(完整版)向量公式汇总

向量公式汇总
平面向量
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。

若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号；
② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号。

6.定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P 是l 上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P 分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。

（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A 、B 、C 三点共线
三角形重心判断式
在△ABC 中，若GA +GB +GC=O,则G 为△ABC 的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b 的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb 。

a//b 的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件
a ⊥
b 的充要条件是 a•b=0。

a ⊥
b 的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.
空间向量 令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则
),,(332211b a b a b a b a ±±±=+
))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ
332211b a b a b a b a ++=⋅
共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ3
32211b a b a b a ==⇔ 如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．：那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).
向量垂直 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。

空间两个向量的夹角公式
232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=<
（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）。

空间两点的距离公式：
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
利用法向量求点到面的距离：
如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α
|
n AB .
.异面直线间的距离
||||
CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).
B 到平面α的距离
||||
AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 直线AB 与平面所成角
sin ||||
AB m arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). 利用法向量求二面角的平面角： cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）。