二次函数与方程、不等式的关系

3、已知二次函数y=x2+mx+m-2. 求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有 两个交点。
4、已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2. (1)当实数k为何值时，图象经过原点？ (2)当实数k在何范围取值时，函数顶点 在x轴下方？ (3)当实数k在何范围取值时，函数顶点 在第四象限内？
例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
面图放在平面直角坐标系中（如下图）． 1、求抛物线 的解析式．
2、求两盏景观灯之 间的水平距离．
?
5
10
1
B
D? C
4
5m
A
10m
1m
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解 :当 h 6时 0 ,得 5 t2 4t 0 6.0
解:x 1 得 2 ,x26 .
例3 设二次函数 y x 2 (m 2 )x 3 (m 1 ) 的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，线段OA与OB的长的积等于6 （O是坐标原点） 求：m的值
3、已知二次函数y=x 2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x 2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
y
4
(3)不等式-x2+3x+4<0 3
的解集是_x_<_-1_或_x_>_4
2 1
x
-2 -1o-1 1 2 3 4 5
练习2:已知y=-x2+3x+4的图象如图
(1)方程-x2+3x+4=0的解是_x_1=_-_1_,_x2_=3
(2)不等式-x2+3x+4>0 的解集是_x<_-_1_或_x_>3_
能否利用y=ax2+bx+c (a≠0)的图象
寻找一元二次方程ax2+bx+c=0的解？ 不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解？ ax2+bx+c<0(a≠0)的解？
练习1:已知y=-x2+3x+4的图象如图
(1)方程-x2+3x+4=0的解是_x_1=_-_1_,_x2_=4
(2)不等式-x2+3x+4>0 的解集是_-_1_<_x<_4__
1
-1 O 1 2 3 x
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根
是x1,x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 两个交点坐标分别是(x1,0),(x2,0)
２、根据图象可求出不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0的解，先 观察图象，找出抛物线与x轴的交点,再 根据__交__点_的__坐_标__写出不等式的解集。
1
∴x1=1；x2=3
-1 O 1 2 3 x ∴与x轴的交点为
(1, 0)和(3,0)
(3)当x取何值时,y＜0？1<x<3
当x取何值时,y＞0？x<1或x>3
(4)能否用含有x的不等式来描述(3)中
的问题？
y y=x2-4x+3
x2-4x+3＜0
4 3
x2-4x+3＞0
2
1
-1 O 1 2 3 x
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们 的关系如何?
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，
求m的值。
例2. 已知二次函数 yx2kxk-2 （1）判别上述抛物线与X轴交点情况
（2）设抛物线与X轴交点之间距离 为2 5 ，求k的值
练习：已知二次函数 ykx 26x7的 图像与X轴有两个不同的交点 （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标 的平方和等于50
27.3.2二次函数与 一元二次方程、
一元二次不等式的关系
例题：画y=x2-4x+3的草图，回答问题
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？
(2)交点坐标与x2-4x+3=0有什么关系?
当x=0时，y=3 y y=x2-4x+3 ∴与y轴的交点为(0,3)
4 3
当y=0时，x2-4x+3=0
2
∵此时b2-4ac＞0
(3)不等式-x2+3x+4<0 的解集是__-1_<_x_<_3 _
y
A
B
-1 O
3x
-3 C
练习3:已知y=x2-4x+4的图象如图
(1)方程x2-4x+4=0的解是_x_1_=x_2_=_2_
(2)不等式x2-4x+4>0 的解集是_x≠_2_的_一_切__实数 y y=x2-4x+4
(3)不等式x2-4x+4<0
4 3
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的解集是__空_集____
2
1
-1 O 1 2 3 x
练习4:已知y=x2-4x+5的图象如图
(1)方程x2-4x+5=0的解是_无__解____
(2)不等式x2-4x+5>0
的解集是_一__切_实_数__
5y
(3)不等式x2-4x+5<0 4
的解集是__空_集____
3 2
y=x2-4x+5
结论： y=ax2+bx+c的图象与轴的交点可以用 ax2+bx+c=0的根的判别式判定：
△＞０，抛物线与轴有２个交点
△＝０，抛物线与轴有１个交点
△＜０，抛物线与轴有0个交点
1、已知y=ax2+x+2， 当a取何值时， (1)图象与x轴有两个交点？ (2)图象与x轴有一个交点? (3)图象与x轴无交点？
例4 如图，抛物线 yax2bxc和X
轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴相交 于点C ∠ABC= ∠ACO 求证：a与c互为倒数
y
A o
C
B x
5、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞
上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m， 拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞 两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截
(2)k为何值时,二次函数y=x 2-kx-2+k与轴两 个交点A、B之间的距离最小？
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC . 4、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x 轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴， B在x轴的负半轴，
1）若OA=3OB，求m的值。
2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。
2、已知二次函数y=ax2-ax+3x+1 的图象的最低点在x轴上，求a的值
3、已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x 轴交于两点A(a,0),B(b,0),且a2+b2=17, 求k的值
回顾与反思：二次函数的图象与x轴有 无交点问题，可以转化为一元二次方程 有无实数根的问题，可从计算根的判别 式入手