初速度v 沿y 轴正方向从P 点进入电场，后从原点O 以与过P 点时相同的速度进入磁场(图中未画出)．粒子过O 点的同时在MN 和x 轴之间加上按图乙所示的规律发生周期性变化的磁场，规定垂直纸面向里为正方向．正向磁场与反向磁场的磁感应强度大小相等，且持续的时间相同．粒子在磁场中运动一段时间后到达Q 点，并且速度也与过P 点时速度相同．已知P 、O 、Q 在一条直线上，与水平方向夹角为θ，且P 、Q 两点横坐标分别为－a 、a.试计算：

(1)电场强度E 的大小；

(2)磁场的磁感应强度B 的大小；

(3)粒子从P 到Q 的总时间．

一、基本知识

1．带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况分类

(1)洛伦兹力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．

(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)

①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．

②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．

(3)静电力、洛伦兹力、重力并存

①若三力平衡，一定做匀速直线运动．

②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动．

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．

2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动

带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．

二、典例分析

1、无约束的匀速直线运动和匀速圆周运动

【例1】如图，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里．一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发沿与x轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场．不计一切

阻力，求：

(1)电场强度E的大小；

(2)磁感应强度B的大小；

(3)粒子在复合场中的运动时间．

2、有约束的直线运动和圆周运动

【例2】如图所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量m ，带电量q ，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且互相垂直的匀强磁场和匀强电场中，设小球电荷量不变，小球由静止下滑的过程中

A ：小球速度一直增大，直到最后匀速

B ：小球加速度一直增大

C ：小球对杆的弹力一直减小

D ：小球所受的洛伦兹力一直增大，直到最后不变

【例3】如图3-4-7所示，质量为m ，电量为Q 的金属滑块以某一初速度沿水平放置的木板进入电磁场空间，匀强磁场的方向垂直纸面向里，匀强电场的方向水平且平行纸面；滑块和木板间的动摩擦因数为μ，已知滑块由A 点至B 点是匀速的，且在B 点与提供电场的电路的控制开关K 相碰，使电场立即消失，滑块也由于碰撞动能减为碰前的1/4，其返回A 点的运动恰好也是匀速的，若往返总时间为T ，AB 长为L ，求：

(1) 滑块带什么电？场强E 的大小和方向？

(2) 磁感应强度的大小为多少？

(3) 摩擦力做多少功？

【例4】如图所示，半径为R 的环形塑料管竖直放置，AB 为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB 及其以下部分处于水平向左的匀强电场中，管的内壁光滑。现将一质量为m ，带电量为＋q 的小球从管中A 点由静止释放，已知qE ＝mg ，说法正确的是（ ）

A.小球释放后，到达B 点时速度为零，并在BDA 间往复运动

B.小球释放后，第一次达到最高点C 时对管壁无压力

C.小球释放后，第一次和第二次经过最高点C 时对管壁的压力之比为1:5

D.小球释放后，第一次经过最低点D 和最高点C 时对管壁的压力之比为5:1

D

【例5】如图3-14所示，半径为R的光滑绝缘竖直环上，套有一电量为q的带正电的小球，在水平正交的匀强电场和匀强磁场中．已知小球所受电场力与重力的大小相等．磁场的磁感强度为B．则

(1) 在环顶端处无初速释放小球，小球的运动过程中所受的最大磁场力．

(2) 若要小球能在竖直圆环上做完整的圆周运动，在顶端释放时初速必须满足什么条件？

3、综合问题

【例6】如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g.

（1）求小滑块运动到C点时的速度大小v C；

（2）求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功W f；

（3）若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为v D，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小v P.