二次函数与直角三角形
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C
A
O
B
x
• 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两 点，与轴交于点B(0，3)。 1.求抛物线的解析式； 2.设抛物线顶点为D，求证△DBE 为直角三角形； 3.在y轴上是否还存在点P使△PDE为直角三角形？ 若存在求出P坐标，不存在请说明理由。
6.已知A、B两点的坐标分别为（4，0） （0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90° 2 后得到△OCD，抛物线y ax 2ax 4 经 过点A。 （1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是 否在该抛物线上；
7 (1.5,0)或(0,2)或 (0, ) 8
B P A
C
1.直角三角形相似----射影定理
AC2=AD· AB BC2=BD· BA DC2=DA· DB BD· BE=AD· CE
A
A 3
c 4
?
? ? B
D
2.直角三角形相似----K型图
C
D
B
E
例1 在对称轴上是否存在点P ，使△PAC为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
第27题图
• 3已知，抛物线 y ax bx c 与x轴交 于A(1, 0) 和 B(2, 0) 两点，与y轴交于 C (0, 2) 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点M的坐 标；
2
4.在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使三 角形ACP是以AC为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标， 若不存在，请说明理由。
C D G
A
E
F
B
在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）. （1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点。当t取何值时， △TOP是等腰三角形？ 情况一:OP=OT T1 ( 5,0);T2 ( 5,0) 情况二:PO=PT T3(-4,0) P
y
.0
x
情况三:TO=TP 5 T4 ( ,0) 4
1 2 2 5.如图，抛物线 y 2 x 2 x 2
与x轴交
于A,B两点，与y轴交于c点． （1）求 A、B、C
y
三点的坐标；
C
A
O
B
x
2）证明为 △ ABC 直角三角形；
y
C
1.勾股定理逆定理
0 2.证明两锐角之和为90
A
O
B
3.证明三角形相似 x
（3）在抛物线上除点C外，是否还存在另外 一个点P，使 △ ABP 是直角三角形，若存 在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明 理由． y
情况一： 当PCA 900时 1 7 P 1 ( , ) 2 4 情况二： 当PAC 900时 1 3 P2 ( , ) 2 4 情况三： 当APC 900时
y=x2-x-2
A
O
C
在对称轴上是否存在点P ，使△PAC为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
情况一： 当PCA 900时
1 7 P 1 ( , ) 2 4 情况二： 当PAC 900时 1 3 P2 ( , ) 2 4 情况三： 当APC 900时
y=x2-x-2
A
O
两三角形相似得:
1 1 1 3 P3 ( , ) P4 ( , ) 2 2 2 2
C
2.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点 A，与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象 与一次函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴 交于D、E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶 点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在， 请说明理由．
二次函数与直角三角形
如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点， 过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC相似， 满足这样条件的直线共有（ C ）条。 A．1 B． 2 C．3 D．4
B
P
A
C
如图， 平面直角坐标系中, 点为C(3,0)点B为(0, 4),点 P是BC的中点，过P点作 直线截△ABC，截得的三 角形与△ABC相似，写出 截得的三角形未确定顶点 的坐标.
y y
C B 2
C
P
2
A4
x
B
D O
图14－1
D O
图14－2
A
4
x
（2）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是 以CD为直角边的直角三角形？若存在，请 求出所有点E的坐标，若不存在，请说明理 由。
y y
C
B 2
C
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P
2 A 4
x
D O
图14－1
A4
x
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图14－2
Leabharlann Baidu
7.如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分 别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+bx+c (a≠0)经过点A、C. （1）求抛物线的解析式;
（2）点M是直线y=-2x+4
y P C 3 2 1 B A 0 1 2 3 4 x
2 1
上的动点，过点M作ME 垂直x轴于点E，在y轴 （原点除外）上是否存在 点F，使△MEF为等腰直 角三角形? 若存在,求出点 F的坐标及对应的点M的 坐标；若不存在，请说明 理由.
8在△ABC中，AC＝40，BC＝30，AB＝50． 矩形DEFG的边EF在AB上，顶点D、G分别在 AC、BC上．设EF＝x． （1）用含的代数式表示DE的长； （2）当取什么值时，矩形DEFG的面积最大？ 最大面积是多少？
A
O
B
x
• 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两 点，与轴交于点B(0，3)。 1.求抛物线的解析式； 2.设抛物线顶点为D，求证△DBE 为直角三角形； 3.在y轴上是否还存在点P使△PDE为直角三角形？ 若存在求出P坐标，不存在请说明理由。
6.已知A、B两点的坐标分别为（4，0） （0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90° 2 后得到△OCD，抛物线y ax 2ax 4 经 过点A。 （1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是 否在该抛物线上；
7 (1.5,0)或(0,2)或 (0, ) 8
B P A
C
1.直角三角形相似----射影定理
AC2=AD· AB BC2=BD· BA DC2=DA· DB BD· BE=AD· CE
A
A 3
c 4
?
? ? B
D
2.直角三角形相似----K型图
C
D
B
E
例1 在对称轴上是否存在点P ，使△PAC为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
第27题图
• 3已知，抛物线 y ax bx c 与x轴交 于A(1, 0) 和 B(2, 0) 两点，与y轴交于 C (0, 2) 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点M的坐 标；
2
4.在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使三 角形ACP是以AC为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标， 若不存在，请说明理由。
C D G
A
E
F
B
在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）. （1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点。当t取何值时， △TOP是等腰三角形？ 情况一:OP=OT T1 ( 5,0);T2 ( 5,0) 情况二:PO=PT T3(-4,0) P
y
.0
x
情况三:TO=TP 5 T4 ( ,0) 4
1 2 2 5.如图，抛物线 y 2 x 2 x 2
与x轴交
于A,B两点，与y轴交于c点． （1）求 A、B、C
y
三点的坐标；
C
A
O
B
x
2）证明为 △ ABC 直角三角形；
y
C
1.勾股定理逆定理
0 2.证明两锐角之和为90
A
O
B
3.证明三角形相似 x
（3）在抛物线上除点C外，是否还存在另外 一个点P，使 △ ABP 是直角三角形，若存 在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明 理由． y
情况一： 当PCA 900时 1 7 P 1 ( , ) 2 4 情况二： 当PAC 900时 1 3 P2 ( , ) 2 4 情况三： 当APC 900时
y=x2-x-2
A
O
C
在对称轴上是否存在点P ，使△PAC为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
情况一： 当PCA 900时
1 7 P 1 ( , ) 2 4 情况二： 当PAC 900时 1 3 P2 ( , ) 2 4 情况三： 当APC 900时
y=x2-x-2
A
O
两三角形相似得:
1 1 1 3 P3 ( , ) P4 ( , ) 2 2 2 2
C
2.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点 A，与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象 与一次函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴 交于D、E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶 点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在， 请说明理由．
二次函数与直角三角形
如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点， 过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC相似， 满足这样条件的直线共有（ C ）条。 A．1 B． 2 C．3 D．4
B
P
A
C
如图， 平面直角坐标系中, 点为C(3,0)点B为(0, 4),点 P是BC的中点，过P点作 直线截△ABC，截得的三 角形与△ABC相似，写出 截得的三角形未确定顶点 的坐标.
y y
C B 2
C
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A4
x
B
D O
图14－1
D O
图14－2
A
4
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（2）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是 以CD为直角边的直角三角形？若存在，请 求出所有点E的坐标，若不存在，请说明理 由。
y y
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B 2
C
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2 A 4
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图14－1
A4
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图14－2
Leabharlann Baidu
7.如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分 别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+bx+c (a≠0)经过点A、C. （1）求抛物线的解析式;
（2）点M是直线y=-2x+4
y P C 3 2 1 B A 0 1 2 3 4 x
2 1
上的动点，过点M作ME 垂直x轴于点E，在y轴 （原点除外）上是否存在 点F，使△MEF为等腰直 角三角形? 若存在,求出点 F的坐标及对应的点M的 坐标；若不存在，请说明 理由.
8在△ABC中，AC＝40，BC＝30，AB＝50． 矩形DEFG的边EF在AB上，顶点D、G分别在 AC、BC上．设EF＝x． （1）用含的代数式表示DE的长； （2）当取什么值时，矩形DEFG的面积最大？ 最大面积是多少？